2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第9章第5讲　抛物线

第九章直线与圆、圆锥曲线第5讲抛物线1．了解抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．了解抛物线的简单几何性质．3．了解抛物线的简单应用．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．2．抛物线的标准方程与几何性质相等标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形焦点准线顶点O(0，0)对称轴____________焦点F____________F__________F_________离心率e＝___准线方程________________________________________________范围___________________________________________________开口方向向______向______向______向______x轴y轴1x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R右左上下重点考法突破考法1抛物线的定义与标准方程(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(

)A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线解析：设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1，又点(－2，0)不在直线x＝2上，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹是抛物线．故选D．(2)(2026·山西大同模拟)过点M(－6，6)的抛物线的标准方程是___________________．y2＝－6x或x2＝6y解析：由于点M(－6，6)在第二象限，所以过点M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，所以p＝3，所以抛物线的方程为y2＝－6x．若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6，6)代入，可得36＝2p×6，所以p＝3，所以抛物线的方程为x2＝6y．综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．1．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．2．求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，常采用以下两种模式设抛物线的标准方程：焦点在x轴上设为y2＝ax(a≠0)焦点在y轴上设为x2＝ay(a≠0)1．在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到定点F(3，0)的距离比P到y轴的距离大3，则动点P满足的方程为______________________．y2＝12x或y＝0(x<0)2．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线E的标准方程为________．y2＝4x考法2抛物线的几何性质(2)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．1．(2026·江西宜春模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8，点D(3，y0)在C上，则|DF|＝(

)A．4 B．5C．6 D．7考法3与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与到定点(动点)距离之，和最小问题)角度2到定直线的距离最小问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．2．(2025·湖北“新八校”协作体联考)已知点M(2，4)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为5，则p的值为___．6课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考点利用抛物线的准线方程求抛物线的标准方程利用抛物线的定义求距离利用抛物线的定义求距离到焦点与到定点距离之差最大问题利用抛物线的定义求距离抛物线的对称性利用抛物线的定义求距离到焦点与到动点距离之和最小问题题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点抛物线的定义及几何性质的综合问题抛物线的定义及几何性质的综合问题利用抛物线的定义求距离；正弦定理利用抛物线的定义求轨迹方程利用抛物线的定义求距离；余弦定理利用抛物线的定义求距离；余弦定理动点的轨迹问题；到定直线的距离之和最小问题动点的轨迹问题4．(2026·山东济南模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，定点Q(－1，－2)，若对抛物线C上任一动点P，都有m≥|PF|－|PQ|恒成立，则m的最小值为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程是x＝－2．如图，过点P作准线l的垂线PA，垂足为A，连接AQ．因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PA|，所以|PF|－|PQ|＝|PA|－|PQ|≤|AQ|，当且仅当A，P，Q三点共线时，等号成立，当AQ⊥l时，|AQ|取得最小值，为1，所以m的最小值为1．故选A．5．(2025·新课标Ⅱ卷，6)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(

)A．3 B．4C．5 D．68．(2025·福建莆田模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上．若点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MQ|的最小值为(

)A．5 B．4C．3 D．211．(2025·福建泉州质量监测一)在平面直角坐标系xOy中，设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，点N(－1，0)，若NM的延长线与C交于点A．记∠ANF＝α，∠AFN＝β，∠MFN＝γ，则(

)A．tanα＝sinβ B．tanα＝cosβC．tanα＝sinγ D．tanα＝cosγ三、填空题12．已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．解析：圆N的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，设圆M的半径为r，则点M到直线l′：y＝－3的距离与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，l′为准线的抛物线，故点M的轨迹方程为x2＝12y．x2＝12y1四、解答题15．(2026·甘肃兰州阶段考试)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8．(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)已知P为轨迹C