初中数学七年级上册“盈不足”问题模型建构教学设计

初中数学七年级上册“盈不足”问题模型建构教学设计

一、教学背景分析

（一）教材分析【基础】

本节课选自北京师范大学出版社出版的义务教育教科书《数学》七年级上册第五章《一元一次方程》的第三节“应用一元一次方程——盈不足问题”。“盈不足”问题是中国古代数学名著《九章算术》中著名的算术模型，具有深厚的文化底蕴和现实意义。在新课程改革理念下，本节内容不仅仅是对一元一次方程解法的简单应用，更是承载着从算术思维向代数思维过渡的关键载体，是培养学生数学模型思想、提升逻辑推理能力和数学抽象素养的重要契机。教材编排上，通过一个具体的“分物”情境，引导学生经历“问题情境——建立方程——求解验证”的完整过程，从而理解方程是刻画现实世界中等量关系的有效工具。本节课在教材中处于承上启下的位置，上承一元一次方程的解法，下启更为复杂的实际问题与不等式、函数等知识。

（二）学情分析【重要】

授课对象为七年级学生，年龄大致在12-13岁。在知识储备上，学生已经掌握了有理数的运算、整式的基本概念，并刚刚系统学习了一元一次方程的解法，具备了求解标准形式方程的能力。在思维发展上，七年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，他们对于具体的生活情境有着天然的兴趣，但对于隐藏在情境背后的数学模型（等量关系）的抽象概括能力尚显薄弱。在解决“盈不足”这类问题时，部分学生可能会受到先前算术解法（如“假设法”、“公式法”）的思维定势影响，难以主动迁移到用方程建模的视角上来。此外，学生对古代数学文化的了解有限，这既是挑战也是激发民族自豪感和学习兴趣的切入点。因此，教学设计的核心在于引导学生克服思维定势，亲身体验从算术解法到方程解法的优越性，感受数学建模的规范性和普适性。

（三）课标要求【核心】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域明确指出：要让学生经历从实际情境中抽象出数量关系的过程，掌握一元一次方程等模型，能根据具体问题中的数量关系列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型。对于“模型观念”这一核心素养，课标强调要让学生在理解数学与生活广泛联系的基础上，知道数学建模是解决实际问题的重要方法，初步形成模型意识。本节课的设计将严格遵循课标要求，不仅关注知识的习得，更关注学生在探究过程中对模型思想的感悟和数学抽象能力的提升，实现学科育人的目标。

二、教学目标与核心素养【非常重要】

基于上述分析，本节课的教学目标设定如下：

（一）知识与技能目标

1.能准确理解“盈”、“不足”的含义，能将实际问题中的文字语言转化为数学语言，找出问题中的已知量与未知量。

2.能根据具体问题中的“一盈一足”、“两盈”、“两不足”等不同情境，准确地分析出其中的等量关系，并正确设出未知数，列出一元一次方程。

3.能熟练地求解所列出的方程，并根据实际问题的意义检验解的合理性，给出完整的作答。

（二）过程与方法目标

4.通过自主探究与合作交流，经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，体会方程是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型，初步掌握数学建模的一般方法。

5.对比算术解法与方程解法，感受方程解法的直接性和优越性，发展抽象思维、逻辑推理和符号运算能力。

（三）情感、态度与价值观目标

6.通过对中国古代数学名著《九章算术》中“盈不足”问题的学习，感受古代数学的辉煌成就，增强民族自豪感和文化自信。

7.在解决实际问题的过程中，养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，培养严谨求实的科学态度。

三、教学重难点【高频考点】【难点】

（一）教学重点【高频考点】

分析题意，找出“盈不足”问题中的等量关系，并正确地列出一元一次方程。这是本节课知识技能的核心，也是后续学习所有方程应用题的基础。

（二）教学难点【难点】

理解并运用两种不同的方式（如物品总数不变、人数不变）作为等量关系，尤其是在“一盈一足”情境中，如何用含未知数的式子表示两种分配结果下的物品总数，并建立方程。学生思维的障碍在于如何从动态的分配过程中抓住不变的量。

四、教学准备

多媒体课件（PPT）、精心设计的导学案（包含不同层次的探究问题）、历史背景资料卡片（介绍《九章算术》）、彩色粉笔。

五、教学实施过程【核心环节，占据80%篇幅】

本环节将按照“溯源引趣——初探建模——变式辨析——文化浸润——拓展升华——归纳整合——应用反馈”七个步骤层层递进，总用时45分钟。

（一）溯源引趣，情境导入（3分钟）

【环节目标】创设历史文化情境，激发学生学习兴趣和探究欲望，引出本节课的核心问题。

【教学活动】

教师活动：课件展示中国古代数学名著《九章算术》的书影，并播放一段简短的音频介绍：“《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于东汉初年，它汇总了先秦至东汉初年的数学成就，其中第七章名为‘盈不足’，专门研究一类关于分配物品时出现剩余或不足的问题。今天，我们就穿越时空，与古人对话，共同探究‘盈不足’问题的现代解法。”

随后，教师在屏幕上呈现一个简化后的《九章算术》原题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”【热点】

教师提问：“请同学们用自己的话复述一下这个问题，并猜想一下，题中出现了几个关键的数量？”引导学生得出“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”的关键信息。

学生活动：聆听背景介绍，观看书影，感受中国古代数学的源远流长。尝试用现代汉语复述题意，并在导学案上记录关键信息。

设计意图：以数学文化为切入点，将枯燥的数字问题赋予历史厚重感，迅速抓住学生的注意力，同时也为后续情感态度目标的达成埋下伏笔。

（二）初探建模，化解难点（10分钟）

【环节目标】引导学生亲身经历从算术思维到代数思维的转变，通过小组合作，尝试用多种方法（尤其是方程）解决“一盈一足”基本模型，初步感受方程的优越性。

【教学活动】

教师活动：将学生分为四人一组，围绕刚才的“盈不足”基本问题展开讨论。

引导性问题1（【基础】）：“请同学们尝试用小学学过的算术方法解决这个问题。你能找到其中不变的量吗？”

预设学生可能会用“（盈+不足）÷两次分配差”的公式求出人数，再求物价。教师请代表展示其解法，并追问：“这个公式背后的道理是什么？为什么可以这样算？”引导学生解释算术解法的原理：两次分配的总金额差（3+4=7元），是由于每人多出了1元（8-7=1元）造成的，因此人数就是7÷1=7人。

引导性问题2（【非常重要】）：“算术解法虽然巧妙，但需要较强的逆向思维。今天，我们学习了用方程解决问题，这是一种顺向思维的方式。你能用方程再来解决这个问题吗？我们应该设哪个量为未知数？根据什么来列方程？”

引导学生讨论得出两种设未知数的思路：

思路A：设人数为x人。那么，根据物价不变，可以得到等量关系：第一次出钱总数=第二次出钱总数。进而列出方程：8x-3=7x+4。

思路B：设物价为y元。那么，根据人数不变，可以得到等量关系：第一次人数=第二次人数。进而列出方程：(y+3)÷8=(y-4)÷7。（这里需要强调用代数式表示人数，即每人出8元时人数为(y+3)/8；每人出7元时人数为(y-4)/7）。

学生活动：小组合作探究，分别尝试算术解法和两种方程解法。小组内相互讲解每种解法的思路和依据。将完整的解题过程（设、列、解、验、答）写在导学案上。

教师活动：巡视指导，参与到小组讨论中，特别关注那些受算术定势影响、难以列出方程的学生，引导他们关注“不变的量”究竟是什么。请不同思路的小组代表上台板书，展示两种不同的方程设法，并进行讲解。

设计意图：通过对比教学，让学生直观地看到方程解法的“直来直去”。算术解法是“逆水行舟”，需要构造算式；而方程解法是“顺流而下”，只需将题目中的条件“翻译”成数学式子即可。这个过程是本节课的核心，旨在帮助学生真正领悟方程思想的精髓。

（三）变式辨析，深化模型（12分钟）

【环节目标】通过改变题目的条件，呈现“两盈”、“两不足”等变式问题，帮助学生打破思维定势，认识到无论条件如何变化，寻找“不变量”构建方程的核心思想是不变的，从而深化对数学模型的理解。

【教学活动】

教师活动：利用多媒体课件，动态呈现两道变式题。

变式1（两盈问题）：“夏令营分组，若每组8人，则多10人；若每组9人，则多2人。求营员总数和组数。”【难点】

变式2（两不足问题）：“用绳子测量水井深度，将绳子三折垂到井底，绳子超出井口4米；将绳子四折垂到井底，绳子距离井口还差1米。求绳长和井深。”【高频考点】

教师引导学生分析：“请大家对比一下，这两道题和我们刚才做的题有什么异同点？‘盈’和‘不足’的含义发生了什么变化？不变的量又是什么？”

引导学生明确：

1.在“两盈”问题中，等量关系依然存在，但“总差”不再是（盈+不足），而是（大盈-小盈）。

2.在“两不足”问题中，等量关系中的“总差”则是（大不足-小不足）。

3.重要的是理解“总差”的本质，即两次分配结果的绝对差额。这个差额除以每次分配的个体差，就得到了参与分配的人数（或份数）。

教师重点讲解变式2（折绳测井），这是一个容易出现理解偏差的【难点】。需要引导学生明确“三折”的含义是将绳子折成三段，所以测量的深度是绳长的1/3，而不是绳长减去某个值。因此，设绳长为x米，则井深可以表示为(1/3)x-4或(1/4)x+1。从而建立方程。

学生活动：独立分析变式1，尝试列方程求解。完成后，小组内交换检查，重点检查等量关系的建立是否正确。对于变式2，先独立思考，画出简单的示意图辅助理解，然后小组讨论，攻克“折”数问题的难点，共同列出方程。

教师活动：针对变式2，邀请画图清晰的学生上台展示其示意图，并讲解思路，通过数形结合的方式，帮助学生突破抽象思维的障碍。对学生的表现给予积极评价。

设计意图：通过变式训练，让学生跳出具体的题目情境，看到问题背后的统一模型——“分配问题”。从“一盈一足”到“两盈”、“两不足”，虽然表现形式不同，但核心都是抓住一个不变的量（总数或份数）来建立方程。这有助于培养学生“透过现象看本质”的数学眼光。

（四）文化浸润，追本溯源（3分钟）

【环节目标】回归《九章算术》，介绍古人解决“盈不足”问题的辉煌成就，沟通古今数学思想，提升文化自信。

【教学活动】

教师活动：在学生成功解决了几道变式题后，教师再次展示《九章算术》中对“盈不足”问题的记载，并介绍刘徽的注文。

教师讲解：“同学们刚才的探索，其实在一千八百多年前，中国古代数学家就已经系统研究并给出了普适解法。《九章算术》中不仅给出了‘盈不足’问题的公式，还进一步推广，将它作为解决其他各类复杂问题的工具，体现了古代数学家高超的数学智慧和算法化思想。我们今天用方程来解决，虽然工具不同，但所揭示的数学本质是完全一致的。可以说，方程思想是联结古今数学的桥梁。”【核心素养】

教师可以简短介绍“盈不足术”的公式：(盈+不足)÷(两次所出率之差)=人数，并与学生刚才的算术解法相印证。

学生活动：聆听讲解，翻阅导学案上附的背景资料卡片，感受数学文化的魅力，体会中华民族在数学发展史上的卓越贡献。

设计意图：在紧张的探究之后，安排一个文化浸润环节，既是对学生脑力劳动的放松，也是对本课主题的升华。让学生明白数学不仅是解题，更是一种文化的传承，从而激发内在的学习动力。

（五）拓展升华，跨学科视野（5分钟）

【环节目标】跳出单纯的数学情境，展示“盈不足”模型在其他学科和现实生活中的应用，拓展学生视野，体现数学的应用价值。

【教学活动】

教师活动：利用多媒体展示两个跨学科的应用实例。

实例1（经济生活）：某公司采购办公用品，若按原价购买，预算超支2000元；若享受八折优惠购买，则结余400元。问原采购总价和预算金额各是多少？

实例2（古代天文学/历法）：《张丘建算经》中有题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？”（这是一个“百鸡问题”，可以引导学生将其中的一部分条件看作是“盈不足”的变式或扩展，简单提及即可，不必深入求解，旨在展示模型的复杂组合。）

教师引导：“同学们，你们看，‘盈不足’模型并不仅仅存在于分糖果、分苹果的小事中。在经济决策、甚至古代天文历法的计算中，都有它的影子。当我们把一个实际问题抽象成数学模型后，无论它披着什么样的‘外衣’，我们都能用数学的方法去解决它。这就是数学模型的力量。”

学生活动：观看实例，尝试将实例1的条件与“盈不足”问题对应起来（原价相当于“出率一”，超支2000元相当于“盈”；打折价相当于“出率二”，结余400元相当于“不足”）。对于实例2，感受数学模型的复杂性和普适性。

设计意图：将数学知识置于更广阔的背景下，打破学科壁垒，让学生认识到数学是解决现实世界问题的通用语言，提升学生的综合素养和数学应用意识。

（六）归纳整合，构建体系（5分钟）

【环节目标】引导学生对本节课的知识、方法和思想进行系统梳理，构建结构化的认知体系。

【教学活动】

教师活动：引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂总结。

启发性问题：

1.“今天我们学习了哪几类‘盈不足’问题？”（一盈一足、两盈、两不足）

2.“解决这些问题的核心步骤是什么？”（一审：审清题意，明确盈与亏；二找：找出不变量作为等量关系；三设：合理设元；四列：列出方程；五解：解方程；六验：检验并作答）

3.“在这个过程中，你感触最深的思想方法是什么？”（模型思想、方程思想、转化思想、数形结合思想）

学生活动：在教师的引导下，积极回顾、反思、归纳，将零散的知识点串联成线、编织成网。在导学案的“课堂小结”部分，用自己的语言记录本节课的收获。

教师活动：根据学生的回答，进行板书提炼，形成清晰的知识结构图。再次强调【非常重要】的方程建模思想，以及【难点】在于如何准确识别不变量。

设计意图：通过系统化的总结，帮助学生将新知识内化到已有的认知结构中，形成稳定的知识体系，同时也培养了学生的反思概括能力。

（七）应用反馈，分层作业（2分钟）

【环节目标】通过分层作业，巩固基础，拓展能力，让不同层次的学生都能在原有基础上获得发展。

【教学活动】

教师活动：布置课后作业，分为三个层次。

1.【基础必做】：完成课本习题5.7第1、2题，巩固“一盈一足”基本模型的解法。

2.【提高选做】：搜集一道《九章算术》或古代数学著作中的“盈不足”问题，并用我们今天学习的方程法解出来，下节课与同学们分享。

3.【拓展挑战】（【高频考点】【难点】）：某班级组织春游，若租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余车恰好坐满。问这个班级有多少人？（提示：本题涉及车辆数不变，但第二种情况车辆数发生了变化，需要仔细分析等量关系。）

学生活动：