1.1探索勾股定理（2）-北师大版数学八上同步分层训练

.1探索勾股定理（2）-北师大版数学八上同步分层训练一、基础训练1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4A．5 B．12 C．15 D．162．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=5，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．254 C．2523．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）A． B． C． D．4．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．95．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（）A．10 B．6 C．4 D．26．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为1，2，5，10.则正方形D的面积是.7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为边长向外作正方形，三个正方形面积分别为S1，S2，S3，若S1=20，则S1+S2+S3=.8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，已知直角边BC=5，AC=7，则CD=．9．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系?二、巩固提升10．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（）A．9 B．12 C．14 D．3511．第14届数学教育大会ICME−14会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若AE+BE=7,AB=5，则直角三角形ABE的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．612．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有（）个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个13．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为S1，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为S2，嘉琪同学得出了以下四个结论：①S1=a2+b2+abA．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足m+n2=15则大正方形面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1115．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边形ABCD的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为S1，S2，S3和S4，若S1=5π，S216．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）17．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S318．如图，分别以直角三角形ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且AD=CD，CE=BE，AF=BF，这三个直角三角形的面积分别为S1，S2，S19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．（1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：S阴影方法2：S阴影根据以上信息，可以得到等式：______；（2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；（3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．三、能力应用20．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是．21．项目背景某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣素材一毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形.因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树素材二经过小组讨论，制定了如下规则：1.画出不同类型三角形形成的树形图(以三角形的三边为边，分别向外作正方形)；2.所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边的长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究.素材三解决问题任务一小明画出了锐角三角形ABC，AB=AC，BC=2cm，则S1任务二小金画出了直角三角形DEF，∠DFE=90°，EF=2cm，计算S2任务三小山画出了钝角三角形GHI，∠GIH=120°，HI=2cm，则S2项目总结综合以上三位同学所画的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想：周长一定的情况下，由三角形形成的树形图形总面积(S322．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，【结论探究】(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；【结论应用】(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？【问题拓展】(3)△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：∵如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB∵S1∴S2故答案为：D．

【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．2．【答案】D【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：S阴影∵AB2=AC2+BC2=25，∴AB2+AC2+BC2=50，∴S阴影=12故答案为：D．【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．3．【答案】C【知识点】勾股定理的证明【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．故答案为：A．

【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。4．【答案】B【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：由图和勾股定理，得：b=c∴小正方形ABCD的边长为b−a=8−6=2，∴小正方形ABCD的面积是22故选B．【分析】根据勾股定理可得b=8，求出小正方形的边长，再根据正方形面积即可求出答案.5．【答案】C【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：由题意，得：中间小正方形的边长=3−1=2，∴小正方形的面积为：22故答案为：C．

【分析】由图可得小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行根据正方形面积求解即可．6．【答案】2【知识点】勾股树模型【解析】【解答】解：设中间两个正方形的面积分别为x、y，正方形D的面积为z，

则由勾股定理得x=1+2=3，y=5+z，

∴3+y=3+5+z=10，

解得：z=2

即正方形D的面积为2，

故答案为：2.

【分析】分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可得到结论.7．【答案】40【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：∵分别以AB，BC，AC为边长向外作正方形，∴S1=AB2∵∠ACB=90°，∴AB∵S∴S故答案为：40．【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出．8．【答案】2【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，∴BD=AC=7，∴CD=BD−BC=7−5=2，故答案为：2．

【分析】

根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成，可得这四个直角三角形都全等。然后根据全等三角形对应边相等的性质得出AC=BD=7，最后根据线段的和差关系（CD=BD-BC），代入数值计算即可．9．【答案】解：∵由勾股定理得：AC2∵同理S【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【分析】由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案.10．【答案】B【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型【解析】【解答】解：如图，由正方形的性质得：∠EFG=∠EGH=∠GMH=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠MGH=90°，∴∠FEG=∠MGH，在△EFG和△GMH中，∠EFG=∠GMH∴△EFG≌△GMH(AAS)，∴FG=MH，GM=EF，∴E∴正方形B的面积为EG2故答案为：B.【分析】证△EFG≌ΔGMH，推出]FG=MH，GM=EF，则EF2=5,H11．【答案】D【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：∵△ABE是直角三角形，AB=5，∴AE∵AE+BE=7，∴AE+BE2∴AE⋅BE=12，∴直角三角形ABE的面积=1故选：D．

【分析】根据勾股定理得出AE2+B12．【答案】C【知识点】等腰三角形的概念；运用勾股定理解决网格问题【解析】【解答】解：如图，∵AB=1∴①若AB=BC，则符合要求的有：C4②若AB=AC，则符合要求的有：C1∴这样的C点有5个．故选：C．【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC去分析求解即可求得答案．13．【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明【解析】【解答】解：由勾股定理得：a2由题意得：S1故①，②，③，④正确，故选：D．【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面积不变的原理，结合正方形和直角三角形的面积公式进行推导。首先计算S1，图1空白部分由两个边长分别为a、b的正方形和两个直角边为a、b的直角三角形组成，正方形面积分别为a2和b2，两个直角三角形面积和为2×12ab=ab，因此S1=a2+b2+ab；再计算S2，图2空白部分由一个边长为c的正方形和两个直角边为a、b14．【答案】B【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：据题意知，小正方形的边长为（m-n），

∴（m-n）2=3，

又m+n2=15，

∴m2−2mn+n2=3①m2+2mn+n2=15②

∴①+②，得2m2+2n2=18，

∴m2+n2=9，

15．【答案】6π【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：设AD=d则S1=πS2=πS3S4∵∠ABC=∠ADC=90°，∴AC即d1由S4=34S将d12=40，d22即40+72=34d42∴S4故答案为6π．【分析】本题考查勾股定理和半圆面积公式，由半圆面积公式表示出各边的平方，再利用“直角三角形中两直角边平方和=斜边平方，结合S4与S3关系求解.16．【答案】a+b2=a−b【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明【解析】【解答】解：如图1，根据矩形的面积公式得a+b2故答案为：a+b2如图2，12b+c故答案为：b2【分析】图1中：根据大正方形面积可得(a+b)2，大正方形面积也可表示为：4个矩形面积+中间小正方形面积，则a−b2+4ab，即a+b2=a−b2+4ab；

17．【答案】12【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是S△，

∵S2=6，

∴S1−4S△=S3+4S△=S18．【答案】12【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：∵△ADC为直角三角形，且AD=CD，又∵在△ADC中，AC∴AC2=2AD2∴S1=12A同理可得：4S2=B∵∠ACB=90°，∴AB即4S∴S3∵S1∴S3=S2+S1=11+25=36故答案为：12．

【分析】根据△ADC为直角三角形且AD=CD，可得到S1=12AD2=12×1219．【答案】（1）a−b2；c2（2）解：∵S大正方形即a+b2整理得a2故a2（3）解：如图，S阴影∵a=6，b=3，∴c=6则S正方形∴S阴影故阴影部分的面积为27．【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】（1）解：方法1：S阴影方法2：S阴影∵a−b2=c故c2根据以上信息，可以得到等式：c2故答案为：a−b2；c2−4×12ab；c2（1）解：方法1：S阴影方法2：S阴影∵a−b2=c故c2根据以上信息，可以得到等式：c2故答案为：a−b2；c2−4×（2）解：∵S大正方形即a+b2整理得a2故a2（3）解：如图，S阴影∵a=6，b=3，∴c=6则S正方形∴S阴影故阴影部分的面积为27．20．【答案】7【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，∴AB设AE=x，∵AE+BE=7，∴BE=7−x，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE∴x∴2x∵四边形EFGH是正方形，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGMASA∴S△AEP=∴S∵S则S△CFP−S故△CFP与△AEP的面积差为72故答案为：72.

【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得AH∥CF，由二直线平行，内错角相等得∠EAP=∠GCM，由全等三角形的对应边相等得AE=CG，从而由“ASA”可证△AEP≌△CGM，则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形EFGH21．【答案】解：任务一：4任务二：设DF=xcm.因为∠DFE=90°，EF=2cm，△DEF的周长为8cm，所以DE=8-2-x=(6-x)cm，由勾股定理得EF2+DF2=DE2，即22+x2=6−x任务三：932项目总结：钝角.证明如下：在类型①中，S1+S2+S3=4+9+9=22cm2;在类型②中，S1【知识点】勾股定理；勾股树模型【解析】【解答】解：任务一：因为AB=AC，BC=2cm，AB+AC+BC=8cm，所以AB=AC=3cm，所以.S1=BC2=4cm任务三：在△GHI中，∠GIH=120°，所以∠GIT=180°-∠GIH=60°.因为GT⊥HI，所以∠IGT=30°.设IT=acm，则GI=2acm，由勾股定理得GT=GI2−IT2=3a2cm.因为HI=2cm，△GHI的周长为8cm，所以HG=8-2-2a=(6-2a)cm.在Rt△GHT中，HG=(6-2a)cm，GT=3a2cm，HT=(2+a)cm，由勾股定理得HG2=GT2+HT2，项目总结：猜想：周长一定的