2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第7章第1讲　等差数列、等比数列的基本公式

第七章

数列第1讲等差数列、等比数列的基本公式1.理解等差数列、等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，理解等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系.核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1.等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的___都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示.数学语言表示为_____________(n∈N*)，d为常数.(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时___叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝______.2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝_____________.(2)前n项和公式：Sn＝_______________＝_______________.第2项差同一个常数公差an＋1－an＝dAa＋ba1＋(n－1)d.3.等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示(显然q≠0)，数学语言表示为____________________.(2)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么_____叫做a与b的等比中项，此时G2＝_____.2同一个常数公比Gab4.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝__________.(2)前n项和公式Sn＝=____________，q≠1.a1qn－1na1重点考法突破考法1等差数列、等比数列基本量的计算(1)(2025·北京卷，5)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(

)A.－20 B.－18C.16 D.18等差(等比)数列基本量计算问题的解题策略(1)等差(等比)数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d(q)，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差(等比)数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d(公比q).(3)涉及等比数列基本量解方程组时常常利用“作商”消元法.(4)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.(1)(多选)(2026·广东汕头模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝a2＝4，且∀n≥2，n∈N*，4(Sn－Sn－1)＝Sn＋1，则(

)A.数列{Sn}是等比数列B.数列{an}是等比数列C.a6＝32D.数列{log2an}的前10项和为56考法2等差数列、等比数列的判定与证明等差数列、等比数列的判定方法(2026·江苏灌云模拟)在数列{an}中，a1＝0，∀k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为k.(1)判断a4，a5，a6是否成等比数列？并说明理由；(2)证明：a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列.解：(1)当k＝1时，a1，a2，a3成公差为1的等差数列，则a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋1＝2；当k＝2时，a3，a4，a5成公差为2的等差数列，则a4＝a3＋2＝4，a5＝a4＋2＝6；当k＝3时，a5，a6，a7成公差为3的等差数列，考法3等差数列、等比数列的综合(2026·上海松江模拟)已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)若集合M＝{k|bk＝am＋a1，1≤m≤50}，求集合M中的元素个数.解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分利用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件.(2025·湖北华中师大附中模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S6＝63，a2－a8＝－126，数列{bn}是公差为1的等差数列，且a1b4＝a3b1，数列{cn}满足cn＝an－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的最小值及取得最小值时n的值.课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考点等差数列基本量的计算等比数列基本量的计算等比数列基本量的计算等差数列、等比数列的综合等差数列、等比数列的综合等差数列、等比数列的综合等差数列基本量的计算等比数列的判定题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点等差数列基本量的计算；等比数列的判定等比数列的应用等差数列、等比数列的综合等差数列基本量的计算等比数列的应用等差数列、等比数列的综合等差数列的判定；等差数列、等比数列的综合等差数列基本量的计算；等差数列、等比数列的综合一、单项选择题1.(2025·新课标Ⅱ卷，7)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(

)A.－20 B.－15C.－10 D.－54.(2025·安徽黄山二模)已知各项均为整数的数列{an}中，a6＝－2，a9＝1，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则a2026＝(

)A.22016 B.22017

C.22018 D.22019解析：由题意，设前10项等差数列的公差为d，则a9－a6＝3d＝3，解得d＝1，所以a10＝a9＋d＝1＋1＝2.设从第9项起依次成的等比数列的公比为q，则a10＝a9q，即q＝2，所以a2026＝a10·q2016＝2×22016＝22017.故选B.6.(2025·北京海淀二模)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其中a1＝b1＝1，a3＝b3＝3，则(

)A.a4<b4 B.a4>b4C.a5<b5 D.a5>b57.(2026·广西名校摸底)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝4，Sk＋2＝0，Sk＋4＝－6，则k＝(

)A.2 B.4C.6 D.88.(2026·广东部分重点中学高三联考)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}是等比数列，乙：{Sn＋2－Sn}是等比数列，则(

)A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件二、多项选择题9.(2026·湖南长郡中学高三月考(二))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－2，a4＋a6＝8，则下列结论正确的是(

)A.an＝2n－6B.Sn＝n2－6nC.当且仅当n＝3时，Sn取得最小值D.数列

是等比数列11.(2025·湖南师大附中三模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋1，{bn}为等差数列，且b2＝a2，b8＝a4，记集合An＝{x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn，则下列结论正确的是(

)A.a1＝1 B.S4＝16C.bn＝n D.cn＝2n－1－n＋1三、填空题12.(2025·河北省级期末联考)已知公差大于0的等差数列{an}满足a4＋a2－a1＝3，a4a6＝－7，则数列{an}的前8项和为________.813.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8，则an＝________，a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1＝________________.2n14.(2025·