人教版五年级数学下册同步讲义

【同步精讲】长方体和正方体的认识与表面积计算同学们，我们已经学习了平面图形，现在要进入立体图形的世界啦！长方体和正方体是我们生活中非常常见的立体图形，比如书本、魔方、冰箱、包装盒等等。今天，我们就来深入认识它们，并学习如何计算它们的表面积。一、知识梳理与要点解析（一）长方体和正方体的特征我们先来观察一下身边的长方体物品，比如一个鞋盒或者一个文具盒。1.长方体的特征：*它有6个面，每个面一般是长方形（特殊情况下，可能有相对的两个面是正方形）。相对的面完全相同，也就是说，上面和下面一样，前面和后面一样，左面和右面一样。*它有12条棱。这些棱根据方向可以分为3组，每组有4条，分别叫做长、宽、高。相对的棱长度相等。比如一个长方体，它可能有两个面是较大的长方形，另外四个面是较小的长方形（也可能有相对的两个面是正方形）。*它有8个顶点，每个顶点都是三条棱的交点。再看看魔方或者骰子，它们是正方体。2.正方体的特征：*正方体也有6个面，并且这6个面都是正方形，而且完全相同。*它同样有12条棱，但和长方体不同的是，正方体的12条棱长度都相等。*也有8个顶点。关键点：正方体是一种特殊的长方体，它特殊在所有的棱长都相等，所有的面都是正方形。我们可以说“正方体是长、宽、高都相等的长方体”。（二）长方体和正方体的棱长总和我们知道了长方体有12条棱，并且可以分成3组（长、宽、高），每组4条。那么，长方体的棱长总和就可以这样计算：长方体棱长总和=（长+宽+高）×4而正方体的12条棱长度都相等，所以：正方体棱长总和=棱长×12反过来，如果知道正方体的棱长总和，也能求出它的棱长：正方体的棱长=棱长总和÷12（三）长方体和正方体的表面积表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。1.长方体表面积的计算：我们来思考一下，长方体6个面的总面积之和就是它的表面积。如果我们分别求出前面/后面、左面/右面、上面/下面的面积，再把它们加起来，是不是就可以了？*前面和后面的面积相等，每个面的面积是：长×高，所以这两个面的总面积是：长×高×2*左面和右面的面积相等，每个面的面积是：宽×高，所以这两个面的总面积是：宽×高×2*上面和下面的面积相等，每个面的面积是：长×宽，所以这两个面的总面积是：长×宽×2*因此，长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2我们也可以把它写成一个更简洁的式子：长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2如果用字母表示，通常用S表示表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么：S=2(ab+ah+bh)2.正方体表面积的计算：正方体的6个面都是完全相同的正方形，所以只要求出一个面的面积，再乘以6就可以了。一个面的面积是：棱长×棱长，所以正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示，a表示棱长，那么：S=6a²（这里的a²表示a乘以a）二、典型例题与方法指导例题1：基本特征辨析一个长方体礼品盒，它有（）个面，（）条棱，（）个顶点。如果它的长是几分米，宽是几分米，高是几分米（此处可根据实际情况替换为具体小数值，如3、2、1），那么和长为几分米的棱有（）条，和宽为几分米的棱有（）条，和高为几分米的棱有（）条。这个礼品盒所有棱长的总和是多少分米？分析与解答：这道题主要考察对长方体基本特征的掌握。长方体有6个面，12条棱，8个顶点。每种长度的棱（长、宽、高）各有4条。棱长总和=（长+宽+高）×4。假设长3dm，宽2dm，高1dm，那么总和就是(3+2+1)×4=6×4=24dm。例题2：表面积计算（无特殊情况）一个长方体的铁盒，长5分米，宽4分米，高3分米。制作这个铁盒至少需要多少平方分米的铁皮？（铁皮厚度忽略不计）分析与解答：求“至少需要多少平方分米的铁皮”，就是求这个长方体铁盒的表面积。根据公式：S=2(ab+ah+bh)代入数值：ab=5×4=20，ah=5×3=15，bh=4×3=12所以S=2×(20+15+12)=2×47=94(平方分米)答：制作这个铁盒至少需要94平方分米的铁皮。例题3：表面积计算（有特殊情况——无盖或无底）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高6分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？分析与解答：这是一个“无盖”的鱼缸！所以我们在计算表面积的时候，只需要计算5个面的面积之和，也就是少一个“上面”（长×宽）。方法一：S=长×宽+长×高×2+宽×高×2代入数值：8×4+8×6×2+4×6×2=32+96+48=176(平方分米)方法二：先按6个面算，再减去上面的面积：S=2(ab+ah+bh)-ab=ab+2ah+2bh(结果同上)答：制作这个鱼缸至少需要176平方分米的玻璃。方法指导：在解决与表面积相关的实际问题时，一定要仔细审题，看清所求物体是否有“盖子”，是否有“底面”，或者哪些面是不需要计算的（比如贴商标纸可能只贴侧面）。不能盲目套用公式。三、易错点警示与温馨提示1.混淆棱长总和与表面积：棱长总和是所有棱的长度加起来，单位是长度单位（如分米、米）；表面积是所有面的面积加起来，单位是面积单位（如平方分米、平方米）。2.计算表面积时，未看清题目要求，多算或少算面：比如“无盖水桶”、“通风管”、“游泳池贴瓷砖”等，都需要根据实际情况判断计算几个面的面积。3.单位不统一：在计算前，务必检查所有已知数据的单位是否一致，不一致时要先统一单位。4.公式记忆不准确：特别是长方体表面积公式，要理解其来源（各个面的面积之和），而不是死记硬背。正方体表面积是6个相同正