北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 一阶训练

北师大版数学九年级上册1.3矩形的性质与判定一阶训练一、选择题1．如图，要使▱ABCD成为矩形，给出下列条件：①AB=BC；②∠DAB=∠ABC；③AC=BD，其中正确的是()A．①②③ B．②③ C．①② D．①③2．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是()A．若AB∥CD且AC=BD，则四边形ABCD是矩形B．若AB=AD且CB=CD，则四边形ABCD是菱形C．若OA=OC且OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形D．若AC⊥BD且AC=BD，则四边形ABCD是正方形4．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角相等5．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道AC、BC互相垂直，步道AB的中点M与观景亭C被河道隔开．若测得AB的长为4000m，则M、CA．4000m B．3000m C．2000m6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则BC＝（）A．6 B．8 C．43 D．7．如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC8．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB=60°,AC=6，则AD的长是（）A．6 B．3 C．33 10．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，若AB=2，AD=4，那么图中阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题11．在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝.12．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，变形后∠13．如图，BD是矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABC交CD于点E．若∠DBE=10°，则∠ADB=．14．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝．15．如下图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是三、解答题16．如图，一个木匠要制作一块矩形的木板.他在一块对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形木板.为什么?17．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。（1）若矩形自由采摘区面积为120m2，请你求出AB和BC分别是多少?（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗?请说明理由。

答案解析部分1．【答案】B【知识点】矩形的判定【解析】【解答】解：①AB=BC，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；②∠DAB=∠ABC，在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠DAB=∠ABC=90°，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；③AC=BD，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；综上，其中正确的是②③．故答案为：B.【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．2．【答案】D【知识点】矩形的判定【解析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．故答案为：D．

【分析】依据"对角线相等的平行四边形是矩形"这一判定定理来进行判断即可．3．【答案】C【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定4．【答案】A【知识点】菱形的性质；矩形的性质【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；故答案为：A．【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.5．【答案】C【知识点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵河畔有两条沿河步道AC、BC互相垂直，点M为步道AB的中点，AB的长为4000m∴MC=1故答案为：C【分析】本题考查直角三角形的重要性质——斜边上的中线等于斜边的一半。首先由AC⊥BC可判定ΔACB是直角三角形，斜边为AB，而M是AB的中点，即CM是直角三角形斜边上的中线，因此直接用斜边AB的长度除以2，就能得到CM的长度。6．【答案】C【知识点】勾股定理；矩形的性质【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，

∴OA=OB.

已知∠AOB=60∘，

有一组邻边相等且夹角为60∘，△AOB是等边三角形.

∴OA=OB=AB=4，

对角线AC=2OA=8.

矩形∠ABC=90∘，

在Rt△ABC中：BC=AC2−AB2故答案为：C.【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB，结合∠AOB=60∘判定等边三角形，得到对角线长度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.7．【答案】A【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定【解析】【解答】解：∵点O是△ABC边AC的中点

∴AO=OC

∵OD=BO

∴四边形ABCD是平行四边形

A、当AB=BC时，▱ABCD是菱形，不符合题意；

B、当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形，符合题意；

C、由四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB，添加条件∠ABD=∠ACD，可得∠CDB=∠ACD，所以OD=OC，所以AC=BD，可证▱ABCD是矩形，符合题意；

D、由OB=OC，得AC=BD，可证▱ABCD是矩形，符合题意；故答案为：A.【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定▱ABCD是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AC=BD，根据“对角线相等的四边形是平行四边形”判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.8．【答案】D【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定【解析】【解答】解：A．∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴▱ABCD是矩形，故结论正确，但不符合题意；B．∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故结论正确，但不符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC又OA=OB，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故结论正确，但不符合题意；D．当AB=AC时，四边形ABCD不一定是菱形，故结论错误，符合题意，故选：D．【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.9．【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，

∴AO=BO=12AC=12∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=3，∴AD=BD2【分析】先根据矩形的性质得出AO=BO=3，BD=AC=6，∠BAD=90°，然后根据等边三角形的判定及性质得到AB=AO=3，最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。10．【答案】A【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，OD=OB,CD∥AB，∴∠ODF=∠OBE，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOFASA∴S△BOE∴S阴影故选：A．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得OD=OB,CD∥AB，进而可得△BOE≌△DOF，利用全等三角形的面积相等得出S△BOE11．【答案】7【知识点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线，∴BD=AC=7。故答案为：7【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。12．【答案】6【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质【解析】【解答】解：过点B'作B∵∠A∴B'∵A'D∴S四边形故答案为：6．【分析】过点B'作B13．【答案】55°【知识点】矩形的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：∵BD是矩形ABCD的对角线，∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC∵BE平分∠ABC交CD于点E．∴∠CBE=∴∠CBD=∠DBE+∠CBE=55°∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD=55°，故答案为：55°【分析】先根据矩形的性质和角平分线求出∠CBE=45°，结合已知条件∠DBE=10°，利用角的和差关系求出∠DBC，最后根据平行线的性质进行解答即可．14．【答案】13【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质【解析】【解答】如图，连接BO，

∵B的坐标为（2，3），∴OB=2∵四边形OABC是矩形∴AC=OB=13故答案为：13．【分析】连接BO，根据两点间距离可得OB，再根据矩形性质即可求出答案.15．【答案】∠ABC=90°【知识点】矩形的判定【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD就成为矩形。故答案为：∠ABC=90°．【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有∠ABC=90°或AC=BD等均可。16．【答案】解：因为长木板的对边平行，由已知，得此四边形的四个内角都为直角，所以他能得到矩形木板.【知识点】矩形的判定【解析】【分析】根据矩形判定定理即可求出答案.17．【答案】（1）解：设BC=xm，则AB=(39-3x)由题意可得：