1.1探索勾股定理（1）-北师大版数学八上同步分层训练

1.1探索勾股定理（1）-北师大版数学八上同步分层训练）一、基础训练1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A'B'的长为（）A．6 B．8 C．10 D．122．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（）A．9 B．8 C．2 D．453．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（）A．3 B．4 C．5 D．124．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（）A．5 B．10 C．125 D．5．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A．6 B．7 C．10 D．136．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，BC=12，根据尺规作图痕迹可知，△BPD的周长是（）A．17 B．18.5 C．20 D．257．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于12AB长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB的长是.9．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P.连接AP并延长交BC于点D，若AD=5，AC=4，则点D到直线AB的距离是.10．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上).（1）线段AB的长度为；（2）请使用无刻度直尺在图中作△ABC的角平分线BD.二、巩固提升11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，nm>nA．2 B．3 C．4 D．412．如图是一个弩箭模型，箭MN经过BC的中点D．已知AB=AC=17cm，AN=14cm，BC=30cm，则DN的长为()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到直线AC的距离为（）A．1310 B．135 C．111014．如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=615．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=5，BD⊥AC于点D，且BD=4，则AC的长为__________．16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1,S2,17．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12，BBC=16，则AE的长为.18．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP为伞柄，伞圈D能沿着伞柄AP滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足AE=（1）求证：△ADE≅△ADF;（2）当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到?19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）求CD的长．三、能力应用20．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E。（1）求证：△ACE是等腰三角形。（2）若AC=13cm，CE=24cm，求△ACE的面积。21．在四边形ABCD中，AB=7，BC=24，CD=20，AD=15，∠B=90°，求四边形

答案解析部分1．【答案】C【知识点】勾股定理；轴对称的性质【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴AB=AC2+BC2=82+62=10，

∵△ABC与△A2．【答案】A【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：∵正方形A，B的面积为2，4，

∴没标字母的正方形的面积为：6，

∵C的面积为：3，

∴正方形D的面积为：3+6=9故答案为：A【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6，进而再根据勾股定理即可得出正方形D的面积为：3+6=9。3．【答案】C【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB为斜边，

根据勾股定理：AB=故答案为：C.【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.4．【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，斜边长为：62三角形的面积＝12设斜边上的高为x，则12解得x＝4.8.故答案为：D.【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.5．【答案】D【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：斜边的长=52+122=136．【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，且DP垂直于AB。

因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠DAB；又因为∠C=∠APD=90°，AD为公共边，所以

△ACD≌△APD（AAS）。

由全等三角形性质可得：AP=AC=5，CD=PD。因此BP=AB-AP=13-5=8。

△BPD的周长为PD+DB+PB，将PD替换为CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。

代入BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。

故答案为：C。

【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。7．【答案】3【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线【解析】【解答】解：连接AD

由作图可得，直线MN垂直平分线段AB

∴AD=BD

∵BC=2AC=8

∴AC=4

设CD=x，则BD=AD=8-x

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=CD2+AC2

即(8-x)2=x2+42

解得：x=3

∴CD的长为3故答案为：3【分析】连接AD，由作图可得，直线MN垂直平分线段AB，则AD=BD，设CD=x，则BD=AD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.8．【答案】5【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：∵∠C=90°，若BC=3，AC=4，

∴AB=BC故答案为：5.【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.9．【答案】3【知识点】角平分线的性质；勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，

∴CD=AD2−AC2=5故答案为：3.【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.10．【答案】（1）5（2）解：如图，BD即为所作；【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：AB=3即线段AB的长度为5，

故答案为：5．【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长即可；（2）取格点D，连接BD，根据等腰三角形的三线合一可知BD即为所作．11．【答案】C【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，

∴大正方形的边长为10，

∵直角三角形的两条直角边长分别为m，∴m2∵m+n2=16，即∴mn=12×16−m2+∴小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4，故答案为：C．【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出m2+n12．【答案】D【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点

∴BD=CD=12BC=15cm

∵AB=AC=17cm，

∴AD⊥BC，

在Rt△ABD中，AB=17cm，BD=15cm，

∴AD=AB2−BD2=172−13．【答案】B【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=32+42=5，设B到AC的距离为d，

S△ABC=4×4−12×1×3−12×3×4−114．【答案】15【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：∵在直角△ABC中，AB又∵S1=BC2，∴S3故答案为：15．

【分析】根据直角三角形的三边关系AB2=A15．【答案】25【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠BDC=90∵在Rt△BDC中，BC=5，BD=4，∴由勾股定理可知，DC2=BC2∴同理，在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AB∵AB=AC，∴AD=AC−DC=AB−DC=AB−3代入得，AB解得，AB=AC=25故答案为：256【分析】在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得AD=AC-CD=AB-CD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.16．【答案】9【知识点】勾股定理【解析】【解答】解：设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，由题意得S1=a2，S3已知S2+S1−解得a2阴影部分是一个三角形，以AB等长的边为底，高等于AB的长度，所以阴影面积为S=1故答案为：9．【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方。设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此S1=a2，S2=c2，S3=b2。由勾股定理可知a217．【答案】10【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：∵∠C=90°

∴△ABC为直角三角形

∴AB=AC2+BC2=122+162=20

∵AD=BD

∴△ADB是等腰三角形18．【答案】（1）证明：∵AB=AC,AE=13AB,AF=13AE=AFAD=ADDE=DF

（2）解：如图，连接BC，∵△ADE≌△ADF(SSS)，∴∠EAD=∠FAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC，BD=DC，∵AB=55cm，AD=33cm，∴BD=A∴BC=2BD=88cm，∵40×2+10=90cm>88cm，∴他们会被垂直滴下的雨水淋到．答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【分析】（1）先根据三等分点可得AE=AF，然后根据SSS证明两个三角形全等即可；（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠FAD，根根据勾股定理求出BD的长度，然后利用三线合一求出BC长判断解答即可．19．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠AED=90°，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED(AAS)；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=A∵△ACD≌△AED，∴AE=AC=3，CD=DE，∴BE=AB−AE=5−3=2，设CD=DE=x，则BD=4−x，根据勾股定理得：BD∴(4−x)2解得：x=3∴CD的长为32【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠CAD=∠EAD，根据角之间的关系可得∠ACD=∠AED=90°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据勾股定理可得AB，再根据全等三角形性质可得AE=AC=3，CD=DE，根据边之间的关系可得BE，设CD=DE=x，则BD=4−x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.20．【答案】（1）证明：∵AB∥CD

∴∠AEC=∠DCE

∵CE平分∠ACD

∴∠ACE=∠DCE

∴∠ACE=∠AEC

∴△ACE是等腰三角形（2）解：过点A作AG⊥CE，垂足为G

∵AC=AE

∴CG=EG=12CE=12

∴AG=A【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一【