二次函数与一元二次方程、不等式（3~4课时）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

习题回顾思考：1math9527Yao“1”的整体代换2math9527Yao2.3

二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时3math9527Yao4math9527Yao学

习

目

标123

从函数观点了解二次函数的零点与二次方程根的关系.

借助二次函数的图象，理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(三个二次)

应用三个二次关系解含参一元二次不等式，掌握分类讨论.5math9527Yao阅读课本P50-P53，5分钟后完成下列问题：1.说说什么是二次函数的零点？(从数与形分别表述)2.二次函数与一元二次方程、不等式之间有何联系？6math9527Yao温顾：你还记得哪些关于一元二次方程和二次函数的知识呢？7math9527Yao思考：从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，三者之间有什么样的内在联系？

y=x+1-11方程x+1=0的解为x=－1；

函数图像与X轴相交

不等式x+1>0的解为x>－1；

函数图像在X轴上方不等式x+1＜0的解为x＜－1；

函数图像在X轴下方

二次函数一元二次方程一元二次不等式它们的联系又是怎样的呢？8math9527Yao

基础概念9math9527Yao2.使一元二次不等式成立的的所有解x组成的集合叫做

一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0其中a、b、c为常数（参数），a≠0．

1.只含有一个未知数（不代表只有一个字母），且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式。一般形式如下：3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.2和10-2函数的零点方程的根函数图象与x轴交点横坐标[注]①零点是数，不是点；②零点是函数的专属概念.10math9527Yao1、分解下列因式：(1)x2＋4x＋3；

(2)5x2－6x＋1；(3)m2＋2mn－3n2；

(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0).解：(1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)；(2)5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1)；(3)m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n)；(4)ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0).2、

若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，

则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________.－2,311math9527Yao2.三个“二次”的关系：一元二次函数的零点一元二次方程的根一元二次不等式的解集端点12math9527Yao概念辨析二次函数与一元二次方程、不等式的关系：二次函数y=ax2+bx+c设y=0一元二次方程ax2+bx+c=0设y≠0一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)右边化为0，左边设为y二次函数函数y=ax2+bx+c的零点1、形式上2、数值上一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）解集的区间端点一元二次方程ax2+bx+c=0的根五

大

题

型13math9527Yao解一元二次不等式

如：求不等式x2＋2x＋3＞0的解集解分式不等式解含绝对值的不等式已知一元二次不等式的解集求参数解含参数的一元二次不等式1、解一元二次不等式14math9527Yao15math9527Yao解一元二次不等式的步骤:①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0)③求根:求方程ax2+bx+c=0的根④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)

的图象因式分解or求根公式大于取两边,小于取中间.②判别:判别△确定有无实数根⑤写解:由图象写出不等式的解集1、解一元二次不等式巩固练习16math9527Yaox≤-4或x≥3R{x|1≤x≤3}{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}同时满足：求交集2、解分式不等式17math9527Yao同解变形(分母不为0！)3、解绝对值不等式18math9527Yao-2<x<2x<-3或x>3结论：①若|x|<a(a>0),则-a<x<a.②若|x|≥a(a>0),则x≤-a或x≥a.推广：若|kx+b|<a(a>0),则-a<kx+b<a.推广：若|kx+b|≥a(a>0),则kx+b≤-a或kx+b≥a.小于取中间大于取两边19math9527Yao{x|0<x<2}{x|3≤x≤4或-4≤x≤-3}3、解绝对值不等式分类讨论(<0、≥0)2.3

二次函数与一元二次方程、不等式

第2课时20math9527Yao4、知不等式解集求参数21math9527Yao

一元二次方程的根⇔一元二次不等式的解集端点2(法2)(法1)[变]求a-2b的值.[变]求bx2+ax+1>0

的解集22math9527Yao(法1)4、知不等式解集求参数23math9527Yao(法2)5、恒成立问题24math9527Yaomath9527Yao255、恒成立问题>0math9527Yao266、解含参的一元二次不等式例

解关于x的不等式(a－x)(b＋x)>0的不等式？解：(a－x)(b＋x)>0可化为(x－a)(b＋x)<0

方程(a－x)(b＋x)＝0的两根为a，－b，当a>－b时，原不等式的解集是{x|－b<x<a}；当－b>a时，原不等式的解集是{x|a<x<－b}.讨论两根的大小math9527Yao27例

解关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≥0？6、解含参的一元二次不等式解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.讨论方程的类型讨论两根的大小6、解含参的一元二次不等式math9527Yao28化正(开口向上)→判别△→(△≥0)求根→画图→写解集math9527Yao29②当a2<a，即0<a<1时，原式解集为{x|x<a2或x>a}

. 若a=0，原式解集为{x|x≠0};

分类讨论的切入点：画图时需先比较根的大小化正(开口向上)→判别△→(△≥0)求根→画图→写解集①当a2>a，即a<0或a>1时，原式解集为{x|x<a或x>a2}.③当a2=a，即a=0或1时，若a=1，原式解集为{x|x≠1}.巩固练习math9527Yao30

化正→判别△→(△≥0)求根→画图→写解集考虑a>0,a<0,a=0比较根的大小参数的分类讨论：不重不漏巩固练习math9527Yao31特殊技巧：解题思路总结math9527Yao32

化正→判别△→(△≥0)求根→画图→写解集课堂总结math9527Yao331.三个“二次”的关系：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）有两个相等实根

x1＝x2＝－没有实数根{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－

}R{x|x1＜x＜x2}∅∅x1x2xyOxyOx1=x2yxOmath9