2026-2027学年 第一章《丰富的图形世界》能力卷-北师大版数学七上单元测试卷

第一章《丰富的图形世界》能力卷-北师大版数学七上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．用如图所示的图形，旋转一周所形成的几何体是（）

A． B． C． D．2．下列图形中，不是正方体展开图的是（）A． B．C． D．3．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是（）A．4 B．3 C．2 D．14．一个平面上的网格图形可以按网格线折成一个立体图形.下图所示的立体图形是折自下列哪个平面网格图形的？（）.A．B．C．D．E．5．有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（）A． B．C． D．6．若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（）A．12个 B．13个 C．14个 D．18个7．如图所示的三棱柱，高为8 cm，底面是一个边长为5 cm的等边三角形.要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（）cm.A．28 B．31 C．34 D．368．如图，线段AB和CD是正方体表面两正方形的对角线，将此正方体沿部分棱剪开，展成一个平面图形后，AB和CD可能出现下列关系中的哪几种？①AB⊥CD②AB//CD③A、B、C、D四点在同一直线上.正确的结论是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③9．明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）​A． B． C． D．10．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）​A．​ B．​C．​ D．​二、填空题（每题3分，共18分）11．一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为cm3.12．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数等于。13．用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和从上面看，请你观察它是由块小木块组成的．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.（π取3）15．如图，由18个棱长为2cm的正方体拼成的立体图形，它的表面积是cm2.16．一个由许多规格相同的小正方体堆积而成的几何体，其主视图、左视图如图所示一模一样，若要摆成这样的图形，至少需用m块小正方体，至多需用n块小正方体，则mn=．三、解答题（共8题，共72分）17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图．18．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方形中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题．（1）x，z各表示多少?（2）y可能是多少?这个几何体最少由几个小立方块搭成?最多呢?19．如图，是由若干个完全相同的棱长为1的小正方体组成的一个几何体．（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：；（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．20．如图1，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体．（1）请在图2方格纸中分别画出几何体的主视图、左视图和俯视图．（2）如果在其表面涂漆，则要涂平方单位．（几何体放在地上，底面无法涂上漆）（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加个小正方体．21．如图是一些棱长为1cm的小立方块组成的几何体.（1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.（2）该几何体的表面积是cm2.（3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块块.（4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加个小立方块.22．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．【知识准备】（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号）【实践探索】（2）综合实践小组利用边长为acm①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______cm②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果a=30cm，b=5cm．则该长方体纸盒的体积为_____cm【实践分析】（3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，（它缺一个长为6cm，宽为4cm的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为3×8+4×2+6×2=44cm．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型得多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．24．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；（3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】点、线、面、体及之间的联系【解析】【解答】解：由以上分析可知旋转一周所形成的几何体是两个圆锥和一个圆柱的组合体。故答案为：D。【分析】本题考查的是点、线、面、体知识点，可把较复杂的图象进行分解旋转，然后再组合．把这个图形看成是上下各一个直角三角形，中间一个长方形，直角三角形旋转一周后是一个圆锥，长方形旋转一周后是一个圆柱．所以应是两个圆锥和一个圆柱的组合体．2．【答案】B【知识点】正方体的几种展开图的识别【解析】【解答】解：选项中ACD均为正方体的展开图，只有选项B不是正方体的展开图。故答案为：B.【分析】正方体的展开图样式有多种，因此本题从选项中进行判断，只有无法还原成正方体即为答案。选项ACD均可还原，唯独B选项在还原的时候，正方体缺少底面，因此得出答案。3．【答案】B【知识点】含图案的正方体的展开图【解析】【解答】解：由题意可知还原这个立体图形的形状，左视图中的2的对面是5，紧临的是3，其对面是4，再接下来是4，其对面是3；主视图中小正方体正面是6，后面是1，右面是3，上下两个面就是2，5相对；当底面是5，上面是2，紧临的是6，其对面是1，接触的两个面上的数字之和为8，则★应该是7，不可能；所以底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4，接下来紧临的还是4，则★为其对面，所以是3．故答案为：B．

【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.4．【答案】C【知识点】几何体的展开图；由展开图判断几何体【解析】【解答】立体图形（八面体）每个顶点与4个面相，连观察5个选项，A、B、E排除，因为他们折出一个与五个面相连的顶点。只剩下选项C、D。而选项D折成立体图时有2个面重叠再一起，并出现两个空面。所以选项D也排除。故答案为：C.【分析】这是一个八面立体图形，根据立体图形想象出其平面图形。5．【答案】C【知识点】几何体的展开图【解析】【解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形；B.折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形；C.折叠后，可以形成三角形；D，折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形.故答案为：C.【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.6．【答案】B【知识点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几何体有三行、三列，即：第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多有2个；第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个；第三行第1列最多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个；所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).故答案为：B.【分析】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别判断出各行各列最多有几个正方体组成即可得出答案.7．【答案】A【知识点】几何体的展开图【解析】【解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，故答案为：A【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数.8．【答案】B【知识点】几何体的展开图【解析】【解答】解：由已知可知，AB与CD为相邻面所在，如展开图简要示意，

如图1，若展开图中，不剪AC，如图1，此时两直线所在平面展开图的直线关系为AB∥CD，

如图2，若展开图中，剪开AC，且相邻直线所在平面完全分离，此时所在直线展开图的直线关系为AB∥CD，

如图3、4，若展开图中，剪开AC，但相邻直线所在平面依靠点A或点C连接，此时所在直线展开图的直线关系为AB⊥CD，

故①②成立，③不成立，选A.故答案为：A.【分析】利用相邻面情况展开分析，选择适当的角度将所有相邻面的情况分析即可得出结论.9．【答案】B【知识点】几何体的展开图【解析】【解答】根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．故答案为：B．【分析】观察展开图可得有“○”和有“阴影”的两个面为同一顶点上的三个面，且折叠后有阴影的部分的三角形有一条直角边重合，据此进行判断.10．【答案】B【知识点】几何体的展开图【解析】【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．故选B．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．11．【答案】6552【知识点】几何体的展开图【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，=36×26×7，=6552cm3.故答案为：6552.【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒，也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.12．【答案】36【知识点】立体图形的概念与分类【解析】【解答】解：∴不带红色的小正方体的个数等于7

∴这7个小正方体都在长方体的内部

∵7=7×1×1

∴这个长方体为3×3×9的长方体

∵（1+1+7）×4=36（个）

∴两面带红色的小正方体的个数为36个

故答案为36.

【分析】由题意知：不带红色的小正方体的个数等于7，因此这7个小正方体都在长方体的内部，这样得出长方体为3×3×9的长方体，两面带红色的小正方体都在长方体的四条棱上，又由因为四个顶点处小正方体三面是红色，所以（1+1+7）×4=36，即可得出答案.13．【答案】10【知识点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：从上面看有6个正方形，则最底层有6块小木块.

从正面看和从左面看可知，第二层有3块小木块，第三层有1块小木块.3

所以它是由6+3+1=10块小木块组成的．故答案为10：.【分析】先从上面看判断最底层的小木块的个数，再从正面看和从左面看判断第二层和第三层的小木块的个数，相加即可判断.14．【答案】13【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为2，故其表面积为：π×1故答案为：13.【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可.15．【答案】192【知识点】几何体的表面积【解析】【解答】该立体图形可通过六个面进行观察，将每个正方形的面积计为单位“1”

从前面看：8个从后面看：8个；

从左面看：7个从右面看：7个；

从上面看：9个从底面看：9个；

综上所述共可看48个面，总表面积计算即：48×（2×2）=192

【分析】立体图形的表面积，可以分组进行观察；也可发现前后面，左右面，上下面看到的数量各自相等，再累加求解。

16．【答案】65【知识点】由三视图判断几何体【解析】【解答】摆出如图所示的图形，至少要3+2=5个小正方体，最多需要9+4=13个小正方体，所以mn=65.【分析】最少情况就是对角摆放，中间放一个，最多情况是每行每列都填满.17．【答案】解：如图，【知识点】作图﹣三视图【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键.根据主视图、左视图、俯视图的定义即可得到结果.18．【答案】（1）解：x=1，z=3（2）解：y可能是1或2，3+2+1+1+2+1+1=113+2+1++2+1+1=12这个几何体最少由11个立方体搭成，最多由12个立方体搭成【知识点】由三视图判断几何体【解析】【分析】（1）由主视图和俯视图可知，x=1，z=3；

（2）从主视图看，中间一列最高有2个小立方块，由俯视图看，最后一列有2个小立方块，所以中间可以是1个小立方块，即y=1或2；所以由题意可得这个几何体最少由11个立方体搭成，最多由12个立方体搭成。19．【答案】（1）24（2）解：​​【知识点】几何体的表面积；简单组合体的三视图【解析】【解答】（1）解：这个几何体的表面积为(5+3+4)×2=24。故答案为：（1）24。【分析】（1）先分析出从正面看是5个正方形，从左面看是3个正方形，从上面看是4个正方形，然后根据图形计算即可；（2）分别画出从三个方向看到的平面图形即可；本题考查作图−形状图、几何体的表面积，正确识图是解题的关键。20．【答案】（1）解：如图（2）32（3）4【知识点】作图﹣三视图【解析】【解答】(2)6×2+6×2+2+6=32【分析】（1）主视图是从物体的正面观察得到的，俯视图是从物体的上面观察得到的，左视图是从物体的左方得到的；画出几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）根据各个平面的面积，得到其表面涂漆的面积是6×2+6×2+2+6；（3）根据保持这个几何体的左视图和俯视图不变，得到最多可以再添加4个小正方体．21．【答案】（1）解：如图所示：（2）34（3）19（4）3【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图【解析】【解答】（2）该几何体的表面积是：6×2+6×2+5×2=34（cm2）；故答为：34；（3）最少可以拼成一个棱长为3的正方体.故还需要27-8=19块.（4）保持主视图和俯视图不变，主视图看列，左列最高处有3个小立方块，中列最高处有1个小立方块，右列最高处有2个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为“1”，右列最多为“2+2”，总共最多为6+1+4=11个小立方块，现在有8个，所以最多可以再添加3个小立方块.

【分析】（1）主视图：从物体正面所看的平面图形，俯视图：从物体上面所看的平面图形；左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此画图即可；

（2）分别得到各个方向看的正方形的面数，再将各个面的面积相加即可；

（3）每条棱正方形个数是3，依此得到正方体中小正方形的个数，再减去原来立体图形中小正方体个数即可求解；

（4）保持从正面和上面看到的形状不变，可往第1列前面的几何体上放2个小正方体，中间的几何体上放1个小正方体.22．【答案】解：（1）②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒，故答案为：②；

解：（2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为a−2bcm，

∴长方体纸盒的底面周长为4a−2b=4a−8bcm，

故答案为：4a−8b；

②由题意可知，该长方体纸盒的长为a−2b=30−2×5=20cm，高为b=5cm，宽为a−2b2=10cm，

∴该长方体纸盒的体积为20×10×5=1000cm3，

【知识点】几何体的展开图；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算【解析】【分析】（1）根据无盖正方体纸盒展开图的面数和构成，结合题设中的数据，进行计算，即可求解；（2）①根据正方形周长公式，结合无盖正方体纸盒展开图，即可得解；②根据题意，结合长方体的体积公式，