-平行四边形导学案

一、学习目标1.理解平行四边形的定义，能准确表述平行四边形的概念及其基本元素。2.探索并掌握平行四边形的性质，包括对边、对角、对角线的关系。3.能够运用平行四边形的性质解决简单的几何问题。4.经历观察、实验、猜想、验证、推理等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。二、学习重点与难点*重点：平行四边形的定义及性质的探究与应用。*难点：平行四边形性质的灵活运用及推理过程的规范表达。三、学前准备1.回顾四边形的定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形。2.思考：你在生活中见过哪些具有平行四边形形状的物体？（例如：推拉门、停车位、楼梯扶手等）3.准备好直尺、量角器、剪刀、透明纸等学具。四、新知探究（一）平行四边形的定义活动1：观察与抽象观察下列图形，它们有什么共同的特点？（此处可配几个不同位置、不同大小的平行四边形图形）这些图形都有两组对边分别平行。定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。表示方法：平行四边形用符号“▱”表示。如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。（此处应有一个标准的平行四边形图示，并标注顶点A、B、C、D，以及对边AB与CD，AD与BC）注意：在用字母表示平行四边形时，必须按顺时针或逆时针方向依次注明各顶点。相关概念：*平行四边形的边：组成平行四边形的四条线段。（如AB、BC、CD、DA）*平行四边形的对边：相对的两条边。（如AB与CD，AD与BC）*平行四边形的对角：相对的两个角。（如∠A与∠C，∠B与∠D）*平行四边形的邻角：有一条公共边的两个角。（如∠A与∠B，∠B与∠C等）*平行四边形的对角线：连接平行四边形不相邻两个顶点的线段。（如AC、BD）思考：根据平行四边形的定义，我们可以直接得到平行四边形的一个什么性质？（平行四边形的两组对边分别平行。即：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC。）（二）平行四边形的性质探究活动2：动手操作与猜想1.在透明纸上画一个平行四边形ABCD。2.用直尺量一量它的两组对边AB与CD，AD与BC的长度，你发现了什么？3.用量角器量一量它的两组对角∠A与∠C，∠B与∠D的度数，你发现了什么？4.用剪刀将这个平行四边形剪下，再沿对角线AC剪开，得到两个三角形，将这两个三角形叠合在一起，你又发现了什么？我的猜想：*平行四边形的对边_________________。*平行四边形的对角_________________。*平行四边形的对角线_________________。（此条可在后续活动中深入）活动3：验证与证明我们来尝试证明“平行四边形的对边相等”和“平行四边形的对角相等”。已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。求证：AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D。（此处应有平行四边形ABCD图示，连接对角线AC）分析：要证明线段相等或角相等，我们常用的方法之一是证明三角形全等。如何将平行四边形中的对边、对角关系转化为三角形中的边角关系呢？（引导学生想到添加辅助线——对角线）证明：连接AC。∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）。∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）。在△ABC和△CDA中，∠1=∠2（已证），AC=CA（公共边），∠3=∠4（已证），∴△ABC≌△CDA（ASA）。∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3（等式性质），即∠BAD=∠BCD。归纳总结平行四边形的性质：性质1：平行四边形的对边平行且相等。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。性质2：平行四边形的对角相等，邻角互补。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等。活动4：探究平行四边形的对角线1.画一个平行四边形ABCD，并连接它的两条对角线AC和BD，它们交于点O。2.用直尺量一量AO与OC，BO与OD的长度，你发现了什么？我的发现：____________________________________。尝试证明你的发现：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。求证：AO=OC，BO=OD。（此处应有平行四边形ABCD及对角线相交于O点的图示）证明：（引导学生利用已学的平行四边形性质及全等三角形知识进行证明）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。∴∠5=∠6，∠7=∠8（两直线平行，内错角相等）。在△AOD和△COB中，∠5=∠6（已证），AD=CB（已证），∠7=∠8（已证），∴△AOD≌△COB（ASA）。∴AO=OC，BO=OD（全等三角形对应边相等）。性质3：平行四边形的对角线互相平分。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（或AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO）。五、例题解析例1：如图，在▱ABCD中，已知∠A=50°，AB=8cm，BC=10cm。求其他各内角的度数以及边CD、AD的长度。（此处应有▱ABCD图示）分析：利用平行四边形的性质“对边相等”和“对角相等、邻角互补”来解决。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=50°（平行四边形对角相等）。AB∥CD（平行四边形对边平行），∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B=180°-∠A=180°-50°=130°。∴∠D=∠B=130°（平行四边形对角相等）。又∵平行四边形对边相等，∴CD=AB=8cm，AD=BC=10cm。例2：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=36cm，△AOB的周长为28cm，求AB的长。（此处应有▱ABCD及对角线相交于O点的图示）分析：根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得到AO与AC、BO与BD的关系，再结合△AOB的周长即可求出AB。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=1/2AC，BO=OD=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）。∴AO+BO=1/2(AC+BD)。∵AC+BD=36cm，∴AO+BO=1/2×36=18cm。∵△AOB的周长为28cm，即AO+BO+AB=28cm，∴AB=28cm-(AO+BO)=28cm-18cm=10cm。六、课堂练习1.在▱ABCD中，若∠A:∠B=2:3，则∠C=______度，∠D=______度。2.已知▱ABCD的周长为24cm，AB=8cm，则BC=______cm。3.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=5cm，BO=6cm，则AC=______cm，BD=______cm。4.如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF。求证：DE=BF。（此处应有对应第4题的图示）七、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1.平行四边形的定义：____________________________________。2.平行四边形的性质：*对边：_________________；*对角：_________________，邻角：_________________；*对角线：_________________。3.在解决平行四边形问题时，常用的辅助线是_________________。八、拓展延伸1.平行四边形是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？2