2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第11章第5讲 二项分布、超几何分布与正态分布

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第5讲二项分布、超几何分布与正态分布

1．理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量及其特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验___________________的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_______________．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作____________．(3)二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝__________．只包含两个可能结果n重伯努利试验X～B(n，p)npnp(1－p)正态密度曲线上方x＝μx＝μ1⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着___的变化而沿x轴平移，如图1所示；⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ_____时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ______时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示．μ较小较大X～N(μ，σ2)μσ2重点考法突破考法1

n重伯努利试验与二项分布(2026·江西南昌高三开学考试)中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)．(1)求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；(2)在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；(3)第一阶段，该攻关研究小组能获得1亿元启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5亿元费用．记该攻关研究小组在这两个阶段获得的总费用和为Y(单位：亿元)．求随机变量Y的期望．1．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验；(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆；(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．2．求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

(2026·福建泉州模拟)为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图：用样本估计总体，以频率代替概率．现从该市的高中学生中随机抽取n人，用X表示成绩在[80，90)的人数．(1)若n＝3，求X的分布列与数学期望；(2)若n＝20，求使得P(X＝k)取得最大值的k的值．

(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．考法2超几何分布类别科室志愿者医生护士A科室23B科室33超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．考法3正态分布(2)(多选)(2026·广西大学附属中学高三开学考试)某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且X～N(0.3，0.22)，则下列结论正确的是(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%)(

)A．E(X)＝0.3 B．P(X≥0.3)＝0.5C．P(X≥0.5)≈0.3173 D．D(X)＝0.04(3)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为___．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.9545)正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的区域的面积为1的性质．(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．2．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；解：(1)抽取的一个零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0027，故X～B(16，0.0027)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423.X的数学期望E(X)＝16×0.0027＝0.0432.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率只有0.0027，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件的概率只有0.0423，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号

12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点正态曲线的性质二项分布的方差；二项分布的概率超几何分布的均值正态分布的概率计算二项分布的概率正态曲线的性质超几何分布的均值二项分布的概率最值正态分布的概率超几何分布的概率、均值题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点二项分布的概率、均值、方差正态分布的概率计算超几何分布的方差二项分布的均值二项分布的方差超几何分布的分布列与均值正态分布；二项分布的分布列与均值二项分布的分布列与均值超几何分布的应用一、单项选择题1．(2026·福建莆田第五中学高三期初检测)已知随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤4)＝0.16，P(X≤8)＝0.84，则μ的值为(

)A．6 B．7C．7.5 D．104．(2025·湖北武汉一模)已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的质量指标X符合正态分布N(100，16)．现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在[96，112]和[92，108]的概率约为(

)(运算结果精确到0.01，参考数据：若X服从正态分布(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．0.57 B．0.75C．0.80 D．0.84解析：P(96≤X≤112)＝P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)≈0.84，P(92≤X≤108)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故所求概率约为0.84×0.9545＝0.80178≈0.80.故选C.6．(2026·皖南八校高三摸底大联考)已知随机变量X，Y均服从正态分布，其中X～N(0，1)，且X＋2Y＝2，设函数F(x)＝P(|Y－2x|<1)，则F(x)的图象大致为(

)8．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率估计全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(

)A．3

B．4

C．5

D．6用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1721139女性人数810166用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1721139女性人数810166三、填空题12．(2025·安徽滁州二模)某市高三年级男生的体重X(单位：kg)近似服从正态分布N(60，σ2)．若P(X≤56)＝0.2，则P(60<X<64)＝____．解析：因为体重X近似服从正态分布N(60，σ2)，所以正态密度曲线关于直线X＝60对称，所以P(X≥64)＝P(X≤56)＝0.2，则P(60<X<64)＝P(X>60)－P(X≥64)＝0.5－0.2＝0.3.0.313．(2026·江苏南京金陵中学阶段练习)从3名男生和3名女生中随机选取两人，设选到男生的人数为X，则3X＋2的方差为____．14．(2025·天津卷，13)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为_____；若一周至少跑11圈为运动量达标，连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝_____．0.63.2四、解答题15．(2026·北京顺义第一中学高三开学考试)近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出．国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率．(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；(2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；(3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为ξ1，ξ2，ξ3，直接写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)的大小关系．甲款机器人乙款机器人丙款机器人测试次数50100100成功次数20608016．(2026·河北十校联考)人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：(1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？(2)从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．男教师女教师合计优秀201030非优秀101020合计30205017．(2025·河北唐山开学考试)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80)内的学生获三等奖，得分在[80，90)内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果精确到1)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.18．(2026·广东珠海模拟)某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动．将传递的信息编码分别用“α，β，γ，δ”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“α，β，γ，δ”四种字符被破解的情况如下：(每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符α”等可能被破解为“α，β，γ”)(1)若