2025-2026学年湖南省湘西土家族苗族自治州高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.（i为虚数单位）的虚部为（）A.-1 B.5 C.-5i D.-52.若集合U={-1，2，3，6}，N={-1，6}，则∁UN=（）A.{-1，3} B.{-1，6} C.{2，3} D.{2，6}3.如图，向量-等于（）

A.-4-2 B.-2-4 C.-3 D.3-4.函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的奇偶性（）A.仅取决于φ的值 B.与φ的值无关而与ω的值有关

C.与ω和φ的值有关而与A的值无关 D.与A、ω、φ的值都有关5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数不大于4”，B=“点数大于3且小于6”，C=“点数是3的倍数”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，则（）A.A，B为互斥事件 B.B，C为对立事件 C.C，D为互斥事件 D.D，E为对立事件6.一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（）A.4 B.5 C.6 D.4.57.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且tanθ=，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为（）A.26π

B.28π

C.34π

D.14π8.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,b2=c2+ac,则的最小值为（）A. B.2 C.1 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列选项中，正确的是（）A.若两个相等的非零向量的起点相同，则它们的终点可能不同

B.若向量，则

C.若向量，满足，则或

D.若非零向量与共线，则A，B，C三点共线10.有一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1，b1，c1，d1，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=kxi+m（i=1，2，…，n且k≠0），其平均数、中位数、方差、极差分别记为a2，b2，c2，d2，则（）A.b2=kb1+m B.

C.d2=kd1+m D.11.如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如图2的四棱锥D′-ABCE，点F是线段D′B上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（）A.当F为线段D′B中点时，CF∥平面AD′E

B.D′B⊥AE

C.不存在点F，使CF⊥平面ABD′

D.当F为线段D′B中点时，过点A，E，F的截面交CD′于点M，则2CM=D′M三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.sin15°sin75°的值是______．13.欧拉公式eix=cosx+isinx（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若复数，且复数z满足|z|=1，则|z+z1|的最大值为

.14.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的λ∈R，恒成立，则=

，的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知.

（1）若，求与夹角的余弦值；

（2）若，求的值.16.(本小题15分)

BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.

中国成人的BMI数值参考标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；

（2）估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；

（3）已知样本中60名男员工BMI值的平均数为u1=22.4，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数μ2.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，F为线段PC的中点.

（1）求证：PA∥平面BDF；

（2）求证：BC⊥平面PEB；

（3）若平面PAD⊥平面ABCD，求异面直线PD与BF所成角的余弦值.18.(本小题17分)

A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手.比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平.已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，各盘比赛相互独立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为p1，连胜三盘的概率为p2.

（1）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求p1-p2；

（2）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A、B两队打平的概率；

（3）通过计算判断A队怎样安排出场顺序对丁最有利.19.(本小题17分)

布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利.布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.

如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：

（1）若∠ABC=，AC=2，AB=1，求tanθ；

（2）已知θ=，

①若S=，求a2+b2+c2的值；

②若a=2，求S.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】12

15.【答案】；

．

16.【答案】解：（1）由题，2×（0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13）=1，

解得：a=0.1，

由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×（0.01+0.03）×100%=8%；

（2）由频率分布直方图可得，众数为=19，

因为2×（0.08+0.13）=0.42＜0.5，2×（0.08+0.13+0.1）=0.62＞0.5，

故中位数在[20，22），设为m,

则m=20+=20.8；

（3）设样本平均数为，

则由频率分布直方图可得=2×（17×0.08+19×0