2026年人教版新八年级数学 第02讲 与三角形有关的线段（暑假预习讲义）

第02讲与三角形有关的线段内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断能否构成三角形题型2已知三角形的两边，求第三边的取值范围题型3三角形的稳定性题型4等边三角形的分类讨论题型5根据三角形的中线求长度题型6根据三角形的中线求面积题型7重心的概念题型8三角形的角平分线题型9做三角形的高题型10与三角形的高有关的计算04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航三角形的高、中线、角平分线；重心；垂心；内心；三角形稳定性三角形三边关系1.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能区分三者概念，掌握规范几何语言表达。2.会画出锐角、直角、钝角三角形的高、中线、角平分线，掌握三类线段在不同三角形中的位置特征。3.掌握中线平分面积、三线共点等核心性质，能利用性质进行线段、角度、面积的简单计算。4.了解三角形重心、垂心、内心的概念，理解三角形的稳定性及其生活应用。5.熟练掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形、求第三边取值范围、解决边长相关计算。学习重点：三角形高、中线、角平分线的定义、画法与性质；几何语言书写。学习难点：掌握等腰三角形三边关系分类讨论。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边.2.简化判断（最快用法）：只需验证：较短两条边的和＞最长边，满足就能构成三角形。取值范围设三边长为a、b、c，且c为最长边：a+b>c若已知两边为m、n（m>n），第三边x范围：m-n<x<m+n即时即练以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可，选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求；选项B：，∴能组成三角形，符合要求；选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求；选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求．【方法总结】三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．知识点02三角形的稳定性1.性质：三角形三边确定，形状、大小就固定不变，即三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性。2.应用：支架、桥梁钢架、自行车车架利用稳定性；伸缩门利用四边形不稳定性。即时即练港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________．【答案】稳定性【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，∴运用的数学原理是三角形的稳定性．【方法总结】1.三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．2.三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．3.四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．知识点03三角形的中线、角平分线、高线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．即时即练如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（

）A．2 B．3 C．6 D．【答案】B【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可.【详解】解：∵为的中线，为的中线，∴，设中边上的高为，∵的面积为，∴，∴.【易错提醒】1.三角形的高/中线/角平分线三者全都是线段，有两个端点；单独的角平分线是射线，垂线是直线，和三角形对应线段不是同一概念。2.任意三角形都有3条高、3条中线、3条角平分线。3.锐角三角形三条高全部在三角形内部，交点（垂心）也在内部；4.直角三角形中两条直角边互为对应边上的高，斜边上有1条高；三条高的交点就是直角顶点。5.钝角三角形中只有钝角所对边上的高在内部；另外两条高需要先延长钝角的两条邻边，再从顶点向延长线作垂线，两条高落在三角形外部。题型1判断能否构成三角形【例1】下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可．【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，，∴不能构成三角形，不符合题意；、∵较短边为，，最长边为，且，∴能构成三角形，符合题意；、∵较短边为，，最长边为，，∴不能构成三角形，不符合题意；、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合题意．【例2】已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三边关系得到第三边的取值范围，进而判断出选项中不符合该范围的数值．【详解】解：三角形的两边长分别为和，设第三边长为，由三角形三边关系可得，即，选项中不满足，其余选项均满足，此三角形第三边的长不可能是．故选：．【技巧归纳】核心妙招：短边和>最长边先把三条边按从小到大排序：a≤b≤c只需验证：a+b>c若成立，就能构成三角形；若不成立，直接排除。易错提醒：不用验证所有组合，只验证这一组即可。注意题目给的是线段长度，还是能取的整数范围。【变式1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形．【详解】解：A.∵，∴长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意；B.∵，∴长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意；C.∵，∴长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意；D.∵，∴长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意．【变式1-2】下列各组线段能组成一个三角形的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】D【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可得出结论．【详解】解：A.∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意；B.∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意；C.∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意；D.∵，满足三角形三边关系，∴能组成三角形，符合题意．题型2已知三角形的两边，求第三边的取值范围【例1】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个）【答案】5（或7或9，答案不唯一）【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即可得到符合要求的第三边长．【详解】解：设三角形第三条边的长度为，根据三角形三边关系可得：，∴，∵三角形的周长，且三角形周长为偶数，∴为奇数，∴范围内的奇数为，，，任选一个即可．【例2】由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知，∴即化简得观察选项，只有在此范围内，故选C．【技巧归纳】核心妙招：两边之差<第三边<两边之和设已知两边为m,n（不妨设m>n），第三边为x直接套用公式：m-n<x<m+n拓展用法：若题目问“第三边的整数解有几个”，就在范围内找整数。若题目问“周长的取值范围”，两边同时加上m+n即可。易错提醒：范围是开区间，不包含等号，因为等号时三点共线，不是三角形。【变式2-1】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项．【详解】解：，则，解得，由于是三角形的最长边，则，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得，因此c的取值范围是，只有符合条件，故选：C．【变式2-2】已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____．【答案】6【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：设第三边长为a，则，即，第三边长a为整数，第三边长．题型3三角形的稳定性【例1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短C．三角形的稳定性 D．垂线段最短【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答．【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性．【例2】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是（

）A．三角形的稳定性 B．三角形两边之和大于第三边C．垂线段最短 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性．【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形．故选A．【技巧归纳】核心妙招：看结构里有没有三角形，有就稳定，没有就不稳定稳定的本质：三角形三边固定，形状就固定了。典型应用：稳定：自行车车架、桥梁支架、电线杆拉线、篮球架底座。不稳定：伸缩门、活动衣架、菱形拉花（四边形变形）。易错提醒：题目问“为了加固，应该加几根木条”，就找能把四边形/多边形分割成三角形的木条数量。【变式3-1】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（

）A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒【答案】C【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形．根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断．【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合；校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合；古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合；自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合．故选：C．题型4等边三角形的分类讨论【例1】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（

）．A． B． C．或 D．以上答案均不对【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可．【详解】解：∵，又∵，，∴，且，∴，，当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，，∵，∴存在这样的等腰三角形，符合题意，∴三角形的周长为；当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，，∵，∴存在这样的等腰三角形，符合题意，∴三角形的周长为；综上所述，等腰三角形的周长为或．【例2】已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______．【答案】【分析】根据等腰三角形的性质和三边关系进行分类讨论求解即可；【详解】解：等腰三角形的一边等于，一边等于，当腰为时，三边为，，，能构成三角形，周长为；当腰为时，三边为，，，，不能构成三角形；三角形的周长为．【技巧归纳】核心妙招：先分情况，再用三边关系检验分类标准：哪条边是腰情况①：已知边为腰；情况②：已知边为底边。步骤：假设某边为腰，写出三边长；用三边关系（短边和>最长边）判断是否能构成三角形；舍去不能构成的情况，再求周长或边长。易错提醒：很多同学只算一种情况，忘了检验三边关系，导致漏解/错解。例：两边为3和7时，3不能做腰，只能7做腰。【变式4-1】已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____【答案】17或19【分析】分情况进行讨论，同时利用三角形的三边关系进行判断是否可以构成三角形，进行计算即可．【详解】解：当三角形三边为时，，可以构成三角形，则此等腰三角形的周长为；当三角形三边为时，，可以构成三角形，则此等腰三角形的周长为．【变式4-2】等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________．【答案】4【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果．【详解】解：分两种情况讨论：①当边长为的边为腰长时，底边长为，此时三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去，②当边长为的边为底边长时，腰长为，此时三角形三边长为，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形，∴该等腰三角形的底边长为．题型5根据三角形的中线求长度【例1】已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长．【答案】10【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得，再分两种情况分别列出方程，求出解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可．【详解】解：如图所示，∵是边上的中线，∴．当时，即，解得；当时，即，解得，则，∵，∴不能组成三角形，不符合题意．所以腰长为10．【例2】如图，若是的中线，，则的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键．根据三角形中线的性质可知．【详解】解：∵是的中线，即∴∵∴．故选：D．【技巧归纳】核心妙招：中线平分对边，先标中点，再用线段和差中线定义：AD是BC边上的中线BD=DC=BC常用技巧：已知中线分对边的长度，可直接求原边长；已知被中线分成的两个三角形周长差，周长差=两腰之差（公共边+中线抵消）。易错提醒：中线不是角平分线，不要用角的关系乱算；不要把“中线”当成“高”来算直角。【变式5-1】如图，已知是的中线，，则的长为（

）A．10 B．11 C．12 D．15【答案】A【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入即可求出的长度．【详解】解：∵是的中线，∴是的中点，∴，∵，∴，故选：A．【变式5-2】如图，已知的周长为35，是边上的中线，．(1)当时，求的长．(2)能否等于12？为什么？【答案】(1)5(2)不能等于12，理由见解析【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．（1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得；（2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得．【详解】（1）解：∵，，∴，∵的周长为35，∴，∴，∵是边上的中线，∴．（2）解：不能等于12，理由如下：假设能等于12，∵，∴，∵的周长为35，∴，∴，∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系，∴不能等于12．题型6根据三角形的中线求面积【例1】如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______．【答案】【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键．由是的中线，得，由，得，即可求解．【详解】解：是的中线，，，，．故答案为：．【例2】如图，是的中线，是的中线，，则______．【答案】【分析】三角形中线平分三角形面积，先由是的中线得，再由是的中线得．【详解】解：∵是的中线，，∴，∵是的中线，∴．【技巧归纳】核心妙招：一条中线把三角形分成面积相等的两部分原理：等底同高，面积相等。AD是中线：S△ABD=S△ACD=S△ABC拓展用法：再取一次中线，面积再减半；多条中线组合，可快速求小三角形面积。易错提醒：中线分的是面积相等，不是周长相等；重心把中线分成2:1两段，可进一步细分面积【变式6-1】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__．【答案】1【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案．【详解】解：∵，点D是的中点，∴．∵点E是的中点，∴，同理，∴．∵点F是的中点，∴．【变式6-2】如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______．【答案】18【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果．【详解】解：如图，连接、、，，∵的面积为3，且点A，B，C分别是，，的中点，∴，，，∴，，，∴阴影部分的面积为．题型7重心的概念【例1】长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________．【答案】【分析】根据中点坐标公式计算出长方形和的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算公式即可求解．【详解】解：如图，、分别为长方形和的重心，∵，，，，，，，∴，，，，，，∴长方形的面积，长方形的面积，∴重心的坐标，，∴重心坐标为．【例2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本题考查重心．根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意；B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意；C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意；D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意．故选：B．【技巧归纳】三条中线的交点，永远在三角形内部，分中线为2:1【变式7-1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（

）A．画出三角形薄板的三条高，取其交点B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点．【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴支撑点是三角形三边中线的交点．故选：B．【变式7-2】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______．【答案】6【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度．【详解】解：∵是的重心，∴是的中线，∴是的中点，∵，∴，故答案为：．题型8三角形的角平分线【例1】如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可．【详解】解：∵是的角平分线，∴，∴平分，∴是的角平分线，原说法正确；∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线，∴，∴不是的中点，∴不是的中线，原说法错误；∵是的中线，∴，∴是的中线，原说法正确；∵是的中线，∴，原说法正确，∴有个是正确的．【例2】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（）A．是中边上的中线 B．是中的平分线C．是中边上的高 D．是的角平分线和高【答案】B【详解】解：∵G为的中点，∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意；∵，∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意；∵于点H，∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意；∵，，∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意．【技巧归纳】核心妙招：角平分线平分内角，得到两个相等的小角几何语言：AD平分∠BAC：∠BAD=∠CAD=∠BAC常见考法：已知内角，求被平分后的角；与高、中线结合，求角度。易错提醒：三角形的角平分线是线段，不是射线；只平分内角，不平分外角（除非题目明确说外角平分线）。【变式8-1】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可．【详解】解：∵是高线，∴，故选项A正确；∵是角平分线，∴，故选项B正确；∵是中线，∴，故选项C正确；无法证明，故选项D错误．【变式8-2】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（

）A． B．是的角平分线C．是的中线 D．是的高【答案】A【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误．【详解】解：∵，即点E为中点，∴是的中线，故C正确，不符合题意；∵平分，∴是的角平分线，故B正确，不符合题意；∵，即，∴是的高，故D正确，不符合题意；∵平分，∴．但没有办法得到，故A错误，符合题意．故选：A．题型9做三角形的高【例1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴中边上的高是．【例2】下面四个图形中，线段是的高的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解．【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高，故选：D．【技巧归纳】核心妙招：一垂二标三延长，不同三角形画法不一样通用步骤：过顶点，向对边（或对边延长线）作垂线；标出垂足和直角符号；钝角三角形要先延长对边，再作高。【变式9-1】如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案．【详解】解：在中，边上的高是，故选：B．【变式9-2】如图，中边上的高是（

）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【答案】A【分析】本题考查三角形高的定义，关键是理解三角形高的概念：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高．【详解】解：根据三角形高的定义，在中，边上的高是从点向边所在直线作的垂线段，观察图形可知线段符合条件；故选：A．题型10与三角形的高有关的计算【例1】如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段．【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线，∴不能推出，该选项错误；对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确；对于选项C，∵是的中线，∴为的中点，即，该选项正确；对于选项D，∵是的高，∴，即，该选项正确．故选：A．【例2】如图，分别是的高、中线，，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可．【详解】解：∵是的高，∴，∵，∴，∴，∵是的中线，∴．故选：B．【技巧归纳】核心妙招：用面积法，同一个三角形面积不变核心公式：S△ABC=BC×hBC=AC×hAC=AB×hAB用法：已知一边和这边上的高，可求面积；已知面积和另一边，可求这条边上的高。易错提醒：直角三角形的面积：S=直角边1×直角边2，不要用斜边和斜边上的高乱算；钝角三角形的高在外部，计算时底用原边长即可，高是顶点到延长线的距离。【变式10-1】如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长．【答案】6【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解．【详解】解：∵是中线，，，∴，，∵是高，∴，即，∴．【变式10-2】如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍．【答案】2【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵是的中线，∴，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴是的2倍．故答案为：2．1．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（

）A． B． C．或者 D．【答案】D【分析】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可．【详解】解：分两种情况讨论：当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况；当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为，因此该等腰三角形的周长为．2．下列长度的条线段，能组成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可.【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系.A选项∵，∴不能组成三角形.B选项∵，∴不能组成三角形.C选项∵，∴不能组成三角形.D选项∵，满足三边关系，∴能组成三角形.3．三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（）A．3 B．4 C．7 D．15【答案】C【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可．【详解】解：设此三角形第三边的长为，则，即，所以四个选项中只有符合条件．4．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得．【详解】解：如下图所示，连接，设，，点是边的中点，点在边上，，，，，点是边的中点，，，，，，点在边上，，，，整理得：，，．5．如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____．【答案】24【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用，先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案．【详解】解：∵点F是的中点，∴，∴．∵点D是的中点，∴．∵点E是的中点，