问题解决策略：归纳-北师大版数学七上同步分层训练

问题解决策略：归纳-北师大版数学七上同步分层训练一、选择题1．计算：71−4=3,7A．3 B．5 C．9 D．72．观察下列单项式：x,−4xA．2026x2026 C．20262x20263．在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域．如图所示：当圆周上有2个点时，圆被分成2个区域；当圆周上有3个点时，圆被分成4个区域⋯，当圆周上有n（n>1）个点时，圆被分成的区域个数为（）A．n+2 B．n+3 C．2n−2 D．24．将一根绳子折成四段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；剪3刀，绳子变为13段；……；若剪13刀，则绳子的段数变为（）A．53 B．55 C．57 D．595．某烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为()

A．18 B．20 C．22 D．246．如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2024个“H”需要（）个棋子．A．10117 B．10120 C．10122 D．101257．如图，每个图形都由若干个大小相同的白色和黑色的小正方形组成，按图中的规律推断，第20个图形中黑色和白色的小正方形共有（）A．362个 B．384个 C．404个 D．420个8．如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第n个图案需用火柴棒的根数为（）A．n+4 B．4n−1 C．4n+1 D．4n+39．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，按照此规律，则第n个结构式中C、H的个数之和为（）A．3n+2 B．2n+3 C．3n+1 D．10．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，根据你发现的规律，若一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题11．2025年4月25日至27日，在瑞士举办的竞技叠杯世界锦标赛中，中国队取得4金6银5铜的优异成绩，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要个杯子．12．观察下图，找出图形变化的规律，第2035个图形中黑色正方形的数量是个．13．数学老师根据O中的三个数按照如下规律设置学校WIFI密码，根据提供的信息可以推断该校的WIFI密码a是．14．如图是一个运算程序，若开始输入的x的值是14，可以发现第一次输出的结果是7，第二次输出的结果是10，规定第n次输出的结果记为an（n为正整数），则a1=7,a215．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数是．16．在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题．（1）将一根绳子折成3段，然后按如图1−1所示方式剪1刀，绳子变为4段，按如图1−2所示方式剪2刀，绳子变为7段，那么剪3刀，绳子变为段……剪a刀，绳子变为段；（2）按如图2所示，将一段绳子折成4段，剪n刀，绳子变为段．三、解答题17．结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后比较下列数的大小：（1）小于1的正数a，a的平方，a的立方；（2）大于-1的负数b，b的平方，b的立方.18．用同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的方式组成图案：（1）根据排列规律，第4个图案中有_____个黑色正方形地砖，有_____个白色正方形地砖；（2）请写出第n（n为正整数）个图案中黑色正方形地砖数和白色正方形地砖数（用含n的代数式表示）．19．再读教材请解答教材中的(1)、(2)问。活学活用小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系?（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗?如能，写出这五个数，如不能，说明理由.20．观察下列各式：12=11×2=1−类比上述方法，解答下列各题：（1）19×10（2）计算：11×2（3）计算：12×421．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．在数学的学习过程中，我们经常用这样的策略探究规律．【数学问题】平面图的顶点数、边数与区域数之间存在什么样的数量关系？【问题探究】为了解决这个问题，我们可以从类似于（a）、（b）、（c）、（d）、（e）五个图等具体的情形入手，借助表格探索平面图的顶点数x、边数y与区域数z之间的一般规律．图顶点数x边数y区域数z(331(463(694(8m5(1015n【问题解决】（1）将表格数据补充完整，m=；n=；（2）猜想：一个平面图的顶点数x、边数y、区域数z之间的数量关系为：；（3）现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中猜想的关系，确定这个图有多少条边？22．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+4+⋯+n的结果进行探究．具体操作如图：分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：直观发现：小正方形的数量和依次为1×2，2×3，3×4，4×5，…因此空白部分的小正方形的数量和依次为1×22，2×32，3×42（1）请你归纳总结：1+2+3+4+5+⋯+n=____；【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：（2）连续奇数的和请你归纳总结：1+3+5+7+⋯+2n−1（3）连续偶数的和请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：2+4+6+8+…+2n=____；【应用】（4）利用以上结论，计算101+103+105+…+199+

答案解析部分1．【答案】A【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则【解析】【解答】解：∵71−4=3,72−4=45,73−4=339,74−4=2397,75−4=16803,⋯，

∴712．【答案】D【知识点】单项式的概念；探索规律-系数规律【解析】【解答】解：观察可知：系数为平方数且符号交替，指数与序号相同，

∴第n个单项式为−1n+1⋅n2⋅xn，

当n=2026时，−12027=−1，

∴3．【答案】C【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：∵当圆周上有2个点时，圆被分成2×2−2=2个区域；当圆周上有3个点时，圆被分成2×3−2=4个区域；当圆周上有4个点时，圆被分成2×4−2=6个区域；当圆周上有5个点时，圆被分成2×5−2=8个区域；⋯，∴当圆周上有n（n>1）个点时，圆被分成的区域个数为2n−2，故答案为：C．

【分析】根据前几幅图中图形的数量与圆周上点的数量的关系可得规律：当圆周上有n（n>1）个点时，圆被分成的区域个数为2n−2，从而得解.4．【答案】A【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律【解析】【解答】解：剪1刀，绳子变为5段，即5=1×4+1；

剪2刀，绳子变为9段，即9=2×4+1；

剪3刀，绳子变为13段，即13=3×4+1；∴剪n刀，绳子变为4n+1段，当剪13刀时，则绳子变为4×13+1=53段，故答案为：A．【分析】本题结合条件中的规律，归纳总结得出当剪n刀时，绳子变为4n+1段，最后将n=13代入计算即可。5．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：由题意可得：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2

∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个.

∴当n=10时，2n+2=2×10+2=22（个）

即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个

故答案为：C

【分析】求出前3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数，总结规律，结合有理数的乘法，解法即可求出答案.6．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：解：由图可知，摆成第1个“H”字需要的棋子的个数为7=3+4×1（个），摆成第2个“H”字需要的棋子的个数为12=4+4×2（个），摆成第3个“H”字需要的棋子的个数为17=5+4×3（个），……归纳类推得：摆成第n个“H”字需要的棋子的个数为4n+n+2=5n+2当n=2024时，5n+2=10122，故选：C．【分析】根据前3个图形需要的棋子个数，总结规律，结合有理数的加法，乘法即可求出答案.7．【答案】C【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：第1个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有12第2个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有22第3个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有32……则第n个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有n2故第20个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有202第20个图形中黑色和白色的小正方形共有400+4=404（个）．故答案为：C．

【分析】根据前几幅图中黑色和白色小正方形的数量与序号的关系可得规律：第n个图形中，黑色小正方形有4个，白色小正方形有n28．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：由题图可知，摆第1个图案需用的火柴棒的根数为5=4×1+1；摆第2个图案需用的火柴棒的根数为9=4×2+1；摆第3个图案需用的火柴棒的根数为13=4×3+1；．．．；所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为4n+1．故选：C．【分析】根据前3个图案中需要的火柴的数量，总结规律，结合有理数的乘法，加法即可求出答案.9．【答案】A【知识点】合并同类项法则及应用；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律【解析】【解答】解：∵第1个结构式中有1个C和2×1+2=4个H，第2个结构式中有2个C和2×2+2=6个H，第3个结构式中有3个C和2×3+2=8个H，……∴观察图形可得，第n个结构式中，碳原子的个数为n，氢原子的个数为2n+2，∴C、H的个数之和为n+2n+2故答案为：A．【分析】认真观察题目情境中图形，分析发现第n个结构式中，碳原子的个数为n，氢原子的个数为2n+2，即可得第n个结构式中C、H的个数之和.10．【答案】D【知识点】有理数的加法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：由图可知，四边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为2=4−2个，五边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为3=5−2个，六边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为4=6−2个，归纳类推得：nn≥4边形按图中的分割方式可分割成的三角形的个数为n−2∵一个多边形按图中的分割方式可分割成7个三角形，∴这个多边形的边数是7+2=9，故选：D．【分析】根据前3个图形的变换，总结规律，结合有理数的加减即可求出答案.11．【答案】55【知识点】有理数混合运算的实际应用；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：由图可知，第1个图形需要杯子的数量为1=1×第2个图形需要杯子的数量为3=2×第3个图形需要杯子的数量为6=3×第4个图形需要杯子的数量为10=4×归纳类推得：第n个图形需要杯子的数量为nn+12个，其中所以第10个图形需要杯子的数量为10×10+1故答案为：55．【分析】根据前4个图形中需要杯子的数量，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.12．【答案】3053【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：根据图形可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2个，第2个图形中黑色正方形的数量为3个，第3个图形中黑色正方形的数量为5个，第4个图形中黑色正方形的数量为6个，第5个图形中黑色正方形的数量为8个，……当n为奇数时，黑色正方形的个数为：n+n+1当n为偶数时，黑色正方形的个数为：n+n∴第2035个图形中黑色正方形的数量是：2035+2035+1故答案为：3053．

【分析】本题考查图形规律的探索与代数式求值，需通过分析前几个图形的黑色正方形数量，分奇偶性总结规律。观察发现，当n为奇数时，黑色正方形个数为n+n+12；当n为偶数时，个数为n+n13．【答案】324880【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；探索规律-数阵类规律【解析】【解答】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现：第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积；第3、4个数字为下面的两个数的积；第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积．4×8=32，所以密码是324880，故答案为：324880．【分析】根据前3个密码与三个数字的关系，总结规律即可求出答案.14．【答案】2【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图；探索规律-末尾数字规律【解析】【解答】解：因为开始输入的x的值是14，

所以第一次输出的结果是7，即a1＝7，

依此类推，a2＝10，a3＝5，a4＝8，a5＝4，a6＝2，a7＝1，a8＝4，…，

由此可见，这列数从a5开始按4，2，1循环．

因为（2025−4）÷3＝673……2，

所以a2025＝2．

故答案为：2．

【分析】先将x=14代入流程图计算，可得规律这列数从a5开始按4，2，1循环，再结合（2025−4）÷3＝673……2，求出a2025＝2即可．15．【答案】6073【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】解：图①中共有1个正方形，图②中共有4个正方形，图③中共有7个正方形，即3×2+1=7；图④中共有10个正方形，即3×3+1=10；⋯⋯，图n中共有正方形的个数为1+3n−1所以第2025个图中共有正方形的个数为：3×2025−2=6073．故答案为：6073．【分析】根据前四个图形中正方形的个数，总结规律，结合有理数的乘法，加法即可求出答案.16．【答案】10；3a+1；4n+1【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-图形的个数规律【解析】【解答】（1）解：∵剪1刀，绳子变为4段，4=3+1+3×0；剪2刀，绳子变为7段，7=3+1+3×1；由此可得，剪3刀，绳子变为3+1+3×2=10段，剪4刀，绳子变为3+1+3×3=13段，……可得，剪a刀，绳子变为3+1+3×a−1故答案为：10，3a+1．（2）解：剪1刀，绳子变为5段，5=4+1+4×0；剪2刀，绳子变为4+1+4×1=9，9段；……∴剪n刀，绳子变为4+1+4×n−1故答案为：4n+1．【分析】本题考查图形变化类的规律归纳，核心是通过分析前几次的剪段结果找出通用规律。

（1）先观察已知情况：折成3段剪1刀得4段，剪2刀得7段，发现每多剪1刀就多3段，因此剪3刀时，段数为4+3×(3−1)=10段；推导通用规律，剪a刀时，段数为3a+1（初始剪1刀为4段，符合3×1+1=4）；

（2）同理，折成4段剪1刀得5段，剪2刀得9段，每多剪1刀多4段，因此剪n刀时，段数为17．【答案】（1）解：取a=12，则a因此．当a为小于1的正数时，a>a（2）取b=−1则b2因此，当b为大于-1的负数时，b2【知识点】有理数的大小比较-直接比较法【解析】【分析】分别按各小问的条件，先选定a、b，再进行平方、立方处理，再比较大小.18．【答案】（1）13；14（2）解：由（1）知，第n个图案中，黑色正方形地砖数为3n+1，白色正方形地砖数为3n+2．【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：由所给图形可知，第1个图案中黑色正方形的个数为：4=3×1+1，白色正方形的个数为：5=3×1+2；第2个图案中黑色正方形的个数为：7=3×2+1，白色正方形的个数为：8=3×2+2；第3个图案中黑色正方形的个数为：10=3×3+1，白色正方形的个数为：11=3×3+2；第4个图案中黑色正方形的个数为：13=3×4+1，白色正方形的个数为：14=3×4+2；故答案为：13，14；【分析】（1）通过逐步计算图形中黑色正方形和白色正方形的数量，找出其中的规律模式。

（2）基于第（1）问中发现的规律，进一步解决问题。（1）解：由所给图形可知，第1个图案中黑色正方形的个数为：4=3×1+1，白色正方形的个数为：5=3×1+2；第2个图案中黑色正方形的个数为：7=3×2+1，白色正方形的个数为：8=3×2+2；第3个图案中黑色正方形的个数为：10=3×3+1，白色正方形的个数为：11=3×3+2；第4个图案中黑色正方形的个数为：13=3×4+1，白色正方形的个数为：14=3×4+2；故答案为：13，14；（2）由（1）知，第n个图案中，黑色正方形地砖数为3n+1，白色正方形地砖数为3n+2．19．【答案】（1）日历图中框出的9个数之和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90，该方框正中间的数是10，90＝9×10，所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；（2）5个数之和为6+14+16+18+26=80，16×5=80；用代数式表示十字框中的五个数的和=5x；（3）①∵6+14+16+18+26＝80＝16×5，∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．②设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，∴（x﹣10）+（x﹣2）+x+（x+2）+（x+10）＝5x．③不能，理由如下：设中间的数为x，根据题意得：5x＝2010，解得：x＝402．∵402在第41行的第一个数字，∴框住的五个数的和不能等于2010．【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示数值变化规律【解析】【分析】（1）先求出9个数之和，找出与正中心的数的关系即可；

（2）先求出五个数之和，中间数乘以5刚好等于五个数之和，可直接列代数式；

（3）根据五个数之和等于5乘以中间数的积，列一元一次方程，解方程即可判断.20．【答案】（1）1（2）99（3）解：1=====253​【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律【解析】【解答】（1）解：根据题意得：

19×10故答案为：19（2）解：1=1−=1−=99故答案为：99100【分析】（1）根据裂项定义得19×10（2）根据裂项定义11×2+1（3）把12×4+14×6+16×8+⋯+（1）解：19×10故答案为：19（2）解：1=1−=1−=99故答案为：991