北师大版七年级数学上册《应用一元一次方程-打折销售售》典型例题

在我们的日常生活中，打折销售是一种常见的商业促销手段。北师大版七年级数学上册中的“应用一元一次方程——打折销售”这一章节，正是将数学知识与实际生活紧密联系的体现。学好这部分内容，不仅能帮助我们理解商业活动中的基本数学原理，更能提升我们运用方程解决实际问题的能力。本文将通过对典型例题的深入剖析，帮助同学们掌握此类问题的解题思路与技巧。一、核心数量关系梳理在解决打折销售问题之前，我们首先必须明确几个核心的数量关系，这是列方程的基础：1.售价、标价（原价）与折扣的关系：*商品打几折出售，就是按标价的百分之几十（或十分之几）出售。*公式：售价=标价×折扣（折扣通常用小数表示，例如：打八折，折扣即为0.8）2.利润、售价与进价（成本）的关系：*商家销售商品的目的是为了获得利润。*公式：利润=售价-进价3.利润率与利润、进价的关系：*利润率是衡量盈利水平的一个百分比指标。*公式：利润率=(利润/进价)×100%*由上式可变形得到：利润=进价×利润率或售价=进价×(1+利润率)(当知道利润率时，此式非常有用)这些关系式是解决打折销售问题的“金钥匙”，同学们务必理解并牢记。二、典型例题精析类型一：已知标价、折扣和进价，求利润或利润率例题1：某商店将一件商品按标价的八折出售，此时售价为160元，已知这件商品的进价为120元，求这件商品的利润是多少元？利润率是多少？分析：本题已知折扣（八折）、售价（160元）和进价（120元）。虽然题目给出了售价，但我们可以先通过折扣和售价反推出标价（尽管本题求利润可能不需要标价，但这是一个好习惯），不过此处求利润可直接利用“利润=售价-进价”。求出利润后，再利用利润率公式求出利润率。解答：已知售价为160元，进价为120元。利润=售价-进价=160-120=40（元）利润率=(利润/进价)×100%=(40/120)×100%≈33.33%答：这件商品的利润是40元，利润率约为33.33%。小结：此类问题较为基础，直接运用核心公式即可求解，关键在于准确识别题目中的“售价”、“进价”等信息。类型二：已知进价、期望利润率和折扣，求标价例题2：某商店准备购进一批商品，每件商品的进价为80元。商店希望卖出这批商品后能获得20%的利润率。如果商店计划按标价的九折出售，那么每件商品的标价应定为多少元？分析：本题要求的是标价。已知进价（80元）、期望利润率（20%）和折扣（九折，即0.9）。我们可以先根据进价和期望利润率求出期望的售价，因为“售价=进价×(1+利润率)”。然后，再根据售价和折扣求出标价，因为“售价=标价×折扣”，所以“标价=售价/折扣”。解答：设每件商品的标价应定为x元。根据期望利润率，每件商品的期望利润为：80×20%=16（元）所以，期望售价为：进价+利润=80+16=96（元）又因为售价=标价×折扣，即96=x×0.9解得：x=96/0.9=106.666...≈106.67（元）（在实际商业中，价格通常会取整，但数学题中按要求保留即可）答：每件商品的标价应定为106.67元（或根据题目要求保留整数为107元）。另一种解法（直接设未知数，列方程）：设每件商品的标价应定为x元。根据题意，售价为0.9x元，利润为0.9x-80元。根据利润率公式：(0.9x-80)/80=20%即：(0.9x-80)/80=0.2两边同时乘以80：0.9x-80=16移项：0.9x=96解得：x=96/0.9≈106.67（元）答：（同上）小结：此类问题需要逆向思考，或通过设未知数，利用利润率或售价的关系建立方程。关键在于找到题目中的等量关系，通常是“期望的售价”或者“期望的利润”。类型三：已知进价、不同折扣下的销售情况，求标价或进价例题3：某服装店购进一批服装，每件服装的进价是150元。店主按标价的八折出售，仍可获利20元。请问这批服装每件的标价是多少元？如果按标价的七五折出售，是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？分析：第一问，已知进价（150元）、折扣（八折）和利润（20元），求标价。我们可以先根据进价和利润求出实际售价，即“售价=进价+利润”。然后根据售价和折扣求出标价。第二问，在求出标价后，计算按七五折出售的售价，再与进价比较，判断盈亏。解答：（1）设这批服装每件的标价是x元。已知进价为150元，利润为20元，所以售价为：150+20=170（元）按标价的八折出售，即售价=0.8x所以：0.8x=170解得：x=170/0.8=212.5（元）答：这批服装每件的标价是212.5元。（2）如果按标价的七五折出售，则售价为：212.5×0.75=159.375（元）因为进价为150元，159.375>150，所以是盈利的。盈利金额为：159.375-150=9.375≈9.38（元）答：按标价的七五折出售是盈利的，盈利约9.38元。小结：这类问题包含多个小问，前一问的结果往往是解决后一问的条件。解题时要注意分步处理，确保每一步的准确性。三、解题策略与注意事项1.仔细审题，明确概念：务必弄清题目中的“进价”、“标价”、“售价”、“折扣”、“利润”、“利润率”等术语的具体含义，不要混淆。2.找等量关系：这是列方程解应用题的核心。打折销售问题中，常见的等量关系围绕“利润”、“售价”或“利润率”展开。例如：售价=标价×折扣；利润=售价-进价；利润率=利润/进价。3.合理设元：通常情况下，问什么设什么（直接设元）。如果直接设元导致方程不易列出，可考虑间接设元。4.规范书写：设未知数时要写清楚单位，列方程时要保证左右两边单位统一，解方程过程要完整，最后作答时也要写清楚单位。5.多角度思考，一题多解：如例题2所示，有些问题可以有不同的解题思路，尝试多种方法有助于加深理解。6.检验：解出方程后，最好将结果代入原题中进行检