2026年沪科版新九年级数学（9上预习） 专题3.2锐角的三角函数值（高效培优讲义）

专题3.2锐角的三角函数值教学目标1.熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确地加以运用。2.掌握互余两角的正、余弦之间的关系，并利用这一性质进行有关计算。3.会利用计算器求锐角的三角函数值，或根据三角函数值求出相应的锐角。教学重难点重点是“特殊角数值”，是基础；难点是“推导逻辑、逆向计算及建模应用”。知识点0130°，45°，60°角的三角函数值30°45°160°【即学即练】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）计算：．【答案】【知识点】分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、分母有理化，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．代入特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：．知识点02互为余角的锐角三角函数之间的关系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．【即学即练】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）比较大小：（填“>”或“=”或“<”）．【答案】=【知识点】互余两角三角函数的关系【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值解答即可，这也是解题关键．【详解】解：∵，∴．故答案为：=．题型01特殊角的三角函数值的计算【例1-1】（已知角的度数，求三角函数值）（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）的值等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【知识点】特殊三角形的三角函数【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果．【详解】解：，故选：B．【例1-2】（已知锐角三角函数值，求角的度数）（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【知识点】求角的正切值、根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】题目考查了特殊角的三角函数值和直角三角形的性质，关键是掌握特殊三角函数值．因为，可得，所以，即为．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：C．【例1-3】（直接利用特殊角的三角函数值计算）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）计算：．【答案】【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可．【详解】解：．【变式1-1】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】特殊三角形的三角函数【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．由角的正弦值直接可得答案．【详解】解：；故选：A．【变式1-2】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，，则．【答案】【知识点】特殊三角形的三角函数【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先利用，得出，再推出，即可求解．【详解】解：∵，∴是锐角，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【变式1-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）计算：【答案】【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算．先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解．【详解】解：．【变式1-4】（24-25九年级上·安徽六安·期末）计算：．【答案】【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，进行计算即可．【详解】解：．【变式1-5】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）计算：【答案】【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质．将特殊角的三角函数值正确代入后，利用二次根式的性质化简运算即可．【详解】解：．【变式1-6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）我们规定：；．根据这个规定解答问题：(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查的是解直角三角形，正确理解新定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）把化为，根据新定义、把特殊角的三角函数值代入计算得到答案；（2）把化为，根据新定义、把特殊角的三角函数值代入计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．题型02三角函数间关系的运用【例2-1】（同角三角函数间关系的运用）为锐角，若，则的值为．【答案】【知识点】利用同角三角函数关系求值【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：设，则∵，即∴∴∴∴，即故答案为：．【例2-2】（互为余角的三角函数间关系的运用）（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小：．【答案】【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合【分析】本题主要考查了互余两个角的三角函数关系，熟练掌握互余两个角的三角函数关系是解题的关键．先变形，再根据，即可得出答案．【详解】解：∵，而，∴，故答案为：．【变式2-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】互余两角三角函数的关系【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意．故选：D．【变式2-2】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为．【答案】0.618【知识点】互余两角三角函数的关系【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出．【详解】解：∵在中，，∴，∴，故答案为：0.618．【变式2-3】在如图的直角三角形中，我们知道，，，∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．(1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系；(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】利用同角三角函数关系求值、求证同角三角函数关系式【分析】（1）利用，，，即可得出；（2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可．本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴．（2）解：∵，且，∴．【变式2-4】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．

(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．【答案】(1)②④(2)见解析【知识点】相似三角形的判定与性质综合、互余两角三角函数的关系【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．（1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可；（2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可．掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键．【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角，∴，∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误；②当时，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故②正确；若是直角三角形，则：，∵，∴，∴，∴，与不符；故③错误；当，则：，∵，∴，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故④正确；综上：可以选择的是②④；故答案为：②④；（2）选择②，证明如下：当时，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴是直角三角形；选择④，证明如下：当，则：，∵，∴，∴，∴，∴，∴是直角三角形．题型03利用锐角三角函数的增减性判断角的取值范围【例3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；故选C．【变式3-1】若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是()A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵cosα<，∴0<cosα<，又∵cos90°=0,cos45°=，∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵tanα<，∴0<tanα<，又∵tan0°=0,tan60°=，0<α<60°；故45°<α<60°.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键【变式3-2】三角函数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】互余两角三角函数的关系、已知角度比较三角函数值的大小、根据三角函数值判断锐角的取值范围【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．【详解】根据锐角三角函数的概念，知．又∵，正弦值随着角的增大而增大，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可．【详解】解：，，，，故选：B．【变式3-4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可．【详解】解：∵，，且，∴；故选A．题型04利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状【例4】在中，若，则是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形【答案】B【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得角度，进而判断三角形的性质即可．【详解】解：∵，∴，，，是等腰直角三角形．故选B【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．【变式4-1】在中，，都是锐角，且，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形【答案】D【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定．【详解】解：，，，即，，，即为直角三角形，故选：D．【变式4-2】在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【知识点】绝对值非负性、由特殊角的三角函数值判断三角形形状【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．【变式4-3】在中，满足：，则的形状为．【答案】等边三角形【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形．故答案为：等边三角形．题型05与锐角三角函数有关的化简求值【例5】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角，，求的值．【答案】【知识点】利用同角三角函数关系求值【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案．【详解】解：为锐角，，得，．．【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键．【变式5-1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查了分式化简求值，含特殊角的三角函数的混合运算，先通分再运算除法，化简得，因为，所以，代入进行计算，即可作答．【详解】解：，则，原式．【变式5-2】（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）先化简再求值：，其中．【答案】，【详解】解：原式，当时，原式．【变式5-3】（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）当，时，求的值．【答案】，【知识点】已知字母的值，求代数式的值、分式加减乘除混合运算、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数【分析】利用十字相乘法等方法，对原式、对、进行化简，可得原式，，，代入即可求解．【详解】解：原式，，原式【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，利用乘法公式、十字相乘法等对原式进行变形，特殊角的三角函数，二次根式的性质，代数式求值，熟练掌握分式混合运算里的各种常见变形是解题关键．题型06锐角三角函数值与一元二次方程综合【例6】α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－sinα·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（）A．30° B．45° C．30°或150° D．60°【答案】B【知识点】特殊角的三角函数【详解】试题解析：关于x的一元二次方程x2－sinα·x＋1＝0有两个相等的实数根，整理得：α为锐角，故选B.【变式6-1】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案．【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，∴．故选：B．【变式6-2】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、求一个角的余角、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，即，解得：，锐角等于，则锐角的余角等于，故选：D．【变式6-3】关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是．【答案】16或【知识点】三角函数综合、等腰三角形的性质和判定、根据一元二次方程根的情况求参数、用勾股定理解三角形【分析】根据方程有两个相等的实数根，求得sinA=；根据的方程的两个根判定m=2，得证是等腰三角形，分类计算即可．【详解】∵方程有两个相等的实数根，∴，∴sinA=，sinA=-（舍去），∵方程有两个根，∴，∴，∵，∴m-2=0，∴方程有两个相等的实数根，∴，当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:∵AB=AC=5，sinA=，∴BD=ABsinA==4，AD==3，∴DC=2，∴BC==，∴的周长是10+；当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:∵AB=BC=5，sinA=，∴BE=ABsinA==4，AE==3，∴AE=CE=3，∴AC=6，∴的周长是10+6=16；故答案为：16或10+．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，实数的非负性，等腰三角形的分类思想，锐角三角函数，利用方程根的特点确定角的正弦，实数的非负性，确定三角形是等腰三角形是解题的关键．【变式6-4】已知，，是三个锐角，，满足，且关于的方程有两个相等的实数根，求的度数.【答案】.【详解】解：由得，，∴，，∵的方程有两个相等的实数根，∴，解得：，∴锐角的度数为；.题型07利用锐角三角函数解决几何问题【例7】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝2，∠B＝45°，求∠C的度数．【答案】60°【知识点】等腰三角形的性质和判定、直角三角形的两个锐角互余、根据特殊角三角函数值求角的度数、用勾股定理解三角形【分析】如图所示，过点D作AD⊥BC于D，则可证△ABD是等腰直角三角形，从而可以求出，即可得到，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点D作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=45°，∴∠BAD=90°-∠B=45°，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD，∵，∴，∴，∴，∴∠C=60°．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．【变式7-1】（2023·安徽六安·模拟预测）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为的内心．

(1)如图1，连接并延长交于点D，若，求的长；(2)如图2，过点I作直线交于点M，交于点N．①若，求证：；②如图3，交于点D，若，，求的值．【答案】(1)(2)①见解析；②【知识点】等边三角形的判定和性质、特殊三角形的三角函数、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题【分析】(1)根据等边三角形的性质，利用特殊角的三角函数值计算即可．（2）①证明，得到，等量代换后，证明即可得证．②过点N作交的延长线于点G，过点A作于H，证明，利用平行线分线段成比例定理，特殊角的三角函数计算即可．【详解】（1）如图1，

∵点I为的内心，，∴是等边三角形，∴，，∴，在中，，∴．（2）①∵，点I为的内心，∴，

∵，∴，∴，∵点I为的内心，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．②如图，过点N作交的延长线于点G，过点A作于H，∵点I为的内心，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．

∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形内心的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，点E是的中点，连接，，过点B作的垂线交，于点F，G．设．

(1)求证：；(2)如图1，连接，若，求m的值；(3)如图2，若平分，过点D作的垂线交，及的延长线分别于点P，H，M．若，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、利用同角三角函数关系求值【分析】（1）证出，由相似三角形的判定可得出结论；（2）设，则，，得出，证出，则可得出答案；（3）连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，证出为等腰直角三角形．过点C作垂线交延长线于点N，则为等腰直角三角形，，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】（1）证明：由题意得，，∴，∴，∵点E为的中点，∴，∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，设，则，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵平分，∴，又，∴，由（2）知，∴，∴，连接，

又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，过点C作垂线交延长线于点N，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，解得：．【变式7-3】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．(1)若于点E，如图1．①证明：；②若，求的度数；(2)若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．【答案】(1)①证明见解析；②(2)【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】（1）①根据四边形为矩形性质，证明；②根据四边形为矩形性质，证明，证得，，设，则，通过相似得到，根据三角函数，求得；（2）过点F作于H，设，则，由勾股定理得：，面积相等，解得：，解得．【详解】（1）①证明：∵四边形为矩形，∴，，∴，∵，∴，∴；②解：∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，∴∴∴，∴，则，∴；（2）解：过点F作于H，设，则，由勾股定理得：，∵点F是的中点，∴，则，∵，∴，解得：，则．【点睛】此题考查了为矩形性质、三角形相似、三角函数，解题关键是熟悉矩形性质、三角形相似、三角函数的相关知识．题型08动点问题【例8】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交于点E，且，则线段的最大值为．【答案】11【知识点】三线合一、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、利用同角三角函数关系求值【分析】作于G，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明，利用相似比可表示出，然后利用二次函数的性质求最大值．【详解】解：作于G，如图，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，即，∴，而，∴，∴，即，∴，当时，最大，最大值为11，故答案为：11．【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键．【变式8-1】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为s．【答案】或或【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用同角三角函数关系求值、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键．分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可．【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论：①当时，如图，过作，交延长线于点，，设，则，∴，在中，，即，解得（舍去）或，∴此时；②当时，且在线段上，如图，过作于点，设，则，∴，在中，，即，解得或（舍去），∴，∴，此时；③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点，设，则，∴，在中，，即，解得（舍去）或，即此时与重合，∴，∴，此时；综上，的值为或或；故答案为：或或．【变式8-2】（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在正方形中，E为边上的一动点，作交分别于两点，连接．

(1)若，求∠DEC的度数；(2)当E为的中点时．①求证：F为的中点；②若正方形的边长为，求的长．【答案】(1)(2)①见解析；②【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据特殊角三角函数值求角的度数、根据正方形的性质求线段长【分析】（1）由线段关系可求，由锐角三角函数可求解；（2）①由“”可证，可得，即可求解；②由锐角三角函数可求的长，可求的长，由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴；（2）①证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵E为的中点，∴，∵，∴，∴F为的中点；②如图，延长到点N，使得，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式8-3】（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；①求的值；②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析【知识点】求一次函数自变量或函数值、待定系数法求二次函数解析式、利用同角三角函数关系求值、面积问题(二次函数综合)【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可；②根据，得出对称轴为，抛物线开口向上，根据，说明即可．【详解】（1）解：把代入得：，∴点，把代入得：，解得：∴点，又∵点，∴可设此抛物线的解析式为，把点A代入可得:，解得：∴，即：此抛物线的解析式为．（2）解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为．①在和中，，∴，∴，∴，由点D的坐标为得：，∴；②不存在．理由如下：，∴对称轴为，，∴抛物线开口向上，又∵点P在第一象限，∴，∴当点P在对称轴左侧时，S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于；当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于；∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值．【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．一、单选题1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．利用特殊角三角函数值代入计算即可．【详解】解：，故选：C．2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【知识点】绝对值非负性、根据特殊角三角函数值求角的度数、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状．【详解】解：，，，，，，，，则是直角三角形．故选：D．3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知为锐角，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数，根据，得到，进行求解即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∴，故选：D．4．（2024·安徽亳州·模拟预测）若，则锐角的度数应是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由可得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，故选：．5．（2024·安徽宿州·模拟预测）的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】相反数的定义、特殊三角形的三角函数【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、相反数等知识点，掌握特殊角的三角函数值成为解题的关键．先根据特殊角的三角函数值求得，然后再求其相反数即可．【详解】解：由，则的相反数是．故选C．6．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】已知角度比较三角函数值的大小【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可．【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以，因此选项A不符合题意；B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．故选：D．7．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】不等式的性质、三角函数综合【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．如图（见解析），利用锐角三角函数的定义分别求出、、、、，根据边的大小关系进行比较即可得．【详解】解：如图，在中，，，，，∵，，，∴，∴，∴，∵是的斜边长，∴，在中，，∵，，∴，则选项A错误；∵，，∴，则选项B错误；∵，，∴，则选项C错误；∵，，∴，则选项D正确；故选：D．三、填空题8.在中，，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则等于．【答案】7.5【知识点】已知正弦值求边长、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】根据方程有两个相等的实数根,可得:△=0,即可求出,从而求出BC.【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴解得:∵在中，，∴BC=故答案为：7.5.【点睛】此题考查的是一元二次方程根的情况和锐角三角函数,掌握一元二次方程根的情况与△的关系和利用一个角的正弦值求直角三角形的边是解决此题的关键.9.（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是．【答案】【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．【详解】解：由，∴，∵当时，随着的增大而减小，∴，故答案为：10．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）在中，若都是锐角，则的度数是．【答案】/105度【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、三角形内角和定理的应用【分析】根据特殊角的三角函数值求得，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵都是锐角，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．11．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如果锐角满足，则的大小是．【答案】【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值解答即可．【详解】解：∵锐角满足，∴的大小是，故答案为：．12.如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，若，则的最小值为．【答案】6【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据矩形的性质求线段长、特殊三角形的三角函数、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，线段之和最小问题，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线．点是点关于的对称点，连接，交于点，此时，值最小，即为的值，过点作，交于点，先求出，确定为等边三角形，再判定为等腰三角形，最后利用锐角三角函数求出，利用三线合一即可求解．【详解】解：如图所示，点是点关于的对称点，连接，交于点，此时，值最小，即为的值，过点作，交于点，在矩形中，，∴，∴，根据轴对称的性质得，，∴为等边三角形，∴，，∵点E为的中点，∴，∴为等腰三角形，又，∴，∴，根据三线合一得，，故答案为：6．13．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与x轴夹角为，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（）上，则．【答案】【知识点】折叠问题、特殊三角形的三角函数、求反比例函数解析式【分析】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，由折叠的性质易得，，，用锐角三角函数的定义得，，得点C的坐标，进而得出答案．【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，∵将沿直线翻折，∴，，，∴，∵，∴，∵，∵点C在第二象限，∴，∵点C恰好落在双曲线∴故答案为：．14．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以为顶点的抛物线一部分，鱼线长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角恰好为，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为．【答案】【知识点】特殊三角形的三角函数、待定系数法求二次函数解析式【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，理解二次函数的性质，根据特殊角的三角函数值确定顶点坐标是解题关键．先求得，的值，确定抛物线的顶点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式．【详解】解：由题意可得，，，，在中，，，∴，∴点坐标为，设鱼竿所在抛物线的解析式为，把代入解析式，可得，解得，∴鱼竿所在抛物线的解析式为，故答案为：．三、解答题15．（2025·安徽亳州·模拟预测）计算：【答案】1【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简、零次幂、特殊角的三角函数值的混合运算．先根据二次根式的性质进行化简、零次幂、特殊角的三角函数值计算，最后计算加减即可．【详解】解：

．16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）计算：【答案】0【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】此题考查的是含特殊角的锐角三角函数的混合运算，熟练掌握30°的正弦值、45°的余弦值和60°的正切值是解决此题的关键．根据30°的正弦值、45°的余弦值和60°的正切值计算即可．【详解】解：．17．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）计算：．【答案】【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查二次根式混合运算和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算．【详解】解：．18．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）计算：．【答案】【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题主要考查了实数混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可．【详解】解：．19．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．【答案】(1)(2)，理由见解析【知识点】已知正弦值求边长、已知角度比较三角函数值的大小【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解；（2）同（1）的方法，即可求解．【详解】（1）解：在中，，，在中，，，又，；（2）解：由（1）得，，，，．【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．20．（24-25九年级上·