隐函数的求导法则课件

隐函数的求导法则上页下页铃结束返回首页一、一个方程的情形隐函数存在定理1

下页>>>

设函数F(x

y)在点P(x0

y0)的某一邻域内具有连续偏导数

F(x0

y0)

0

Fy(x0

y0)

0

则方程F(x

y)

0在点(x0

y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y

f(x)

它满足条件y0

f(x0)

并有

例1

验证方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x

0的值.

解

设F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.隐函数存在定理1:则

设函数F(x

y)在点P(x0

y0)的某一邻域内具有连续偏导数

F(x0

y0)

0

Fy(x0

y0)

0

则方程F(x

y)

0在点(x0

y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y

f(x)

它满足条件y0

f(x0).

由隐函数存在定理,方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x).

解

设F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.则由隐函数存在定理,方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x).提示:

由方程F(x,y)

0确定的隐函数y

f(x)的导数为

例1

验证方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x

0的值.

解

设F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.则由隐函数存在定理,方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x).

例1

验证方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x

0的值.隐函数存在定理2下页>>>

设函数F(x

y

z)在点P(x0

y0

z0)的某一邻域内具有连续的偏导数

且F(x0

y0

z0)

0

Fz(x0

y0

z0)

0

则方程F(x

y

z)

0在点(x0

y0

z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z

f(x

y)

它满足条件z0

f(x0

y0)

并有设F(x,y,z)

x2

y2

z2

4z,

解

则Fx

2x,Fy

2z

4,首页

由方程F(x,y,z)

0确定的隐函数z

f(x,y)的偏导数为二、方程组的情形下页

在一定条件下方程组F(x,

y,

u,

v)=0,

G(x,

y,

u,

v)=0能确定一对二元函数u

u(x,y),v

v(x,y).

例如,方程xu-yv=0和yu

xv=1可以确定两个二元函数

事实上,

能否根据原方程组求u

u(x,y),v

v(x,y)的偏导数？下页

设方程组F(x,

y,

u,

v)=0,

G(x,

y,

u,

v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u

u(x,y),v

v(x,y),则二、方程组的情形

在一定条件下方程组F(x,

y,

u,

v)=0,

G(x,

y,

u,

v)=0能确定一对二元函数u

u(x,y),v

v(x,y).

解

当x2

y2