实际问题与一元二次方程学历案

实际问题与一元二次方程》学历案同学们，我们已经学习了一元二次方程的概念、解法，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。这些知识如同锋利的工具，等待我们去运用。数学的生命力在于解决实际问题，今天我们就来探索如何将生活中的一些具体问题，通过建立一元二次方程模型来求解，体验数学建模的思想与过程。学习目标1.知识与技能：能够根据实际问题中的数量关系，准确列出一元二次方程；会解所列的一元二次方程，并能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。2.过程与方法：经历“问题情境——分析数量关系——建立数学模型——求解——检验解释”的过程，体会数学建模思想，提高分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，认识到数学在解决实际问题中的价值，激发学习数学的兴趣，培养严谨的思维习惯和应用意识。评价任务1.能独立分析简单的实际问题（如增长率、面积、利润等问题），找出等量关系。（检测目标1、2）2.能根据等量关系正确列出一元二次方程。（检测目标1）3.能正确求解所列的一元二次方程，并对解进行检验和解释。（检测目标1、2）4.能运用所学知识解决一个稍复杂的综合性实际问题。（检测目标1、2、3）学习过程一、温故知新，引入课题我们已经掌握了一元二次方程的解法，那么，这些方程从何而来？它们能帮助我们解决哪些实际问题呢？比如，我们常听到的“增长率”问题，如何计算几年后的产量？再比如，一块长方形的土地，如何设计它的长和宽，才能在周长一定的情况下获得最大面积，或者在面积一定的情况下节省材料？这些问题，都可能与一元二次方程有关。今天，我们就一起来学习如何用一元二次方程解决这些实际问题。思考：回忆一下，列方程解应用题的一般步骤是什么？（审题、设元、列方程、解方程、检验、作答）这个步骤对于一元二次方程的应用同样适用。二、探究新知，典例分析探究一：增长率（降低率）问题情境问题：某工厂去年的利润（总产值-总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？分析过程：1.审题：明确已知量、未知量及问题。已知去年利润200万元，今年总产值增长率20%，总支出降低率10%，今年利润780万元。求去年的总产值和总支出。2.设元：设去年的总产值为x万元，那么去年的总支出如何表示？（因为利润=总产值-总支出，所以去年总支出=x-200万元）。3.表示今年的量：*今年总产值比去年增加20%，则今年总产值为x(1+20%)万元。*今年总支出比去年减少10%，则今年总支出为(x-200)(1-10%)万元。4.找等量关系：今年的利润=今年的总产值-今年的总支出=780万元。5.列方程：x(1+20%)-(x-200)(1-10%)=7806.解方程：整理方程得：1.2x-0.9(x-200)=7801.2x-0.9x+180=7800.3x=600x=2000则去年总支出为：x-200=1800(万元)7.检验：今年总产值=2000×1.2=2400万元，今年总支出=1800×0.9=1620万元，今年利润=2400-1620=780万元，符合题意。8.作答：去年的总产值是2000万元，总支出是1800万元。归纳小结：增长率问题中，若基数为a，平均增长率为r，则一次增长后的值为a(1+r)，两次增长后的值为a(1+r)²。降低率问题类似，为a(1-r)，a(1-r)²。注意，这里的“两次”是指在原有基础上连续增长（或降低）两次。探究二：几何图形面积问题情境问题：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？分析过程：1.审题：封面是长方形，长27cm，宽21cm。中央矩形与封面长宽比例相同，即中央矩形长:宽=27:21=9:7。四周彩色边衬面积是封面面积的1/4，那么中央矩形面积是封面面积的3/4。2.设元：如何设未知数？可以设中央矩形的长为9xcm，宽为7xcm（利用比例关系）。或者，设上、下边衬的宽均为ycm，左、右边衬的宽均为zcm。哪种更简便？若设中央矩形的长为9xcm，宽为7xcm，则：中央矩形面积=9x·7x=63x²封面面积=27×21=567cm²等量关系：63x²=(3/4)×567解得x²=(3/4)×567/63=(3/4)×9=27/4，x=(3√3)/2≈2.598则中央矩形长≈9×2.598≈23.38cm，宽≈7×2.598≈18.19cm上、下边衬宽=(27-23.38)/2≈1.81cm≈1.8cm左、右边衬宽=(21-18.19)/2≈1.405cm≈1.4cm这种设法利用了比例，计算相对简便。若设上、下边衬宽为ycm，则中央矩形的长为(27-2y)cm。因为中央矩形与封面长宽比例相同，所以(27-2y)/中央矩形宽=27/21=9/7，故中央矩形宽=(7/9)(27-2y)cm。等量关系：(27-2y)·(7/9)(27-2y)=(3/4)×567即(7/9)(27-2y)²=425.25(27-2y)²=425.25×(9/7)=546.7527-2y=√546.75≈23.38(取正值)2y=27-23.38=3.62，y≈1.81cm≈1.8cm，与第一种方法结果一致。3.列方程与求解：（以上已体现）4.检验：计算边衬宽度是否为正数，且中央矩形的长宽是否为正数，面积是否符合要求。显然，1.8cm和1.4cm都是合理的正数。5.作答：上、下边衬的宽度约为1.8cm，左、右边衬的宽度约为1.4cm。归纳小结：解决面积问题，关键是根据图形的性质（如矩形的对边相等、比例关系等），用含未知数的代数式表示出相关图形的边长，再根据面积之间的关系列出方程。画图辅助分析往往能使问题更直观。探究三：销售利润问题情境问题：某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品。若每件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%。若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品？每件商品的售价应定为多少元？分析过程：1.审题：进价21元/件，售价x元/件，销售量(350-10x)件。利润400元。售价不超过进价的120%，即x≤21×120%=25.2元。2.找等量关系：总利润=单件利润×销售量。单件利润=(x-21)元。3.列方程：(x-21)(350-10x)=4004.解方程：整理得：-10x²+560x-7350=40010x²-560x+7750=0两边同除以10：x²-56x+775=0因式分解：(x-25)(x-31)=0解得x1=25，x2=315.检验：x2=31元，超过了25.2元的限价，应舍去。所以x=25元。此时销售量为350-10×25=100件。6.作答：需要卖出100件商品，每件商品的售价应定为25元。归纳小结：利润问题中，常用的等量关系有：利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售量。有时销售量会随着售价的变化而变化，要注意找出它们之间的函数关系。同时，要关注题目中的限制条件，对解进行取舍。三、巩固练习，深化理解1.某商品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。2.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。3.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月____元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？（请同学们独立完成，之后小组内交流讨论，教师巡视指导）四、课堂小结，反思提升通过本节课的学习，你有哪些收获？*我学会了用一元二次方程解决_________问题（如增长率、面积、利润等）。*列一元二次方程解应用题的关键是_________。*在解决实际问题时，要注意_________（如检验解的合理性，考虑实际限制条件等）。*我还存在的困惑是_________。（引导学生从知识、方法、易错点等方面进行总结）五、学后拓展请你结