2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第11章第4讲 离散型随机变量的分布列及数字特征

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第4讲离散型随机变量的分布列及数字特征了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征(均值、方差)．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_______________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称_____________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．(2)______________＝1.唯一的实数X(w)X取每一个值xi的概率p1＋p2＋…＋pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpnXx1x2…xnPp1p2…pn平均水平偏离程度5．两点分布的分布列及其数字特征若X服从两点分布，则X的分布列如下：期望E(X)＝___，方差D(X)＝_________．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．pX01P1－ppp(1－p)重点考法突破

(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：则下列计算结果正确的是(

)A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3考法1离散型随机变量分布列的性质X01234P0.10.20.40.2a解析：由0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．故选ABD.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”可以求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

(2026·辽宁七校协作体高三期初联考)已知离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y＝2X＋1，则P(Y≥5)＝________．

(1)若随机变量X的期望E(X)＝3，则E(3X＋2)＝(

)A．3 B．9C．11 D．27考法2离散型随机变量均值与方差的性质解析：E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝11.故选C.(2)(2026·山东菏泽模拟)离散型随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，E(X)＝1，则D(2X－1)＝(

)A．－0.2

B．0.6C．0.8 D．1.6均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．(2)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.(5)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．

(多选)(2026·重庆模拟)已知随机变量X的分布列为则下列结论正确的是(

)A．E(X)＝2.4 B．D(X)＝6.6C．E(2X＋7)＝4.8 D．D(2X＋7)＝3.36解析：由题意，E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，故A正确；E(2X＋7)＝2E(X)＋7＝2×2.4＋7＝11.8，故C错误；D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84，故B错误；D(2X＋7)＝4D(X)＝4×0.84＝3.36，故D正确．故选AD.X1234P0.20.30.40.1考法3求离散型随机变量的均值与方差解析：已知6个脐橙，其中有3个不合格产品，即合格品有3个，每次从中抽取1个且不放回，所以抽到第2件合格品时的抽取次数X的可能取值为2，3，4，5，故A正确．当X＝4时，表示前3次抽取中有1个合格品和2个不合格品，求离散型随机变量均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的可能取值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值的定义求E(X)；(5)由方差的定义求D(X)．考法4均值与方差在决策问题中的应用随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．

(2026·安徽蚌埠模拟)某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格/(元/个)使用寿命/月甲10007或8乙4003或4(1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6个轴承中，任选2个装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用)．试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？课时作业基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★★考点分布列的性质分布列的性质；数学期望的计算数学期望、方差的计算；方差的性质数学期望、方差的计算新定义问题；数学期望、方差的计算数学期望的计算两点分布数学期望的应用分布列的性质；数学期望的计算数学期望、方差的计算；数学期望、方差的性质题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点数学期望的应用分布列的性质数学期望的计算数学期望的计算离散型随机变量的分布列与数学期望离散型随机变量的分布列与数学期望离散型随机变量的分布列与数学期望；方差的性质离散型随机变量的分布列与数学期望；决策问题新定义问题；离散型随机变量的分布列5．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)，已知X，Y的分布列如下表所示，其中0<p<1，则Cov(X，Y)的值为(

)A.0

B．1

C．2

D．4XY124Pp(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)X12Pp1－p解析：由题意，得XY的分布列为E(XY)＝1×p(1－p)＋2×[p2＋(1－p)2]＋4×p(1－p)＝－p2＋p＋2，E(X)＝2－p，E(Y)＝p＋1，Cov(X，Y)＝－p2＋p＋2－(2－p)(1＋p)＝0.故选A.Y12P1－pp6．(2026·广西部分校开学联考)小华进行3次投篮，每次投篮得0分或2分．第一次投篮得0分的概率为0.5，得2分的概率为0.5.若某次投篮得0分，则下一次投篮得0分的概率为0.6，得2分的概率为0.4；若某次投篮得2分，则下一次投篮得0分的概率为0.4，得2分的概率为0.6.记小华3次投篮的累计得分为X，则X的数学期望E(X)＝(

)A．3 B．4C．4.5 D．5解析：由题意可知，X的可能取值为0，2，4，6，记事件Ai(i＝1，2，3)表示“第i次投篮得0分”，事件Bi(i＝1，2，3)表示“第i次投篮得2分”．P(X＝0)＝P(A1A2A3)＝0.5×0.6×0.6＝0.18，P(X＝2)＝P(A1A2B3)＋P(A1B2A3)＋P(B1A2A3)＝0.5×0.6×0.4＋0.5×0.4×0.4＋0.5×0.4×0.6＝0.32，P(X＝4)＝P(A1B2B3)＋P(B1A2B3)＋P(B1B2A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.4×0.4＋0.5×0.6×0.4＝0.32，P(X＝6)＝P(B1B2B3)＝0.5×0.6×0.6＝0.18，所以X的分布列为故E(X)＝0×0.18＋2×0.32＋4×0.32＋6×0.18＝3.故选A.X0246P0.180.320.320.188．(2025·重庆外国语学校模拟)为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到1个红球1个白球，可获得a个百元代金券；摸到2个白球，可获得b个百元代金券；摸到2个红球，可获得ab个百元代金券(a，b均为整数)．已知每位员工平均可获得5.4个百元代金券，则运气最好者最多获得(

)A．5.4个百元代金券

B．9个百元代金券C．12个百元代金券 D．18个百元代金券102413．(2025·重庆九龙坡三模)甲同学手中有3本故事书和1本科普书，乙同学手中有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i(i＝1，2，3)本书进行交换，记交换后甲同学手中故事书的本数为X，X的均值为Ei(X)，则E1(X)＋E3(X)＝____．414．(2026·广东广州真光中学开学考试)有2n个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如n＝2时，一共有4个人，以1，2，3，4表示，握手两人用一条线连接，共有2种方式，如图所示．记一次握手中，共有Y对相邻的两人握手，当n＝3时，Y的数学期望E(Y)＝____．16．(2025·北京卷，18)有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对该题目的人数，求恰有1人做对该题目的概率以及X的数学期望；(3)若甲校学生掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校学生掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的学生都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小(结论不要求证明)．X012P0.050.350.617．(2026·北京清华大学附中高三开学考试)北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A，B，C三种类型，如下表：在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学．(1)求选取的