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数学2027届新高考数学热点精准复习利用导数研究恒(能)成立问题1234

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12342.(15分)(2025·湖北武汉三模)已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≥x,求实数a的取值范围.解:(1)由f(x)=ex-ax,当a=1时,f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,即ex-1=0,解得x=0,当x<0时,ex<1,所以f'(x)<0,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减.当x>0时,ex>1,所以f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.综上可得,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).1234

12343.(17分)(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x(2lnx+a),a∈R.(1)若函数f(x)在(e2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若x=e为函数f(x)的极值点,求a的值;(3)设函数g(x)=4x2-4bx,当a=-2时,若对于任意x1∈(0,+∞),总存在x2∈[-2,4],使得g(x2)≤f(x1),求实数b的取值范围.

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12344.(17分)(原创)设f(x)=a1x+a2x2+a3x3+a4x4,且数列{an}是以1为首项,q(q≠0)为公比的等比数列.(1)当q>0时,求f(x)的极值点个数;(2)若f(x)≥x对任意x∈(0,+∞)恒成立,求q的取值范围;(3)证明:对任意q,总存在满足m<n的实数m,n,使x∈[m,n]时,f(x)∈[m,n].1234

1234(2)解:对于任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥x恒成立,即x+qx2+q2x3+q3x4≥x恒成立,等价于q(1+qx+q2x2)≥0在区间(0,+∞)上恒成立.∵y=q2x2+qx+1,其图象为开口向上的抛物线,且q2-4q2×1=-3q2<0,∴q2x2+qx+1>0对任意实数x恒成立.故要使q(1+qx+q2

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