2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章第1讲　导数的概念及运算

第四章导数及其应用第1讲导数的概念及运算核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理f′(x0)y′|x=x0(x0,f(x0))y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)0αxα－1cosx－sinxaxlnaexf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)yu′·ux′y对uu对x重点考法突破考法1

导数的运算1.已知函数f(x)＝lnx＋x,g(x)是函数f(2x＋1)的导函数,则g(0)＝(

)A.1B.2 C.3 D.4(1)(2026·浙江杭州质检)曲线y＝3x在点(0,1)处的切线方程是__________________.xln3－y＋1＝0考法2求切线方程解析：由题设,得y′＝3xln3,则曲线在点(0,1)处切线的斜率k＝ln3,又切线过点(0,1),所以曲线y＝3x在点(0,1)处的切线方程是y－1＝ln3·(x－0),即xln3－y＋1＝0.4x－y＝0求曲线的切线方程的方法(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,解题步骤如下：提醒：“在点P处的切线”一定是以点P为切点；“过点P的切线”,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.1.(2026·广东湛江模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x,则曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(

)A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1C.y＝2x D.y＝3x解析：由f(x)＝ex＋2x,得f′(x)＝ex＋2,则f(0)＝1,f′(0)＝3,所以曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.2.(2022·新高考Ⅱ卷,14)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________,________.考法3根据导数的几何意义求参数(1)(2026·河北张家口模拟)已知曲线C：y＝(2a＋lnx)e－x在x＝1处的切线与y轴垂直,则实数a的值为_____.(2)(2025·新课标Ⅰ卷,12)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线,则a＝________.解析：对于y＝ex＋x＋a,其导数为y′＝ex＋1,因为直线y＝2x＋5是曲线的切线,直线的斜率为2,令y′＝ex＋1＝2,即ex＝1,解得x＝0,将x＝0代入切线方程y＝2x＋5,可得y＝2×0＋5＝5,所以切点坐标为(0,5),因为切点(0,5)在曲线y＝ex＋x＋a上,所以5＝e0＋0＋a,即5＝1＋a,解得a＝4.4处理与切线有关的参数问题的策略(1)依据：曲线、切线、切点的三个关系①切点处的导数是切线的斜率；②切点坐标满足切线方程；③切点坐标满足曲线方程.(2)方法：列出关于参数的方程(组)或不等式(组)并解出参数.提醒：注意曲线上点的横坐标的取值范围.1.(2025·安徽A10联盟模拟)已知直线y＝ax与曲线f(x)＝ln(x＋b)相切于点(0,f(0)),则a＋b的值为(

)A.1 B.2C.3 D.42.(2022·新高考Ⅰ卷,15)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是____________________.(－∞,－4)∪(0,＋∞)考法4两曲线的公切线问题(1)(2024·新课标Ⅰ卷,13)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线,则a＝________.ln2(2)(2025·江西抚州高三联考)与曲线f(x)＝ex－1和g(x)＝ex－1都相切的直线l的方程为________.x－y＝0

公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点的横坐标方程组,通过解方程组求解,或者分别求出两曲线的切线,利用两切线重合列方程组求解.2.(2026·云南昭通高三阶段练习)已知直线y＝x是曲线y＝logax和曲线y＝ax(a>0,且a≠1)的一条公切线,那么a的值为________.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★★考点导数的运算利用导数的几何意义求值由曲线在某点处切线的斜率求切点坐标求曲线在某点处的切线方程导数的概念在实际中的应用由曲线在某点处切线的斜率求参数由曲线在某点处的切线与坐标轴的交点求代数式的值由两曲线公切线的情况求参数题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点与曲线的切线相关的新定义问题由过某点处曲线的切线情况求参数判断曲线切线的斜率；判断过某点处曲线切线的条数由曲线的切线求参数求两曲线的公切线利用导数的几何意义求距离的最小值由曲线在某点处的切线情况求参数；由曲线的切线方程求参数由两曲线公切线的情况求参数及两曲线的公切线方程2.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(

)A.0 B.2C.－2 D.－17.(2026·广东清远二模)设曲线y＝e(n＋1)x(n∈N*)在点(1，en＋1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2026x1＋log2026x2＋log2026x3＋…＋log2026x2025的值为(

)A.－1 B.－log20262025C.log20262025－1 D.1二、多项选择题9.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(

)A.y＝cosx B.y＝lnxC.y＝ex D.y＝x210.过x轴上一点P(t，0)作曲线C：y＝(x＋3)ex的切线，若这样的切线不存在，则整数t的可能取值为(

)A.－4B.－5 C.－6 D.－711.已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是(

)A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1C.过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条D.过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条三、填空题12.(2026·安徽江南十校高三联考)若直线y＝x－1是曲线y＝xlnx＋a的切线，则实数a＝________.解析：设曲线y＝xlnx＋a在点(x0，y0)处的切线为y＝x－1，求导，得y′＝1＋lnx，所以y′|x＝x0＝1＋lnx0，所以1＋lnx0＝1，解得x0＝1，y0＝x0－1＝0，所以切点坐标为(1，0)，所以0＝1×ln1＋a，所以a＝0.013.(2026·福建莆田第一中学高三月考(二))写出与曲线y＝ex－1和y＝lnx＋