2027届新高考数学热点精准复习　利用导数证明不等式

2027届新高考数学热点精准复习利用导数证明不等式目

录CONTENTS01关键能力精准突破02数学探究素养提升

（2）证明：

f

（

x

）≤

g

（

x

）.

证明形如

A

（

x

）＞

B

（

x

）的不等式的关键点（1）构造新函数

h

（

x

）＝

A

（

x

）－

B

（

x

）；（2）求h'（

x

）＝A'（

x

）－B'（

x

）；（3）研究函数

h

（

x

）的单调性、极值、图象等（无法进行时，继续求导，研究h'

（

x

）的单调性、极值、图象等，仍然无法进行时，继续求导研究）；（4）通过研究导数的性质，获得

h

（

x

）的性质，进而实现证明不等式

A

（

x

）＞

B

（

x

）的目标.

考点2

拆分法构造函数证明不等式

（精研通）【例2】

已知

f

（

x

）＝

x2－

x

lnx

.（1）求曲线

y

＝

f

（

x

）在（1，

f

（1））处的切线方程；（2）当

a

∈（0，2e）时，证明：2

x2－（2

x

＋

a

）·lnx

＞0.（1）解：因为

f

（

x

）＝

x2－

x

lnx

，则

f

（1）＝1，f'（

x

）＝2

x

－lnx

－1，则f'（1）＝1，所以所求切线方程为

y

－1＝1×（

x

－

1），即

y

＝

x

.

对于一些不等式可转化为

f

（

x

）≥

g

（

x

）的形式，证明

f

（

x

）min≥

g

（

x

）max

即可.在转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分

标准.

导数的综合应用题中，最常见就是e

x

和lnx

与其他代数式结合的难题，对于这类问

题，可以先对e

x

和lnx

进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的

放缩公式如下：（1）e

x

≥1＋

x

，当且仅当

x

＝0时等号成立；

t

（0，1）（1，＋∞）h'（

t

）－＋

h

（

t

）↘↗所以当

t

∈（0，1）∪（1，＋∞）时，

h

（

t

）＞

h

（1）＝0，所以不等式成立，

即

g

（

x

）＜1.当

t

变化时，h'（

t

）和

h

（

t

）的变化情况如下表：

数学探究

两个经典不等式的应用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利

用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.（1）对数形式：lnx

≤

x

－1（

x

＞0），当且仅当

x

＝1时，等号成立.（2）指数形式：e

x

≥

x

＋1（

x

∈R），当且仅当

x

＝0时，等号成立.进一步可得到

一组不等式链：e

x

＞

x

＋1＞

x

＞1＋lnx

（

x

＞0，且

x

≠1）.【例】

已知函数

f

（

x

）＝e

x

－

a

.（1）若函数

f

（

x

）的图象与直线

l

：

y

＝

x

－1相切，求

a

的值；（2）若

f

（

x

）－lnx

＞0恒成立，求整数

a

的最大值.解：（1）由已知得f'（

x

）＝e

x

.因为函数

f

（

x

）的图象与直线

y

＝

x

－1相切，所以令f'（

x

）＝1，即e

x

＝1，得

x

＝0，即

f

（0）＝－1，解得

a

＝2.（2）先证明e

x

≥

x

＋1，设

F

（

x

）＝e

x

－

x

－1，则F'（

x

）＝e

x

－1，令F'（

x

）＝0，则

x

＝0，当

x

∈（0，＋∞）时，F'（

x

）＞0，当

x

∈（－∞，0）时，F'（

x

）＜0，所以

F

（

x

）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，所以

F

（

x

）min＝

F

（0）＝0，即

F

（

x

）≥0恒成立，即e

x

≥

x

＋1，即e

x

－2≥

x

－1，当且仅当

x

＝0时等号成立.同理可得lnx

≤

x

－1，当且仅当

x

＝1时等号成立，所以e

x

－2＞lnx

.当

a

≤2时，lnx

＜e

x

－2≤e

x

－

a

，即当

a

≤2时，

f

（

x

）－lnx

＞0恒成立；当

a

≥3时，存在

x

＝1，使