北师大版数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定 二阶训练

北师大版数学九年级上册1.4正方形的性质与判定二阶训练一、选择题1．下列条件不能判断四边形为正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形B．对角线互相垂直的矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等的菱形2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（）A．当AB=BC时，▱ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形D．当AC=BD时，▱ABCD是正方形3．如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则∠1+∠2的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°4．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则MN的长为（）A．9 B．10 C．12 D．135．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则A．4 B．5 C．8 D．106．如图，某兴趣小组需要在正方形ABCD上剪下机翼角(阴影部分)，点E在对角线BD上，若裁剪过程中满足DE=DA，则“机翼角”∠BAE的度数是()．A．30° B．23.5° C．22.5° D．22°7．将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（）A．815 B．634 C．15 8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB=4CE=4，则S△BGEA．25 B．5 C．45 D．109．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1,正方形ABCD的面积记作S3,则A．S1+S2<S3 B．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为6,4，直线l的表达式为：y=12x−2A．0<m<92 B．0≤m≤92 C．二、填空题11．正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF=3，CF=1，则EF=.12．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC=9，BF=3，则DE=．13．如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD，AB=5，AC=2，以BD为边作正方形BEFD，则正方形BEFD的周长为14．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶.如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）.已知AB=40cm，∠ADC=60°，当千斤顶升高cm时，四边形ABCD为正方形.（参考数据：2≈115．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为22.正确的有三、解答题16．如图，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使BE=BD．连接AE，DE．（1）求∠CDE的度数；（2）若AB=1，求AE的长．17．如图1，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，点E和F分别是边AB和AD上的动点（点E与点A,B不重合，点F与点A,D不重合），且AF=BE，连接CE，BF，相交于点G．（1）请判断CE与BF的位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点E，F运动到AB，AD的中点时，连接DG，请判断CD与DG之间的数量关系，并说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】正方形的判定与性质【解析】【解答】A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；C.对角线互相垂直且相等的四边形，有可能是等腰梯形，错误；D.对角线相等的菱形是正方形，正确；故选C.【分析】依据正方形的判定定理进行推导求解.2．【答案】D【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：A、当AB=BC时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定▱ABCD是菱形，故不符合题意；B、当AC⊥BD时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定▱ABCD是菱形，故不符合题意；C、当∠ABC=90°时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；D、当AC=BD时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定▱ABCD是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；故选D．【分析】根据对应的判定定理逐一排除错误选项，得到最终结果.3．【答案】C【知识点】正方形的性质；多边形的内角和公式【解析】【解答】解∶如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∵五边形BCDEF的内角和为(5−2)×180°=540°，∴∠1+∠2=540°−∠B−∠C−∠D=270°，故答案为∶C．【分析】本题考查了多边形内角与外角，正方形的性质，由四边形ABCD是正方形可得∠B=∠C=∠D=90°，再进出五边形BCDEF的内角和，用五边形BCDEF的内角和减去三个直角即可．4．【答案】D【知识点】勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】解：如图所示：∵正方形MADE和正方形ABNC的面积分别是49和25，∴AM=7，AB=BN=5，∠B=90°，∵M，A，B在同一条直线上，∴MB=AM+AB=12，在Rt△MNB中，由勾股定理得：MN=M故选：D．

【分析】本题考查正方形的性质与勾股定理的综合应用，先由正方形面积求出两个正方形的边长，得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理计算斜边MN的长度。5．【答案】B【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，又∵AE=BF，∴△ADE≌△BAFSAS∴∠ADE=∠BAF，∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，∵点M是DF的中点，∴OM=1如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，∵∠FBG=∠FBH=90°，∴△FBG≌△FBHSAS∴FH=FG，∴OM+1∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG∵AG=2GB，AB=6，∴BH=BG=2，∴AH=8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=A∴OM+1故选：B．

【分析】

首先证明△ADE≌△BAFSAS，由此可得对应角相等∠ADE=∠BAF，进一步可推导∠DOF=90°，即△DOF是直角三角形。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OM=12DF。如图所示，在AB的延长线上截取BH=BG，连接FH，易证△FBG≌△FBHSAS，因此对应边相等FH=FG。将代数式变形，根据两点之间线段最短，当D、F、H三点共线时，DF+FH取得最小值，此时OM+126．【答案】C【知识点】正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠ADE=45∘，在△ADE中，DE=DA，∴∠DAE=∠DEA，又∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180∴2∠DAE+45∴∠DAE=67.5∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=90∘−【分析】根据正方形性质可得∠ADE=45∘，∠BAD=90∘，根据等边对等角得到7．【答案】C【知识点】三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD，边长为6，N为BC中点，连接BD，P为AN与BD交点，过点P分别作PM⊥AD、PQ⊥BN，垂足分别为点M、点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC、AD=BC=6、∠C=90°，∵N为BC中点，∴BN=1∵AD∥BN，∴∠ADP=∠NBP，∵∠APD=∠NPB，∴△ADP∽△NBP，∴PM∴PM=2PQ，∴2PQ+PQ=6，∴PQ=2，∴S∵S由图可知，阴影部分面积为S③=S【分析】根据折叠过程确定折痕为正方形对角线BD及线段AN，得出N为BC中点，过点P分别作PM⊥AD、PQ⊥BN，垂足分别为点M、点Q，先证出△ADP∽△NBP，利用相似三角形性质得出PM=2PQ，从而求出点P到BC的距离，根据三角形的面积公式求出S△PNB和S△BCD利用阴影部分面积为8．【答案】D【知识点】三角形的面积；正方形的性质【解析】【解答】解：∵AB=4CE=4，

∴CE=1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=AB=4，AD//BC，CD⊥BC，

∴BE=BC+CE=5，

∴S△BGE故答案为：D.【分析】根据正方形的性质得到BC=CD=AB=4，AD//BC，CD⊥BC，求出BE的长，再根据三角形的面积公式可得答案.9．【答案】B【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：如图，根据题意可知，∠AED=∠DFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，∴∠ADE=∠DCF，在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF∠AED=∠DFC∴△ADE≌△DCF(AAS)，∴DE=CF，在Rt△ADE中，AE∵S1=AE2，∴S1故答案为：B.【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到△ADE≌△DCF，根据对应边相等得到DE=CF，然后根据勾股定理得到结论即可．10．【答案】B【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换【解析】【解答】解：如图，

∵边长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为6,4，∴B3,4，C将直线l沿y轴向上平移m个单位后解析式为，y=1当直线y=12x−2+m当经过点D时，有1=12×6−2+m当经过点B时，有4=12×3−2+m∵直线与正方形ABCD有交点，∴m的取值范围是0≤m≤92．【分析】根据正方形性质，结合已知得正方形各顶点的坐标6,4，B3,4，C3,1,D6,1，再求出将直线l沿y轴向上平移m个单位后解析式y=12x−2+m，当经过点D时，代入坐标得m=0，同理得当经过点B时，m=11．【答案】2【知识点】勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】解：如图所示，过点O作BC的垂线，垂足为M，∵BF=3,CF=1,∴BC=3+1=4.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⟂BD,OB=OC,∴BM=CM=则OM=∴MF=CM−CF=2−1=1.在Rt△OMF中，OF=∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心，∴EF=2OF=2故答案为：2【分析】过点O作BC的垂线，垂足为M，根据正方形的性质得到BM和CM的长，即可求出MF的值，然后根据勾股定理求出OF长解答即可.12．【答案】3【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质【解析】【解答】解：如图，延长FE交CD于点M，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB=BC=9，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，

∵BF=3，

∴AF=6，

∵EF⊥AB，

∴EF∥BC∥AD，∠AFE=90°，

∴四边形BCMF和ADMF是矩形，EF=AF=6，FM=BC=9，

∴DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，

∴DE=DM2+EM2

【分析】延长FE交CD于点M，证出四边形BCMF和ADMF是矩形，得出DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，再根据勾股定理求出DE的长，即可得出答案.13．【答案】16【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质【解析】【解答】解：如图，设菱形ABCD的对角线交于点O，∴AO=OC=12AC=1，AO⊥BD∴OD=BO=A∴BD=2BO=4，∴正方形BEFD的周长为4BD=4×4=16，故填：16．【分析】根据菱形的性质得出AO⊥BD，BO=OD，OA=1，利用勾股定理求得BO=2，从而得到BD=4，再利用正方形的面积公式进行计算，即可得出答案．14．【答案】17【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=40

∴AD=CD=AB=40

连接AC

∵∠ADC=60°

∴△ACD是等边三角形

∴AC=AD=40

如图，四边形ABCD是正方形，则∠ADC=90°

∴AC=AD2+CD2=402故答案为：17【分析】根据菱形性质可得AD=CD=AB=40，根据等边三角形判定定理可得△ACD是等边三角形，则AC=AD=40，当四边形ABCD是正方形时，∠ADC=90°，根据勾股定理可得AC，再作差求出升高的高度，即可求出答案.15．【答案】①②③④【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形

∴∠C=90°，AD=DC，∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°

∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，

∴∠GEC=∠GFC=90°

∴四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG=45°，∠FGB=∠CBG=45°

∴DG=2GE，BG=2GF，

∵G为BD的中点

∴DG=BG

∴GE=GF，

∴四边形GFCE是正方形，故①正确；

连接GC，

∵四边形GFCE是矩形

∴EF=GC，

在△ADG与△CDG中，

AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG

∴△ADG≌△CDG(SAS)

∴AG=GC

∴AG=EF，故②正确；

∵∠EGD=∠EDG=45°

∴GE=ED

∵四边形GFCE是矩形

∴GF=CE

∴GE+GF=ED+CE=CD=4

即GE+GF的值为定值4，故③正确；

∵EF=GC

∴当CG最小时，EF最小，

∴当CG⊥BD时，CG最小，

在Rt△BCD中，BD=2CD=42，

∵S△BCD=12BD·CG=12BC·CD，

∴42CG=4×4，

∴CG=22

∴线段EF的最小值为22，故④正确；

∴16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=∠CBD=45°，∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED=180°−∠DBE∴∠CDE=∠BDE−∠BDC=22（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=1，∠BAD=∠ABC=90°，∴BD=A∴BE=BD=2∴AE=A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质【解析】【分析】（1）首先根据正方形的性质可得出∠BDC=∠CBD=45°，进而根据等腰三角形的性质，及三角形内角和定理可得出∠BDE=∠BED=180°−∠DBE2=67.5°，进而得出∠CDE=∠BDE−∠BDC=22.5°；

（2）首先根据正方形的性质可得出AB=AD=1，∠BAD=∠ABC=90°17．【答案】（1）CE⊥BF，理由如下：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBE=∠A=90°，BC=AB，

在△ABF和△BCE中，

AB=BC∠A=∠CBEAF=BE，

∴△ABF≌△BCESAS，

∴∠FBA=∠ECB，

∵∠FBA+∠CBG=90°，

∴∠ECB+∠CBG=90°，

∴∠CGB=90°，

（2）解：CD=DG，理由如下：

如图，延长CD，BF交于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠CDA=90°，AB=CD，

∴∠HDF=180°−∠CDA=90°

由题意可得点F是AD的中点，

∴AF=DF，

在△A