2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第10章第3讲 成对数据的统计分析

第十章统计与成对数据的统计分析第3讲成对数据的统计分析

1．了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.2.会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.3.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.4.会用一元线性回归模型进行预测.5.理解2×2列联表的统计意义.6.了解2×2列联表独立性检验及其应用．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做________．利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．散点图(3)正相关和负相关①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量_______．②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，我们就称这两个变量_______．(4)线性相关①一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在_________附近，我们就称这两个变量线性相关．②一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．正相关负相关一条直线正负②样本相关系数r的取值范围为__________．当|r|＝1时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越___；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越___．[－1，1]强弱4．残差与残差分析(1)残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为_______，通过经验回归方程得到的称为_______，________减去_______称为残差．(2)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．观测值预测值观测值预测值越小大小5．列联表与独立性检验(1)2×2列联表定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d是否独立重点考法突破

(1)(多选)(2026·天津武清区燕京高级中学模拟)某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据并绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(

)A．气压与海拔高度呈正相关B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈负相关D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强考法1两个变量的相关性解析：由题图1知气压随海拔高度的增加而减小，由题图2知沸点随气压的升高而升高，所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关．由于两个散点图中的点都呈线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．故选BCD.甲乙丙丁r0.820.780.690.85m1061151241032．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：则哪位同学的试验结果体现的A，B两变量有更强的线性相关性(

)A．甲 B．乙

C．丙 D．丁解析：|r|越接近1，m越小，线性相关性越强，故选D.考法2一元线性回归模型移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．如图是2018～2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018～2022对应的t分别为1～5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；考法3化曲为直的非线性回归模型年份20212022202320242025年份编号x12345核心产值规模y1.52.53.44.97.8年份20212022202320242025年份编号x12345核心产值规模y1.52.53.44.97.8非线性回归模型的解题策略(1)根据散点图、样本相关系数、决定系数或残差图来判断拟合效果，从而选出合适的回归模型；(2)利用取对数、取指数、平方等变换方法，将非线性回归模型转化为线性回归模型来进行计算．考法4独立性检验α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(2026·辽宁部分学校高三开学联考)随着我国人工智能(AI)的突破性发展，近期许多优秀的人工智能(AI)应用软件发布并上线．这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应．某科技公司新开发了一款人工智能(AI)应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从青、中年用户中随机调查了300人，得到如下2×2列联表：单位：人(1)求m，n的值；(2)补全2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关．组别应用体验合计良好不良好青年用户3m＋n2m－n中年用户m＋nm＋2n150合计300课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★考点散点图与相关关系已知χ2值判断两变量有无关联样本相关系数与变量的相关性由|ad－bc|判断X与Y有关的可能性残差线性回归方程非线性回归方程已知χ2范围求参数数据变化对残差、决定系数、样本相关系数的影响已知χ2值判断两变量有无关联题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★考点回归方程已知残差求参数变量的相关性；样本相关系数决定系数独立性检验线性回归方程、残差独立性检验、样本相关系数线性回归方程回归方程、残差的应用一、单项选择题1.(2026·天津模拟)为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量y和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店(2025年2月6日至3月24日)每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图(x轴表示气温，y轴表示热奶茶销售量)，由散点图可知y与x的相关关系为(

)A．正相关，相关系数r为正数B．负相关，相关系数r为正数C．正相关，相关系数r为负数D．负相关，相关系数r为负数解析：由散点图知，y随着x的增大而减小，因此是负相关，相关系数r为负数．故选D.2．(2025·江苏盐城模拟)根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(

)A.变量Ⅰ与Ⅱ有关联B．变量Ⅰ与Ⅱ有关联，这个结论犯错误的概率不超过0.1C．变量Ⅰ与Ⅱ没有关联D．变量Ⅰ与Ⅱ没有关联，这个结论犯错误的概率不超过0.1解析：零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ没有关联．因为χ2＝2.954>2.706，依据小概率值α＝0.1的独立性检验可推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ有关联，这个结论犯错误的概率不超过0.1.故选B.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283．(2026·四川成都崇州开学考试)某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92；结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝－0.12；结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75.下列说法正确的是(

)A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率不相关C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强D．结论一中|r1|接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系解析：由r1＝0.92，可知PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系，但不能说明机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，故A错误，D正确；由于|r1|>|r3|，r3＝0.75，则表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，但线性相关性没有结论一的强，故C错误；由r2＝－0.12，可知绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率呈负相关，相关性不是很强，但不能说绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率不相关，故B错误．故选D.4．假设有两个变量X，Y的2×2列联表如下：对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(

)A．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50B．a＝50，b＝30，c＝30，d＝40C．a＝30，b＝60，c＝20，d＝50D．a＝50，b＝30，c＝40，d＝30解析：对于A，|ad－bc|＝200；对于B，|ad－bc|＝1100；对于C，|ad－bc|＝300；对于D，|ad－bc|＝300，显然B中|ad－bc|最大，该组数据能说明X与Y有关系的可能性最大．故选B.XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋dx681012y7t5.54.5α0.050.01xα3.8416.635二、多项选择题9．(2025·四川达州二模)某同学根据x，y的5组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，5)，绘制了散点图(图1)，并进行回归分析，若在这5组数据的基础上又增加了2组数据(图2)，重新进行回归分析，则下列叙述正确的是(

)A．决定系数R2变大B．样本相关系数r的绝对值更趋近于0C．残差的平方和变大D．解释变量x与响应变量y的相关性变强解析：由题图可知，增加2组数据后，回归效果变差，所以决定系数R2变小，样本相关系数r的绝对值变小，残差的平方和变大，解释变量x与响应变量y的相关性变弱．故选BC.10．(2025·山东济南一模)为了验证牛的毛色(黑色、红色)与角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则(

)附：A.若α＝0.100，则认为“毛色”与“角”无关B．若α＝0.100，则认为“毛色”与“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%C．若α＝0.010，则认为“毛色”与“角”无关D．若α＝0.010，则认为“毛色”与“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解析：对于A，B，若α＝0.100，因为2.706<2.727，所以认为“毛色”与“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错误，B正确；对于C，D，若α＝0.010，因为6.635>2.727，所以认为“毛色”与“角”无关，故C正确，D错误．故选BC.三、填空题12．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，下表是2025年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：根据表中数据，得出y关于