2026届高三二轮高效复习主题巩固卷数学基本初等函数、函数与方程含解析

[课下巩固检测练(二)]基本初等函数、函数与方程(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·辽宁大连二模)已知a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.6，则()A.b＞a＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.a＞b＞c解析：选D.对于a，b，由于y＝x0.3在0，＋∞单调递增，所以20.3＞0.20对于b，c，由于y＝0.2x单调递减，故0.20.3＞0.20.6.所以a＞b＞c.2.(2025·河北沧州二模)函数f(x)＝2x＋lnx－1的零点所在的区间为()A.0，12 C.1，32 解析：选B.因为y＝2x与y＝lnx－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋lnx－1在0，＋又f12＝2＋ln12－1＝2－1－ln∵2－1＜12，ln2＞lne＝12，∴f12＝2－1－ln2＜0，又∵f1＝2＋ln1－1＝1∴函数f(x)的零点所在区间是123.(2025·山东济宁二模)若函数f(x)＝12x2-ax在1，＋∞上单调递减A.a≤2 B.a≥2C.a≤1 D.a≥1解析：选A.f(x)＝(12)x2-ax是由y＝(12)u与u因为f(x)＝(12)x2-ax在1，＋∞上单调递减，且外层函数y根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u＝x2－ax在1，＋对于二次函数u＝x2－ax，其图象开口向上，对称轴为x＝－-a2×二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u＝x2－ax在1，＋则对称轴需满足a2≤1，解得a≤24.(2025·北京房山一模)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)＝N0ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量.当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N(4)＝150，则N(10)＝()A.300 B.450C.600 D.750解析：选C.由题意得N(3)＝N0e3r＝2N0，所以e3r＝2，若N(4)＝N0e4r＝150，则N(10)＝N0e10r＝N0e4r×e6r＝150×22＝600.5.(2025·天津和平二模)已知a＝log52，b＝log5log52，c＝log522，则a，b，cA.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.b＜c＜a解析：选D.0＝log51＜log52＜log55＝1，所以0＜a＜1，log5log52＜log51＝0，所以b＜又c＝a2，0＜a＜1，故c－a＝a2－a＝aa－1＜0，所以0＜c＜综上，b＜c＜a.6.(2025·湖南岳阳二模)若函数f(x)有唯一零点，且fx+1＝x2－1＋aex＋e-x，则A.－12 B.C.12 D.解析：选C.由于f(x)有唯一的零点，所以fx+1也有唯一的零点由于y＝x2－1，y＝aex＋e-x均为偶函数，所以g(x)因此g0＝f1＝－1＋2a＝0，故a＝127.(2025·浙江绍兴二模)已知函数f(x)＝ex1+λe2xA.当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间0，B.当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间0，C.当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间0，D.当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间0，解析：选D.对于A，B：当λ＝1时，f(x)＝ex1+e2x，其定义域为R，f－x＝e-x1+e-2x＝ex1+e2x＝f(x)，故f(x)为偶函数；又f(x)＝因为y＝t＋1t在t∈1，e单调递增，t＝ex在x∈0，1单调递增，故y＝ex＋e－x在0，1单调递增，故f(x)＝1ex+对于C，D：当λ＝－1时，f(x)＝ex1-e2x，其定义域为{x｜x≠0}，f－x＝e-x1-e-2x＝exe2x-1＝－f(x)，故f(x)为奇函数；又f(x)＝ex1-e2x＝1e-x-，当x∈0，1时，y＝e－x，y＝－ex8.(2025·北京顺义一模)已知直线y＝－x＋4分别与函数y＝2x和y＝log2x的图象交于Ax1，y1，Bx2，y2，给出下列三个结论：①2x1＞x2；②2x1＋2x2＞8；③x1log2x2－A.0 B.1C.2 D.3解析：选C.由题意直线y＝－x＋4与y＝x垂直，函数y＝2x和y＝log2x的图象关于y＝x对称，所以Ax1，y1，Bx2，y2关于y＝x对称，又由y＝－x+4对于①：因为2x1＝－x1＋4，且x2＝4－x1，所以2x1＝x对于②：由2x1＋2x2≥22x1＋x2＝23，因为x1≠x2，对于③：直线y＝－x＋4与y＝2x联立，可得－x＋4＝2x，即2x＋x－4＝0，设函数f(x)＝2x＋x－4，f(x)是增函数，又由f1＝－1＜0，f(32)＝22＋32－4＞0，可得f1·f(32)＜0，所以函数f(x)在区间(1，32)上存在唯一零点，即1＜x1＜32，因为x1＋x2＝4，所以52＜x2＜3，构造函数g(x)＝log2xx(x＞当g'(x)＞0时，可得x∈(0，e)，∴函数g(x)在(0，e)单调递增；当g'(x)＜0时，可得x∈(e，＋∞)，∴函数g(x)在(e，＋∞)单调递减；1＜x1＜32，52＜x2＜3，∴log2x2x2－log2x1x二、多选题9.函数f(x)＝logax＋10<a<1的大致图象不可能为(解析：选BCD.函数f(x)＝logax＋1(0＜a＜1)的定义域为xx因为f－x＝logax＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数当x∈0，＋∞时，f(x)＝logax＋10＜a故函数f(x)＝logax＋10＜a＜110.已知函数f(x)＝2x-12x+1A.不等式f(x)＜B.∀x∈R，都有f－x＝f(xC.f(x)是R上的递减函数D.f(x)的值域为－解析：选AD.对于A：f(x)＝2x-12x+1＝1－22x+1，由f(x)＜13，得－13得32＜2x＋1＜3，解得－1＜x＜1，即原不等式的解集为(－1，1)，故A正确对于B：f(－x)＝1－22-x+1＝1－2x+12x+1≠对于C：f(1)＝1－23＝13＜35＝1－25＝f(2)，所以f(x)在R上单调递减不成立，对于D：由0＜22x+1＜2知－1＜1－22x+1＜1，即函数f(x)的值域为(－1，111.(2025·河北保定一模)下列不等式成立的有()A.log0.30.2＞log0.20.3 B.0.30.2＞0.20.3C.log30.2＜log20.2 D.30.2＜20.3解析：选AB.对于A，log0.30.2＞log0.30.3＝1，log0.20.3＜log0.20.2＝1，故log0.30.2＞log0.20.3，故A正确；对于B，0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，故0.30.2＞0.20.3，故B正确；对于C，由于log30.2＜0，log20.2＜0，故log20.2log30.2＝1log0.221log0.23＝log0.23对于D，30.2＝315，20.3＝2310，∵31510＝32＝9，231010＝8，所以31510＞2310三、填空题12.(2025·广东深圳三模)已知实数a＞1，且满足loga(2a)＋log2aa＝52，则a＝解析：设loga2a＝t，则t＝loga2＋1，因为a＞1，所以t＞1.由t＋1t＝52⇒t＝2或t＝12(舍去).所以loga2＋1＝2⇒答案：213.(2025·江西宜春一模)已知函数f(x)＝log2x2－2ax在2，4上的最小值是1解析：若a＝0，则x∈2，4，f(x)＝2log2x在2，4上单调递增，最小值为f2＝2log22＝若a＜0，则f(x)的定义域为－∞，2a∪0，＋∞，且由复合函数的单调性可知f则最小值为f2＝log24－4a＝1，解得a＝1若a＞0，则f(x)的定义域为－∞，0∪2a，＋∞，由题意可得2，4⊆(2此时由复合函数的单调性可知f(x)在2，4则最小值为f2＝log24－4a＝1，解得a＝1综上，a＝12答案：114.(2025·山西临汾二模)已知a＞0，函数f(x)＝1x，x＞0，ax2＋x，x≤0，g(x)＝ax－a.若函数F(x)＝解析：因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，即方程f(x)－g(x)＝0有三个解，当x＞0时，方程为1x＝ax－a，即1＝ax2－ax，即ax2－ax－1＝0因为a＞0，所以Δ＝－a2＋4a＞0，所以方程有两个根，又-1所以ax2－ax－1＝0有一个正根与一个负根，又x＞0，所以F(x)＝f(x)－g(x)有一正的零点；当x≤0时，方程为ax2＋x＝ax－a，即ax2＋1－ax＋a＝因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，所以方程ax2＋1－ax＋a＝0所以Δ＝1－a2－4a2>0，1-aa＞0，aa所以实数a的取值范围是0，答案：0[创新题]15.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得gxi＝fx0(其中i＝1，2，…，n，n∈N＋)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”.若g(x)＝sinωx－π6x∈0，2π为f(x)＝log22x+22A.1B.1C.1D.1解析：选D.由f(x)＝log22x+22x+1，令y＝log2t，t＝2因为2x＞0，所以2x＋1＞1，0＜12x+1＜1，所以t∈1，2所以f(x)＝log22x+22若g(x)＝sinωx－π6x∈0，2π为f(x)＝log2所以恰好存在2025个不同的实数x1，x2，…，x2025∈D2，使得gxi＝fx因为x∈0，2π，所以ωx－π6∈［－π6，2πω－π6］，所以g(x)＝sin(ωx－π6)(x∈[0，2π])有2025个g所以由正弦函数性质得2πω－π6＝1012×2π＋π2，所以ω＝101216.设函数y＝f(x)和y＝f(－x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f(x)的“稳定区间”，已知区间[2，2024]为函数y＝｜(13)x＋a｜的“稳定区间”，则实数a的取值范围为A.［－9，－19B.［－32024，－(1C.［－32