中考相似三角形经典题集锦

中考相似三角形经典题集锦相似三角形作为平面几何的核心内容之一，在中考数学中占据着举足轻重的地位。它不仅是证明线段成比例、角相等的重要工具，也常常与四边形、圆、函数等知识相结合，形成综合性较强的题目，考查同学们的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。本文将梳理相似三角形的核心知识点，并通过几道经典例题的解析，帮助同学们掌握解题思路与技巧，轻松应对中考挑战。一、相似三角形的核心知识回顾在解决相似三角形问题之前，我们必须牢固掌握其基本概念、判定方法及性质。（一）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。（二）相似三角形的判定定理1.预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（此定理应用最为广泛）3.判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。4.判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。5.直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（三）相似三角形的性质1.对应角相等，对应边成比例。2.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。3.周长的比等于相似比。4.面积的比等于相似比的平方。5.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方（同理适用于内切圆）。二、经典例题深度解析（一）基础判定与性质应用例题1：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC。若AD:DB=1:2，BC=6，求DE的长。思路分析：本题主要考查相似三角形预备定理及性质的直接应用。因为DE∥BC，所以根据预备定理可知△ADE∽△ABC。相似三角形对应边成比例，我们需要找出相似比。AD:DB=1:2，意味着AD:AB=1:(1+2)=1:3，即相似比为1:3。因此，DE与BC的比也为1:3。解答过程：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似）。∴AD/AB=DE/BC。∵AD:DB=1:2，∴AD:AB=1:(1+2)=1:3。∴DE/BC=1/3。∵BC=6，∴DE=6×(1/3)=2。点评：本题是相似三角形中“A”型图的基础应用，关键在于准确识别相似三角形，并根据线段比例关系求出相似比。（二）相似三角形的判定与比例线段例题2：已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且BD平分∠ABC，BC=5，DC=3，求AB的长。思路分析：本题涉及角平分线和直角三角形，直接求AB较困难。考虑到BD是角平分线，且∠C为直角，能否构造相似三角形呢？可以过点D作DE⊥AB于点E。这样，由角平分线的性质可知DE=DC=3。此时，△AED和△ACB都是直角三角形，且有一个公共角∠A，因此△AED∽△ACB。通过设未知数，利用相似比建立方程即可求解。解答过程：过点D作DE⊥AB于点E。∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。设AD=x，则AC=AD+DC=x+3。在Rt△BCD中，BC=5，DC=3，∴BD=√(BC²+DC²)=√(5²+3²)=√34（此步可略，因后续可能用不到BD的长度）。在Rt△AED和Rt△ACB中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB=90°，∴△AED∽△ACB（有两个角对应相等的两个三角形相似）。∴AE/AC=DE/BC=AD/AB。即AE/(x+3)=3/5=x/AB。由AE/(x+3)=3/5，得AE=(3/5)(x+3)。由3/5=x/AB，得AB=(5/3)x。在Rt△AED中，AE²+DE²=AD²，∴[(3/5)(x+3)]²+3²=x²。解此方程：(9/25)(x²+6x+9)+9=x²两边同乘25：9(x²+6x+9)+225=25x²9x²+54x+81+225=25x²16x²-54x-306=0化简得：8x²-27x-153=0因式分解或使用求根公式：(8x+17)(x-9)=0解得x=9或x=-17/8（舍去）。∴AB=(5/3)x=(5/3)×9=15。点评：本题通过添加辅助线（角平分线上的点向角的两边作垂线），构造了相似的直角三角形，将角平分线的性质与相似三角形的判定和性质有机结合，体现了构造法在解题中的重要性。（三）相似三角形与图形变换（或综合应用）例题3：如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，作AF⊥AE交CD的延长线于点F，连接EF，交AD于点G。若AB=6，BE=2，求DG的长。思路分析：本题是正方形背景下的相似三角形问题。正方形的性质很多，四边相等，四个角都是直角。AF⊥AE，可知∠BAE+∠DAE=90°，∠DAF+∠DAE=90°，所以∠BAE=∠DAF。又因为∠B=∠ADF=90°，所以△ABE∽△ADF。可先求出DF的长度，进而得到CF的长度。然后，EG与FG是同一直线上的线段，AD∥BC，所以△DGF∽△CGE。利用这个相似关系可以求出DG。解答过程：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC=6，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，∴∠ADF=180°-∠ADC=90°。∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°。∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF=90°，∴∠BAE=∠DAF。在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAF，AB=AD，∠B=∠ADF，∴△ABE≌△ADF（ASA）？不，这里是两角及其夹边对应相等吗？AB=AD，∠B=∠ADF，∠BAE=∠DAF，所以是ASA，所以△ABE≌△ADF。∴BE=DF。∵BE=2，∴DF=2。∴CF=CD+DF=6+2=8。∵AD∥BC，即DG∥CE，∴△DGF∽△CGE（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似，或AA判定）。∴DG/CG=DF/CE。设DG=x，则CG=CD-DG=6-x？不，CG是在BC上吗？不，G在AD上，AD=6，设DG=x，则AG=AD-DG=6-x。CE=BC-BE=6-2=4。∵△DGF∽△CGE，∴DG/CE=DF/CF？不，对应边要找准。△DGF∽△CGE，DG对应CG？不，DG对应EG？不对，AD∥BC，所以∠DGF=∠CGE（对顶角相等），∠FDG=∠ECG（内错角相等，因为AD∥BC）。所以△DGF∽△EGC。∴DG/EG=FG/CG=DF/CE。这里我们关注DG和EG所在的比例，或者用DG和EC的比。应该是DG:EC=DF:CE？不，DF是△DGF的一条直角边，CE是△CGE的一条直角边。DF=2，CE=4，所以DF:CE=2:4=1:2。因此，DG:CG'这里的CG'应该是CG吗？不，G在AD上，如果延长EF交BC于E，交AD于G，那么DG和EC是对应边。即DG/EC=DF/CE？不对，DF是DF，CE是CE。正确的对应关系是：DG对应CE，DF对应CF？不，我重新梳理：△DGF的边：DG，DF，FG。△CGE的边：CG（这里的CG指的是CE边上的对应边吗？不，点G在AD上，点E在BC上，AD=BC=6，EC=BC-BE=6-2=4。∵AD∥BC，∴△DGF∽△CGE（AA，∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠GCE=90°）。∴DG/CG=DF/CE。这里的CG，因为点C、G、E在同一直线上吗？不，点G在AD上，EF是直线，交AD于G，交BC延长线于E？不，E在BC上，F在CD延长线上。所以直线EF与AD交于G，与BC交于E。所以，DG和EG不是对应边。应该是DG与EC对应，因为AD∥BC，所以DG/EC=DF/FC？不，在△DGF和△ECF中，是否相似？∠DGF=∠EFC吗？不一定。我之前的判断△DGF∽△CGE是正确的，因为∠DGF和∠CGE是对顶角，∠FDG和∠ECG都是直角（∠FDG=90°，∠ECG=∠BCD=90°）。所以△DGF∽△CGE。对应边：DG对应CG？CG是什么？这里的C是指哪个点？哦，不对，是△DGF和△EGC。△DGF：∠D，∠G，∠F。△EGC：∠E，∠G，∠C。∠G是公共角（∠DGF=∠EGC），∠D=∠C=90°。所以对应边是：DG/EG=DF/EC=FG/CG。我们要求的是DG，已知DF=2，EC=4。设DG=x，则AG=AD-DG=6-x。∵AD∥BC，∴AG/BE=FG/EG（平行线分线段成比例定理）。AG=6-x，BE=2，FG/EG=DG/EC=x/4（由△DGF∽△CGE得）。∴(6-x)/2=x/4。解方程：4(6-x)=2x24-4x=2x24=6xx=4。∴DG=4。点评：本题综合性稍强，先通过证明全等（或相似，其实△ABE与△ADF是全等，因为AB=AD，∠B=∠ADF，∠BAE=∠DAF）得到DF的长度，再利用AD∥BC构造“X”型相似（△DGF∽△CGE），列比例式求解。关键在于准确找到相似三角形，并找准对应边。三、解题策略与技巧总结1.准确识别图形：熟练掌握“A”型、“X”型（“8”字型）、“K”型（一线三垂直）等基本相似模型，能帮助我们快速识别相似三角形。2.灵活选择判定方法：已知角相等时，优先考虑AA；已知两边对应成比例时，考虑SAS或SSS；在直角三角形中，还可考虑HL（针对直角三角形相似的特殊判定）。3.善用辅助线：当直接证明相似困难时，可考虑添加辅助线，如作平行线、垂线（如例题2）、或构造角平分线的性质等，以创造相似条件。4.比例线段的灵活转换：相似三角形的对应边成比例，要注意比例式的变形和转换，必要时可设未知数，通过方程求解（如例题2和例题3）。5.注意对应关系：在书写相似三角形时，要注意顶点的对应顺序，以免在