2024年年河南省新乡市中考数学二模试卷及答案

2024年年河南省新乡市中考数学二模试卷一、选择题（共10小题）1．（3分）﹣2024是2024的（）A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数2．（3分）据统计，2023年1至8月，河南省全省社会消费品零售总额达16507亿元，其中16507亿用科学记数法表示为（）A．1.6507×104 B．1.6507×108 C．1.6507×1011 D．1.6507×10123．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（）A．x+y=1000，4B．x+y=1000，7C．x+y=1000，7x+9y=999D．x+y=1000，5．（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，46．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则A．3 B．35 C．5 D．7．（3分）对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差8．（3分）从下列四个条件：①∠ABC＝90°；②AB＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD中选择两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣110．（3分）如图1，点D在△ABC边AC上，点E是BD上的一动点，点F是CE的中点，连接AF，设BE＝x，AF＝y，图2是点E运动时y随x变化的关系图象，其中点H是函数图象的最低点，则n的值为（）A．24 B．26 C．28 D．30二、填空题（共5小题）11．（3分）写出一个比3大且比4小的无理数：．12．（3分）小明有经典图书《上下五千年》上、中、下各一册，他随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．13．（3分）如图，A、B是反比例函数y=kx(k＜0)图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是﹣4、﹣1，直线AB与y轴交于点C，若△AOB的面积为5，则k14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AD，BC分别与⊙O相切于点A，B，CD经过⊙O上一点E，AD＝DE，若AB＝12，BC＝4，则AD的长为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为．三、解答题（共8小题）16．（10分）（1）计算：8+|（2）化简：(1-117．（8分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×2718．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：BE＝CF；（2）填空：①当ADAB=时，四边形②当ADAB=时，四边形19．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）图1中点M，N都是格点，请仅用无刻度的直尺作出MN的中点P，要求保留作图痕迹，不写作法．（2）图2中△ABC的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出△ABC的角平分线AD，要求保留作图痕迹，不写作法．（要求：△ABC的角平分数AD用实线表示，其它线用虚线表示．）20．（9分）小聪和小明一起放风筝，小聪在距小明35.3米处测得风筝P的仰角α为53°，如图，小明的手D处距地面A为1.5米．此时小聪的眼睛C与地面B距离1.9米，风筝线与水平方向夹角β为45°．若上述所有点都在同一平面内，求此时风筝P到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈421．（10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．22．（10分）如图，已知正方形ABCD，点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点E在DP上，满足AE＝AB，延长BE交CD于点F．（1）求证：∠BEP＝45°；（2）连接CE．①当CE⊥BF时，求BPPC②如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，直接写出∠FBC的度数．23．（11分）【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如下：运动时间x/s0246810…运动速度v/（cm/s）1098765…滑行距离y/cm01936516475…根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象；（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象；任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离；（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为．

2024年年河南省新乡市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（3分）﹣2024是2024的（）A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数【分析】根据相反数的定义判断即可．【解答】解：﹣2024是2024的相反数．故选：C．【点评】本题考查了相反数，绝对值，倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．2．（3分）据统计，2023年1至8月，河南省全省社会消费品零售总额达16507亿元，其中16507亿用科学记数法表示为（）A．1.6507×104 B．1.6507×108 C．1.6507×1011 D．1.6507×1012【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成a×10n的形式即可．【解答】解：16507亿＝1650700000000＝1.6507×1012，故选：D．【点评】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】要记住常见的几何体的三视图，从左面观察即可得到结果．【解答】解：仔细观察几何体特征，从左面观察可得图形是．故选：D．【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，掌握图形的观察能力是解题的关键．4．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（）A．x+y=1000，4B．x+y=1000，7C．x+y=1000，7x+9y=999D．x+y=1000，【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵共买了一千个苦果和甜果，∴x+y＝1000；∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，∴47x+11∴可列方程组为x+y=10004故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是1×当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是2×当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是2×∵62∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则A．3 B．35 C．5 D．【分析】过点F作FH⊥BD于H，由矩形的性质及勾股定理求出BD，由角平分线的性质得到FH＝FC＝8﹣DF，由全等三角形的判定和性质求得DH，在Rt△DFH中，根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，∠C＝90°，∴BD=6过点F作FH⊥BD于H，由作法得BF平分∠CBD，∴FH＝FC＝CD﹣DF＝8﹣DF，在Rt△BCF≌△BHF中，BF=BFFC=FH∴Rt△BCF和△BHF（HL），∴BC＝BH＝6，∴DH＝BD﹣BH＝4，在Rt△DFH中，DH2+FH2＝DF2，∴42+（8﹣DF）2＝DF2，解得DF＝5．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质，矩形的性质和全等三角形的性质和判定．7．（3分）对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差【分析】根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的中位数；故选：B．【点评】此题考查了中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．8．（3分）从下列四个条件：①∠ABC＝90°；②AB＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD中选择两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴平行四边形ABCD成为正方形，不符合题意；B、∵∠ABC＝90°，AC＝BD，∴平行四边形ABCD成为矩形，符合题意；C、∵AB＝BC，AC＝BD，∴平行四边形ABCD成为正方形，不符合题意；D、∵AC＝BD，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD成为正方形，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】根据一元二次方程的判别式和定义得出（2k）2﹣4（k﹣1）k＞0，k﹣1≠0，解不等式求出k的取值范围，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即（2k）2﹣4（k﹣1）k＞0，解得：k＞0，又∵方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0是一元二次方程，∴k﹣1≠0，即k≠1，故k的取值范围为：k＞0且k≠1，∴k的最小整数值为2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解不等式，熟练掌握判别式的应用是关键．10．（3分）如图1，点D在△ABC边AC上，点E是BD上的一动点，点F是CE的中点，连接AF，设BE＝x，AF＝y，图2是点E运动时y随x变化的关系图象，其中点H是函数图象的最低点，则n的值为（）A．24 B．26 C．28 D．30【分析】根据图象的第一个点（0，13）可知E在B点时F为BC的中点，所以BC边的中线长AM为13；由图象最后一个点可知E与D重合时，F为CD的中点，AN＝15；因为F为EC的中点，可知F的运动轨迹是△BCD的中位线MN，所以当AF垂直于中位线的时候AF最小为12，根据勾股定理求出中位线即可得BD即n的值．【解答】解：如图，设M为BC的中点，N为CD的中点，连接AM，MN，可知F的运动轨迹为MN，根据图象的第一个点（0，13）可知E在B点时F与BC的中点M重合，即AM＝13；由图象最后一个点可知E与D重合时，F与CD的中点N重合，AN＝15；当AF⊥MN的时候，AF最小为12，在Rt△AMF和Rt△ANF中，根据勾股定理得，MF=AM2-A∴BD＝2MN＝2×（5+9）＝28，∴n＝28．故选：C．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到动点的轨迹问题、中位线定理和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚所给点的坐标的意义，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题（共5小题）11．（3分）写出一个比3大且比4小的无理数：．【分析】根据无理数的定义即可．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．故答案为：π（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．12．（3分）小明有经典图书《上下五千年》上、中、下各一册，他随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16故答案为：16【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．13．（3分）如图，A、B是反比例函数y=kx(k＜0)图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是﹣4、﹣1，直线AB与y轴交于点C，若△AOB的面积为5，则k【分析】作AE⊥x轴，垂足为E，作BF⊥x轴，垂足为F，BD⊥y轴，垂足为D，代入求出点A和点B的坐标，根据S长方形BDOF+S梯形AEFB＝S△AOB+S△AEO+S△ODB，列方程求解即可．【解答】解：作AE⊥x轴，垂足为E，作BF⊥x轴，垂足为F，BD⊥y轴，垂足为D，如图：∵A、B是反比例函数y=kx(k＜0)图象上的两点，A故将x＝﹣4代入y=kx(k＜0)得：y=-k4故将x＝﹣1代入y=kx(k＜0)得：y＝﹣k∵S长方形BDOF+S梯形AEFB＝S△AOB+S△AEO+S△ODB，即(-k)×1+1解得：k=-8故答案为：-8【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据图中面积关系列出方程式是解题的关键．14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AD，BC分别与⊙O相切于点A，B，CD经过⊙O上一点E，AD＝DE，若AB＝12，BC＝4，则AD的长为．【分析】连接OE，OD，过点C作CH⊥AD，垂足为点H，根据题意可得∠OAD＝90°，根据全等三角形的判定和性质可得∠OED＝∠OAD＝90°，根据切线的判定定理即可证明CD是⊙O的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，得出DH＝AD﹣4，根据切线长定理可得CE＝BC＝4，AD＝DE，得出CD＝AD+4，根据勾股定理即可求得AD的长．【解答】解：如图：连接OE，OD，过点C作CH⊥AD，垂足为点H，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，在△ADO和△EDO中，AD=DEDO=DO∴△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴OE⊥CD，∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线，∵BC是⊙O的切线，∵OB⊥BC，∵CH⊥AD，OB⊥BC，OA⊥AD，即∠OBC＝∠BAH＝∠CHA＝90°，∴四边形HABC是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，则DH＝AD﹣AH＝AD﹣4，∵CD是⊙O的切线，BC是⊙O的切线，AD是⊙O的切线，∴CE＝BC＝4，AD＝DE，∴CD＝DE+CE＝DE+4＝AD+4，∵∠CHD＝∠CHA＝90°，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即（AD﹣4）2+122＝（AD+4）2，解得：AD＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出CE＝BC＝4，AD＝DE是解题的关键．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为．【分析】依据题意，延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，由四边形ABCD是矩形，先证△DGF≌△BDE，进而FG＝DE，故DE+CF＝FG+CF，所以当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG，最后利用勾股定理进行计算可以得解．【解答】解：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，∠BAD＝∠GDC＝90°．∴∠GDF＝∠DBE．∵DF＝BE，DG＝BD，∴△DGF≌△BDE（SAS）．∴FG＝DE，∴DE+CF＝FG+CF，∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG的长．∴（DE+CF）最小值为CG．∵∠BAD＝90°，∴BD=A在Rt△GDC中，GD＝BD＝5，∠GDC＝90°，∴GC=G∴（DE+CF）最小值为34．故答案为：34．【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，关键是矩形性质的应用．三、解答题（共8小题）16．（10分）（1）计算：8+|（2）化简：(1-1【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先算括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．【解答】解：（1）8=22=2（2）(1-=x-2-1x-2•=x-3x-2•=1【点评】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟知负整数指数幂的运算法则，分式混合运算的法则是解题的关键．17．（8分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×27【分析】（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；（2）先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；（3）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；（4）根据喜欢乒乓球的27人都是“经常参加”的学生，“偶尔参加”的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答．【解答】解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）＝360°×40%＝144°；故答案为：144°；（2）“经常参加”的人数为：300×40%＝120（人），喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20＝120﹣80＝40人；补全统计图如图所示；（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200×40答：估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数为160人；（4）这个说法不正确．理由如下：小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：BE＝CF；（2）填空：①当ADAB=时，四边形②当ADAB=时，四边形【分析】（1）利用角平分线的性质可证得DE＝DF，然后根据圆内接四边形的对角互补得到∠ABD＝∠FCD，证明△DCF≌△DBE，然后得到结论；（2）①当四边形AODC是菱形时，OD＝CD＝DB＝OB，可证得∠DBA＝60°，利用圆周角定理可求出∠ABD的度数，从而可得到∠DAB的度数，利用解直角三角形求出比值即可；②当OD⊥AB，即OD与DE重合时，四边形AEDF是正方形，利用解直角三角形求出比值即可．【解答】（1）证明：∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°，又∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ABD+∠ACD＝∠FCD+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠FCD，∴△DCF≌△DBE（AAS），∴BE＝CF；（2）解：①当四边形AODC是菱形时，∴OD＝CD＝DB＝OB，∠ACD＝∠AOD＝2∠DBA，又∵∠ACD+∠DBA＝180°，∴∠DBA＝60°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝30°，∴ADAB故答案为：32②当OD⊥AB，即OD与DE重合时，四边形AEDF是正方形，∴∠DAB＝45°，∴ADAB故答案为：22【点评】本题属于圆综合题，考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握三角形的判定定理是解题的关键．19．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）图1中点M，N都是格点，请仅用无刻度的直尺作出MN的中点P，要求保留作图痕迹，不写作法．（2）图2中△ABC的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出△ABC的角平分线AD，要求保留作图痕迹，不写作法．（要求：△ABC的角平分数AD用实线表示，其它线用虚线表示．）【分析】（1）根据矩形对角线相等且互相平分，即可作出MN的中点P；（2）根据等腰三角形三线合一以及矩形的性质，即可作出△ABC的角平分线AD．【解答】解：（1）根据矩形对角线相等且互相平分，构造出以MN为对角线的矩形，即可得出P为MN的中点．如图所示，点P即为所求．（2）根据勾股定理可得出：AB=3作AB＝AE＝5，连接BE，构造出以BE为对角线的矩形BGEH，即可得出F为BE的中点，∵AB＝AE＝5，F为BE的中点，∴AD为∠BAE的角平分线，∴AD为△ABC的角平分线．如图所示，线段AD即为所求．【点评】本题考查利用网格作角平分线、中点，熟练掌握矩形的性质与等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．20．（9分）小聪和小明一起放风筝，小聪在距小明35.3米处测得风筝P的仰角α为53°，如图，小明的手D处距地面A为1.5米．此时小聪的眼睛C与地面B距离1.9米，风筝线与水平方向夹角β为45°．若上述所有点都在同一平面内，求此时风筝P到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈4【分析】过点P作PE⊥AB于点E，分别过点C，D作CM⊥PE于点M，DN⊥PE于点N，根据矩形的判定和性质可得ME＝BC＝1.9（米），EN＝AD＝1.5（米），求得MN＝ME﹣EN＝0.4（米），设PM＝x米，根据正切的定义表示出CM和ND，根据CM+ND＝AB列出方程，解方程即可求解．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，分别过点C，D作CM⊥PE于点M，DN⊥PE于点N，如图：则ME＝BC＝1.9（米），EN＝AD＝1.5（米），∴MN＝ME﹣EN＝1.9﹣1.5＝0.4（米），设PM＝x米，则PN＝PM+MN＝（x+0.4）米，在Rt△PCM中，CM=PM在Rt△PDN中，ND=PN∵CM+ND＝BE+EA＝AB＝35.3（米），∴34解得：x≈19.94，∴PM≈19.94（米），∴PE＝PM+ME≈19.94+1.9≈21.8（米），故风筝P到地面的距离约为21.8米．【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是根据正切的定义表示出CM和ND，列出方程求出x的值．21．（10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得10a+20b=400020a+10b=3500解得a=100答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥3313∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，3313≤①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．22．（10分）如图，已知正方形ABCD，点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点E在DP上，满足AE＝AB，延长BE交CD于点F．（1）求证：∠BEP＝45°；（2）连接CE．①当CE⊥BF时，求BPPC②如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，直接写出∠FBC的度数．【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，则AE＝AB＝AD，所以∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，则2∠AEB+2∠AED+90°＝360°，所以∠BED＝∠AEB+∠AED＝135°，从而可得结论；（2）①作AG⊥BE于点G，则GB＝GE，而CD⊥BF，所以∠BEC＝∠AGB＝∠ABC＝90°，则∠CBE＝∠BAG＝90°﹣∠ABG，可证明△BEC≌△AGB，得EC＝GB＝BE，作PH⊥BE于点H，可证明∠HPE＝∠HEP＝45°，则HE＝HP，因为PH∥CE，得出PCBP②分两种情况讨论，一是FE＝CE，则∠EFC＝∠ECF，可推导出∠EBC＝∠ECB，则BE＝CE＝FE，作EL⊥AD于点L，可证明AL＝DL，所以AE＝DE＝AD，则∠EAD＝60°，所以∠BAE＝30°，则∠ABE＝∠AEB＝75°，可求得∠CBF＝15°；二是CF＝CE，则∠CEF＝∠CFE，可证明点E在AC上，则∠BAE＝∠DAE＝45°，求得∠ABE＝∠ADE＝67.5°，则∠CBF＝∠CDP＝22.5°．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE＝AB，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AE＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，∵∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD＝360°，∴2∠AEB+2∠AED+90°＝360°，∴∠AEB+∠AED＝135°，∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝135°．∴∠BEP＝180°﹣∠AEB+∠AED＝45°；（2）①如图1，作AG⊥BE于点G，则GB＝GE，∵CD⊥BF，∴∠BEC＝∠AGB＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠BAG＝90°﹣∠ABG，∵BC＝AB，∴△BEC≌△AGB（AAS），∴EC=GB=1作PH⊥BE于点H，则∠PHB＝∠PHE＝90°，∵∠HEP＝180°﹣∠BED＝180°﹣135°＝45°，∴∠HPE＝∠HEP＝45°，∴HE＝HP，∵PH∥CE，∴PCBP∴BPPC∴BPPC②如图2，△CEF是等腰三角形，且FE＝CE，则∠EFC＝∠ECF，∵∠BCF＝90°，∴∠EBC+∠EFC＝90°，∠ECB+∠ECF＝90°，∴∠EBC＝∠ECB，∴BE＝CE＝FE，作EL⊥AD于点L，则∠ELD＝∠BAD＝90°，∴EL∥AB∥CD，∴ALDL∴AL＝DL，∴AE＝DE＝AD，∴∠EAD＝60