北师大版 数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定 一阶训练

北师大版数学九年级上册1.4正方形的性质与判定一阶训练一、选择题1．如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．OA=OC D．∠AOB=60°2．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．有三个角是直角的平行四边形是正方形3．如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若SA．20 B．30 C．40 D．504．如图，在▱ABCD中，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC平分∠BAD时，它是菱形C．当OA=OB时，它是矩形D．当∠ABC=90∘时，且5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，平行四边形是菱形B．当AC⊥BD时，平行四边形是菱形C．当AC=BD时，平行四边形是矩形D．当∠ABC=90°时，平行四边形是正方形6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC=2A．42 B．4 C．227．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的是()A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形8．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（）A．∠B=90° B．AB=BC C．AB∥CD D．∠B=∠D9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（）A．5 B．26 C．17 10．如图，四边形AOCB是正方形，点O为原点，点C的坐标是(0,1)，点B的坐标为（）A．(−1,1) B．(−1,0) C．(1,1) D．(1,−1)二、填空题11．如图，等边△AEF的顶点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，则∠AEB=°.12．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠ABE=35°，则∠CEB的度数为．13．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.那么用若干个全等的正方形镶嵌整个平面.（填“能”或“不能”）14．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED的度数为.15．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是，这个长度介于两个相邻整数之间。（每个小正方形的边长为1个单位）三、解答题16．满足下列条件的四边形是不是正方形?为什么?（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的矩形；（3）对角线相等的菱形；（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，O是AC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且AE∥BC，连接CE.（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB=2，BC=22，求证：四边形ADCE是正方形.

答案解析部分1．【答案】A【知识点】正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系【解析】【解答】解：由菱形到正方形，需要添加条件为一个内角为直角，或者对角线相等

∴结合选项A答案符合题意。故答案为：A。【分析】由菱形到正方形，需要添加正方形相对于菱形特有的条件，即内角为90°，或者对角线相等，选项A，AC=BD，对角线相等，所以符合题意。

B选项，菱形性质有C⊥BD，不能作为判定菱形成为正方形的条件。

C选项，OA=OC，也是菱形的性质，不能作为判定菱形成为正方形的条件。

D选项，∠AOB=60°，没有条件可以得到这个结论，故不符合题意。2．【答案】A【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴A正确；

∵对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴B错误；

∵有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴C错误；

∵有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴D错误．

故选：A．

【分析】本题以特殊四边形的判定为背景，考查了菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理。逐一分析各选项是否符合相应图形的判定条件，找出说法正确的一项。3．【答案】D【知识点】勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】解：由题意得：AB2=A∵S1∴A即：2A∴S故选：D．【分析】根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.4．【答案】D【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴▱ABCD是菱形，故本选项结论正确，不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形，故本选项结论正确，不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD，∵OA=OB，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项结论正确，不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形，此时AC=BD恒成立，无法判定它是正方形，故本选项结论错误，符合题意．

故答案为：D

【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，由一个角是直角的平行四边形是矩形，则C项正确；邻边相等的平行四边形是菱形，则A项，B项正确，错误是D项．5．【答案】D【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：如图，A.当AB=BC时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确；B.当AC⊥BD时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确；C.当AC=BD时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；D.当∠ABC=90故选：D．【分析】根据菱形，矩形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.6．【答案】B【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用开平方求未知数【解析】【解答】解：设正方形ABCD边长为x，即AB=BC=x，AC=A解得x=1（负值舍去），故正方形ABCD的周长为1×4=4．

故答案为：B。【分析】本题结合正方形的性质得出AB=BC=x，而∠ABC=90°，此时可以利用勾股定理列式，求出x取正数即可．7．【答案】D【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形【解析】【解答】解：A：平行四边形绕其对角线的交点逆时针旋转180°，所得图形与才能与原图形重合，所以A不符合题意；

B：长方形绕其对角线的交点逆时针旋转180°，所得图形才能与与原图形重合，所以B不符合题意；

C：正六边形绕其对角线的交点逆时针旋转180°，所得图形才能与与原图形重合，所以C不符合题意；

D：正方形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形能与原图形重合，所以D符合题意。故答案为：D.【分析】根据旋转对称的定义，逐项进行判断，即可得出答案。8．【答案】A【知识点】正方形的判定【解析】【解答】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意；B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；C.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；D.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；故选：A．【分析】有一个角为直角的菱形为正方形．9．【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，

∴DH=AE=4，AH=BE=3

∴EH=AE-AH=4-3=1，

∵四边形形EFGH是正方形，

∴∠DHE=90°

∴DE=DH2+E10．【答案】A【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形AOCB是正方形，点O为原点，点C的坐标是0,1，∴AB=OC=BC=1，∵点B在第二象限，∴点B的坐标为(−1,1)，故选：A．【分析】根据正方形性质可得AB=OC=BC=1，再根据点的坐标即可求出答案.11．【答案】75【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形

∴AD=AB，∠D=∠B=90°

∵△AEF为等边三角形

∴AF=AE，∠FAE=60°

在Rt△ADF和Rt△ABE中，AD=ABAF=AE

∴Rt△ADF≌Rt△ABE

∴∠BAE=∠DAF=12故答案为：75【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则∠BAE=∠DAF=112．【答案】80°​​​​​​​【知识点】角的运算；三角形内角和定理；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，

∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°，∴∠CEB=180°−∠EBC−∠ACB=180°−55°−45°=80°。故答案为：80°．【分析】本题先根据正方形的性质得到∠ABC=90°，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出∠CEB=80°。13．【答案】能【知识点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵正方形每一个内角为90°，周角为360°，

∴360°÷90°=4故答案为：能.【分析】本题主要考查平面图形的镶嵌（密铺）条件.解题的关键是理解一种图形能否单独镶嵌整个平面，取决于其内角能否整除360°.正方形每个内角为90°，360°÷90°=4，即用4个正方形可以无缝隙、不重叠地拼成一个周角，从而可以无限延伸铺满整个平面.14．【答案】45°【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，∠BAD=90°

∵△ABE为等边三角形

∴AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°

在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°

∴∠AED=12180°−150°=15°

∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°

故答案为：45°15．【答案】10；3和4【知识点】无理数的估值；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，

根据勾股定理可得：

a2=12+32=1+9=10，

所以a=10。

∵9<10<16，

∴9<10<16，

即3<10<4。

∴这个长度介于两个相邻整数3和4之间。故答案为：10；3和4

【分析】观察图形可知，阴影正方形的边长是一个直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求阴影正方形的边长。然后通过寻找与10相邻的两个完全平方数9和16，对其开平方后确定10介于3和4这两个相邻整数之间。16．【答案】（1）解：是正方形。理由：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

对角线相等的平行四边形是矩形

既是菱形又是矩形的四边形是正方形（2）解：是正方形。理由：

矩形的对角线相等且互相平分

对角线互相垂直的矩形是菱形

既是矩形又是菱形的四边形是正方形（3）解：是正方形。理由：

菱形的对角线互相垂直平分

对角线相等的菱形是矩形

既是菱形又是矩形的四边形是正方形（4）解：是正方形。理由：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

对角线相等的平行四边形是矩形

既是菱形又是矩形的四边形是正方形【知识点】正方形的判定【解析】【分析】根据正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.17．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴D为BC的中点，又∵O是AC的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AB，∵DE∥AB，AE