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2027届新高考数学热点精准复习利用导数研究不等式恒(能)成立问题考点一分离参数法解决不等式恒(能)成立问题

例2

已知函数f(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1.(1)若m=1,求f(x)的极值;(2)若对于任意x>0,f(x)≤0恒成立,求整数m的最小值.

考点二分类讨论法解决不等式恒(能)成立问题

解

(1)f'(x)=xex-ax=x(ex-a),x>0.当a=e时,f'(x)=x(ex-e).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

[对点训练3]已知函数f(x)=ax+lnx-ax2.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)>0,求a的取值范围.

考点三最值法解决不等式恒(能)成立问题

[对点训练4]设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R.(1)求函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.解

(1)f'(x)=ex-a,x≥0.当a≤1时,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在[0,+∞)上单调递增;当a>1时,若x∈(0,ln

a),则f'(x)<0,f(x)在[0,ln

a)上单调递减;若x∈(ln

a,+∞),f'(x)>0,则f(x)在(ln

a,+∞)上单调递增.

考点四“同构法”解决不等式恒(能)成立问题

解

(1)函数定义域为R,且f'(x)=aex+1.当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增.当a<0时,令f'(x)>0,可得x<-ln(-a),令f'(x)<0,可得x>-ln(-a),所以f(x)在(-∞,-ln(-a))上单调递增,在(-ln(-a),+∞)上单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,-ln(-a))上单调递增,在(-ln(-a),+∞)上单调递减.

[对点训练5]已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).(1)试求函数f(x)的极值;(2)若存在实数x>0使得xebx-ex+(b-1)x2+xlnx≥0成立,求实数b的取值范围.解

(1)函数定义域为R,且f'(x)=ex-a.①当a≤0时,函数f(x)在R上单调递增,不存在极值.②当a>0时,由f'(x)=ex-a=0,得x=ln

a,当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln

a,

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