分段函数++2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修+第一册

第3课时分段函数目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

某市公共汽车的票价按下列规则实施：（1）5千米以内（包含5

千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元

（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站之间相距1

千米，沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站.【问题】

（1）从起点站出发，公共汽车的行程

x

（千米）与票价

y

（元）是函数关系吗？（2）若是函数关系，则函数的表达式是什么？⁠

1.

（多选）下列给出的函数是分段函数的是（

）

A.2B.3C.4D.5解析：

∵－2＜0，∴

f

（－2）＝－（－2）＝2.

（－∞，0）∪（0，＋

∞）

{－2}∪（0，＋∞）

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升

题型一分段函数求值问题

（2）若

f

（

a

）＝2，求

a

的值.

通性通法1.

分段函数求函数值的方法（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现

f

（

f

（

x0））的形式时，应从内到外依次求值.2.

已知函数值求参数取值（范围）的步骤（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；（2）解方程（不等式）求参数的值（范围），并检验是否符合参

数的取值范围；（3）符合题意的所有值（范围的并集）即为所求.

B.4C.3D.

－3

A.

[－3，－1]∪[1，3]B.

（－3，－1]∪[1，3）C.

[－2，－1]∪[1，2]D.

[－3，3]解析：

当

a

≤0时，

a2＋4

a

≤－3，

a

∈[－3，－1]；当

a

＞0

时，

a2－4

a

≤－3，

a

∈[1，3].因此，

a

∈[－3，－1]∪[1，3].

故选A.

题型二分段函数的图象

（2）画出该函数的图象；解：

函数

f

（

x

）的图象如图所示.（3）写出该函数的值域.解：

由（2）知，

f

（

x

）在（－2，2]上的值域为[1，3）.通性通法分段函数图象的画法（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意

义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函

数图象；（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象.在作每一段图象

时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一

段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重

不漏.

解析：

当

x

＝－1时，

y

＝0，即图象过点（－1，0），D错误；

当

x

＝0时，

y

＝1，即图象过点（0，1），C错误；当

x

＝1时，

y

＝

2，即图象过点（1，2），B错误.故选A.

2.

已知函数

f

（

x

）的图象如图所示，求

f

（

x

）的

解析式.

题型三分段函数的应用问题【例3】

某市有

A

，

B

两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，

但收费方式不同，

A

俱乐部每块场地每小时收费6元；

B

俱乐部按月计

费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小

时的部分，每块场地每小时收费2元.某企业准备下个月从这两家俱乐

部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不

超过30小时.（1）设在

A

俱乐部租一块场地开展活动

x

小时的收费为

f

（

x

）元

（12≤

x

≤30），在

B

俱乐部租一块场地开展活动

x

小时的

收费为

g

（

x

）元（12≤

x

≤30），试求

f

（

x

）与

g

（

x

）

的解析式；

（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？解：①12≤

x

≤20时，6

x

＝90，解得

x

＝15，即当12≤

x

＜15时，

f

（

x

）＜

g

（

x

），当

x

＝15时，

f

（

x

）＝

g

（

x

），当15＜

x

≤20时，

f

（

x

）＞

g

（

x

）.②当20＜

x

≤30时，

f

（

x

）＞

g

（

x

），故当12≤

x

＜15时，选

A

俱乐部合算，当

x

＝15时，两家俱乐部一样合算，当15＜

x

≤30时，选

B

俱乐部合算.通性通法分段函数的实际应用（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段

函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要

分段画；（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变

量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的

函数解析式.【跟踪训练】某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量

分段收费办法，若某户居民每月应交电费

y

（元）关于用电量

x

（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：（1）求

y

关于

x

的函数解析式；

（2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.解：

由（1）知电力公司采取的收费标

准为用户月用电量不超过100度时，每度电

0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电

0.80元.

B.3

A.1B.2C.0D.

－1解析：

因为

f

（－1）＝

f

（1），所以1－（－1）＝

a

，所以

a

＝2.故选B.

解析：

当

x

＞0时，

f

（

x

）＝1；当

x

＜0时，

f

（

x

）＝－

1.故选C.

（1）作出

f

（

x

）的图象；解：

利用描点法，作出

f

（

x

）的图象.

如图所示.（2）求

f

（

x

）的定义域和值域.解：

由条件知，函数

f

（

x

）的定义域为R.

由图象知，

当－1≤

x

≤1时，

f

（

x

）＝

x2的值域为[0，1]；当

x

＞1，或

x

＜－1时，

f

（

x

）＝1，所以

f

（

x

）的值域为[0，1].知能演练·扣课标03课后巩固核心素养落地

A.

RB.

[0，＋∞）C.

[0，3]D.

{

y

｜0≤

y

≤2或

y

＝3}解析：

值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{

y

｜0≤

y

≤2或

y

＝3}.12345678910111213141516

A.

－3B.0C.

－1D.2

12345678910111213141516

4

12345678910111213141516

123456