2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章第8讲　极值点偏移问题

第四章导数及其应用第8讲极值点偏移问题极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性.极值点偏移问题常通过导数确定函数的单调区间、极值点，再构造对称函数(如g(x)＝f(x)－f(2x0－x))推导关系，再由g(x)的性质进一步分析零点x1，x2与极值点的位置关系.核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理图示重点考法突破考法1对称化构造法(和型)证明x1＋x2>2x0的步骤(1)求极值点x0：求出函数f(x)的极值点x0，结合函数f(x)的图象，由f(x1)＝f(x2)得出x1，x2的取值范围.(2)构造函数：对结论为x1＋x2>2x0的情况，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x).①F′(x)＝f′(x)＋f′(2x0－x)>0，则F(x)单调递增；②注意到F(x0)＝0，则F(x1)＝f(x1)－f(2x0－x1)<0，即f(x1)<f(2x0－x1)；③f(x2)＝f(x1)<f(2x0－x1)，根据f(x)在(x0，＋∞)上单调递减，则x2>2x0－x1；④得到结论x2＋x1>2x0.注意：对结论x1＋x2＞2x0型，有时也可构造函数F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x).已知函数f(x)＝x2－2x＋1＋aex有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：x1＋x2>4.考法2对称化构造法(积型)已知f(x)＝lnx－ax(a∈R)，f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，证明：x1x2>e2.考法3比值换元法(2026·福建泉州模拟)已知函数f(x)＝lnx－x＋a.(1)求函数f(x)的最大值；(2)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1<x2)，证明：2lnx1＋lnx2<0.考法4差值换元法已知函数f(x)＝ex－ax－3(a∈R)，若f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2，证明：3ex1＋ex2>3a.差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝x1－x2，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解.课时作业中档题(占比30%)拔高题(占比70%)题号1234难度★★★★★★★★★★★考点对称化构造法(和型)；比值换元法；差值换元法对称化构造法(积型)比值换元法对称化构造法(和型)2.(2025·湖南长沙5月模拟)已知函数f(x)＝(x＋a)ex，直线y＝2x＋1是曲线y＝f(x)的一条切线.(1)求a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x1)＝f(x2)，其中x1<x2，证明：x1x2>4.解：(1)设直线y＝2x＋1与曲线y＝f(x)相切于点(x0，f(x0))，∵f′(x)＝(x＋a＋1)ex，∴f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0＝2，又f(x0)＝(x0＋a)ex0＝2x0＋1，∴2－ex0＝2x0＋1，即ex0＋2x0－1＝0.3.(2026·云南师范大学附属中学高三上适应性月考(三))已知函数f(x)＝(a＋1)x－(x＋1)·lnx.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点