2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第1章第2讲 常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第2讲

常用逻辑用语1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理充分1．充分条件、必要条件与充要条件必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全称量词和存在量词(1)全称量词有“所有的”“任意一个”“任给一个”，用符号“____”表示；存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”，用符号“_____”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为_____________．(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为_____________．∀∃∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)命题命题的否定∀x∈M，p(x)______________∃x∈M，p(x)______________∃x∈M，¬p(x)3．含有一个量词的命题的否定∀x∈M，¬p(x)重点考法突破考法1

充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法1.设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考法2

根据充分、必要条件求参数已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．[0，3][9，＋∞)由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(

)A．{a|a≤1} B．{a|a≥1}C．{a|a≤2} D．{a|a≥2}考法3

全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断(2)(2024·新课标Ⅱ卷，2)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(

)A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B.1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定．2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断判断全称量词命题为真命题，需证所有对象使命题成立；判断存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可．由于命题和其否定的真假性相反，故当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(

)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.2．(2026·陕西西安模拟)若p：∀x>0，lnx＋x2＋2>0，则(

)A．p是真命题，且¬p：∃x>0，lnx＋x2＋2≤0B．p是真命题，且¬p：∃x≤0，lnx＋x2＋2≤0C．p是假命题，且¬p：∃x>0，lnx＋x2＋2≤0D．p是假命题，且¬p：∃x≤0，lnx＋x2＋2≤0考法4

由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数(2025·陕西渭南模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是_________________．解析：若命题p为真命题，则∀x∈[1，2]，a≤x2恒成立，又当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1；若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．(－∞，－2]∪{1}由命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．(3)不易直接求参数的取值范围时，可利用等价命题将条件进行合理转化后再进行分析．(2026·黑龙江大庆模拟)已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_____________________．解析：若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，则－4<m<6，因为原命题为假命题，所以实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．(－∞，－4]∪[6，＋∞)课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点全称量词命题的否定命题的真假判断充分、必要条件的判断根据命题的真假求参数充分、必要条件的判断命题的真假判断根据充分、必要条件求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★考点充分、必要条件的判断命题的否定及真假判断充分、必要条件的探求充分、必要条件的判断充分、必要条件的判断根据命题的真假求参数根据充分、必要条件求参数解析：命题“∀x∈R，ex≤x＋1”的否定是“∃x∈R，ex>x＋1”．故选B.2．(2025·四川德阳三模)已知命题p：∀x≥0，x＋|x|>0；命题q：∃x∈R，x2>2x，则(

)A．p和q均为真命题 B．¬p和q均为真命题C．p和¬q均为真命题 D．¬p和¬q均为真命题解析：当x＝0时，x＋|x|＝0，故命题p为假命题，¬p为真命题；当x＝3时，32>23，故命题q为真命题，¬q为假命题，故¬p和q均为真命题．故选B.3．(2025·天津卷，2)设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2026·云南昆明一中阶段考试)已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(

)A．{a|a＜1} B．{a|a≤1}C．{a|a＞1} D．{a|a≥1}解析：∵p为假命题，∴¬p为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，即∀x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1，∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．5．(2026·山东聊城高三摸底考试)已知等比数列{an}的公比为q，甲：{an}是递增数列，乙：|q|>1，则(

)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．(2025·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(

)A．[－1，0] B．(－1，0)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)8．(2025·北京卷，7)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x0∈D，使得f(x0)＝|M|＋1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，对任意M∈R，一定存在x0∈D，使得f(x0)＝|M|＋1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立．所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A.解析：因为A＝{x|x＞3}，B＝{x|x<－1，或x>2}，所以A⊆B.对于A，原命题的否定为“∃x∈B，x∉A”，当x<－1时，满足x∈B，x∉A，即原命题的否定为真命题，故A不符合题意；对于B，原命题的否定为“∀x∈B，x∈A”，当x<－1时，x∈B，x∉A，即原命题的否定为假命题，故B符合题意；对于C，原命题的否定为“∀x∈A，x∈B”，因为A⊆B，所以原命题的否定为真命题，故C不符合题意；对于D，原命题的否定为“∃x∈A，x∉B”，因为A⊆B，所以原命题的否定为假命题，故D符合题意．故选BD.11．(2026·四川成都模拟)将元素个数为非负整数的集合称为有限集，|S|表示有限集S中的元素个数．设A，B都为有限集，则(

)A．A∩B＝∅的充要条件是|A∪B|＝|A|＋|B|B．A⊆B的必要条件是|A|≤|B|C．A⊆B的充分条件是|A|≤|B|D．A＝B的充要条件是|A|＝|B|解析：对于A，由|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|及|A∪B|＝|A|＋|B|，得|A∩B|＝0⇔A∩B＝∅，A正确；对于B，由A⊆B，得|A|≤|B|，A⊆B的必要条件是|A|≤|B|，B正确；对于C，取A＝{1，4}，B＝{1，2，3}，满足|A|≤|B|，而A

B，C错误；对于D，取A＝{1，2}，B＝{3，4}，满足|A|＝|B|，而A≠B，D错误．故选AB.三、填空题12．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________(填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析：由“小故，有之不必然，无之必不然”，