自动控制原理（第3版）课件 第5、6章 控制系统的频域分析、控制系统的校正设计

第5章控制系统的频域分析5.1引言5.2典型环节频率特性曲线的绘制5.3

系统开环频率特性5.4线性定常系统频率域稳定判据5.5相对稳定性–稳定裕度5.6闭环系统的频域响应时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。但用微分方程求解系统的时域指标较繁锁，特别是高阶系统的时域特性很难用解析法确定。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。线性定常系统对正弦输入信号激励下的稳态响应称为频率响应或频率特性，它是在一定范围内改变正弦输入信号的频率考查其产生的响应．频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。5.1引言频域法具有以下特点：频率特性测试仪和（或）MATLAB等仿真软件很容易完成比较精确的频率响应测试实验，这样系统及其元部件的频率特性可以运用解析法和实验近似方法获得，并可以用多种形式的工程曲线表示，因而系统分析和控制器的设计可以应用图解法进行．2)频率响应法还能够设计一种系统，使该系统不希望的噪声滤除，让有用的信号通过，即滤波器的分析与设计．3)频率特性物理意义明确．对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系，从频域响应的研究中，我们能够预测系统的时间性能指标．4)控制系统的频域设计可以兼顾暂态响应和噪声抑制两方面的要求．5)频域分析法不仅适用于线性定常系统，一定条件下还可以推广应用于某些非线性系统．5.1.1频率特性的基本概念与定义先考查图5.1所示的RC滤波网络为例，说明频率特性的基本概念．当输入

，输出uo

呈稳态时,记录

、

的曲线如图5.2所示RC网络的稳态输出信号仍为正弦信号，频率与输入信号的频率相同，只是幅值有所衰减，相位存在一定延迟RC网络的微分方程为：将上式取拉普拉斯变换，并代入初始条件得取反拉氏变换：暂态响应稳态响应分量趋于零去掉暂态后的部分又RC网络的传递函数为频率特性其中反映了RC网络在正弦信号作用下输出稳态分量的幅值M(ω)与输入信号幅值

A的比值随频率ω的变化，称RC网络的幅频特性。反映了稳态分量的输出与输入信号的相位差随频率的变化，称为相频特性。再考虑图5.3所示的线性定常系统，定义频率特性．图5-3线性定常系统

若在系统输入端作用一正弦信号，即

r(t)=Asinωt由上面RC电路分析知道，线性定常系统的稳态输出量

可以表示为一般形式：

其中一个稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下时，其输出量在稳态时也是一个与输入同频率的正弦信号，但一般来说，输出信号的振幅和相位是不同于输入信号的振幅和相位的频率函数，如图5.4所示．为此，有如下的频率特性函数的定义：定义5.1

单输入单输出线性定常系统的频率响应或频率特性是零初值下该系统对正弦输入信号的稳态输出量的复数向量或傅立叶变换像函数与输入正弦信号的复数向量或傅立叶变换像函数之比，表为频率特性

也是一个复数，也可以以

ω频率

作为参量，表示成幅值和相角的形式，即为幅频特性和相频特性，分别为：并且任何线性定常系统的频率特性都可以通过用jω代替系统传递函数中的

s得到.5.1.2频率特性的几何表示法在工程分析和设计中，通常把线性定常系统的频率特性用曲线表示，再运用图解法进行研究．通常的频率特性曲线有以下三种：1.幅相频率特性曲线又称极坐标图、奈奎斯特图、奈氏图、Nyquist图。系统频率特性可表示为用一向量表示某一频率下的向量的长度，向量极坐标角为，的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。极坐标图

把频率ω看成参变量，当ω从

变化时，将频率特性的幅频和相频特性同时表示在复数平面上．由于

关于实轴对称，所以一般只画ω从

的变化．对于RC网络，有于是，进一步得到：这表明该一阶RC网络的幅相曲线是以

为圆心，1/2为半径的圆，如图5.5所示．

2.对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又称伯德（bode)图，由于方便实用，被广泛地应用于控制系统的分析与设计．对数频率特性曲线的横坐标是按对数

分度，见表5.1所示，但横坐标轴上往往仍加注ω，以方便读取实际角频率值，单位为

．对数幅频特性曲线的纵坐标按下式表示：为线性分度，单位为分贝(dB)．对数相频特性曲线的纵坐标按φ(ω)

线性分度，单位为度(°)．由此构成坐标系称半对数坐标系．对数频率特性采用频率ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映系统频率特性的变化或线性系统在正弦信号作用下输出信号幅值在某个频率范围内的变化情况．另一方面，对数幅频特性采用对数运算

，则将幅值的乘除变为加减运算，可以简化对数频率特性曲线的绘制．这两个优点是幅相特性曲线很难做到的．例如，假设则有RC网络如取，其对数频率特性曲线如图5.7所示．3.对数幅相曲线对数幅相曲线，又称尼科尔斯图．其特点是纵坐标为幅值

，单位为分贝(dB)，横坐标为相角

，单位为度(°)，均是线性分度．对数幅相曲线是以频率ω为参变量．图5.8为RC网络

时的尼科尔斯图5.2

典型环节频率特性曲线的绘制

控制系统由若干典型环节组成，常见的典型环节有比例环节K，积分环节,惯性环节，比例微分环节1+τs，微分环节s，振荡环节，滞后环节等。

下面分别讨论典型环节的频率特性。1.比例环节比例环节的传递函数：

G(s)=K频率特性：幅频特性：相频特性：

对数幅频特性：

对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。如图5-16所示。图5-16比例环节频率特性

2.惯性环节惯性环节的传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：对数幅频特性：对数相频特性：极坐标图如图5-9所示。图5-9

惯性环节极坐标图

Bode图如图5-10所示。首先分析对数幅频特性曲线的大致形状。（1）当时，对数幅频特性可近似为

dB（2）当时，对数幅频特性可近似为

高频段：斜率为－20dB/dec惯性环节的相频特性为：画出惯性环节的bode图第5章控制系统的频域分析图5-10

惯性环节的Bode图

惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率，称为转折频率。两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即处。即：

误差曲线如图5-11所示。图5-11

惯性环节的误差曲线3.积分环节积分环节的传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：极坐标图如图所示。Bode图如图所示。

图5-12积分环节的极坐标图图5-13积分环节的Bode图4.微分环节纯微分环节的传递函数：G(s)=s

频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：极坐标图如图5-14所示。Bode图如图5-15所示。图5-14纯微分环节的极坐标图图5-15纯微分环节的Bode图

5.二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：对数幅频特性：极坐标图如图5-16所示。Bode图如图5-17(a)所示。

图5-16振荡环节极坐标图第5章控制系统的频域分析图5-17(a)二阶振荡环节的Bode图

用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来误差，常按的大小来修正渐近线。二阶振荡环节的误差修正曲线如图5-17(b)所示。

图5-17(b)二阶振荡环节的误差修正曲线6.时滞环节滞后环节的传递函数：式中:滞后时间频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：极坐标图为一单位圆，如图5-18所示。Bode图如图5-19所示。图5-19

滞后环节的Bode图图5-18的极坐标图7.非最小相位环节

最小相位系统是指传递函数的零极点都分布在s平面的左半部的环节．如果系统传递函数有右半复平面的零点时称为非最小相位系统．对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化是最小的．而非最小相位系统的相角范围总大于前者，所以非最小相位系统取名于此．对于最小相位系统，幅频和相频特性间存在着唯一的对应关系，反之亦然，只要知道其对数幅频特性，就可以画出相应的相频特性，也就可以写出系统的传递函数．但对于非最小相位系统，在幅频和相频特征间不存在这种唯一的对应关系．例5.1

已知两环节的频率特性分别为：试画出它们的折线近似波特图解由定义知

对应的系统为最小相位系统，

对应的系统为非最小相位系统，对应的对数幅频特性分别为；显然，两者幅频特性是相同的．而相频特性分别为显然，两者的相频特性是不同的，且当ω从

变化时，

的变化为：，

的变化为：

，

比

有更小的相位变化角．两环节的折线近似波特图如图5.18所示．例5.2已知两系统的开环传递函数分别为：试画出两系统的波特图．解两系统的开环频率特性分别为对数幅频特性分别为：显然，两者的幅频特性是相同的．而相频特性分别为：两者的相频特性是不同的，且当时，因而对于时滞系统，由于相角存在严重滞后，会影响系统的稳定性．5.3

系统开环频率特性可以利用开环频率特性分析和设计控制系统．根据系统开环频率特性的表达式可以概略绘制开环幅相曲线或奈奎斯特图．概略画出开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个关键部分：开环幅相曲线的起点()和终点()；2.开环幅相曲线与实轴的交点：令开环频率特性

的虚部为或相频特性由任一式子解出的频率ω称为相位穿越频率，而对应的开环频率特性与实轴交点坐标值为：3.开环幅相曲线的变化范围（指象限，单调性）．例5.3

已知某0型系统的开环传递函数为试概略绘制系统的开环幅相曲线．

解系统的开环频率特性为相频特性为开环幅相曲线的起点为终点为：令即系统的开环幅相曲线除在外与实轴无交点

当频率由

变化时，由系统开环频率特性函数中知道，该系统的幅相曲线的变化范围在第4和第3象限．系统概略开环幅相曲线如图5.20实线所示．若取K<0，此时系统的概略开环幅相曲线由

的曲线绕原点顺时针旋转

得到，如图5.20中虚线所示例5.4

已知某Ⅰ型系统的开环传递函数为：试绘制系统的开环幅相曲线．

解系统的开环频率特性为相频特性为开环幅相曲线的起点为：，终点为：当频率由变化时，由系统开频率特性函数中知道，该系统的幅相曲线在第3象限内变化．由开环频率特性的表达式知，的虚部不为零，故与实轴交点．系统概略和精确的开环幅相曲线如图5.21所示．例5.5已知某Ⅱ型系统的开环传递函数为：试画出该系统的幅相曲线．解系统的开环频率特性为开环相频特性为起点为：即低频段渐近线是一条平行于实轴的直线终点为在高频段的渐近线是一条平行于虚轴的直线由系统开环频率特性函数中知道，该系统的幅相曲线的变化范围在第2象限．由于频率特性表达式

的虚部不为零，故幅相曲线与实轴无交点．例5.6已知某系统的开环传递函数为：试画出该系统的开环幅相曲线．解该系统的开环频率特性为：相频特性为：开环幅相曲线的起点为终点为当频率由

变化时，由系统开环频率特性函数中知道，该系统的幅相曲线的变化范围在第2和第3象限．令

，得到幅相曲线与实轴的交点为：

例5.7

已知系统的开环传递函数为：试用MATLAB画出该系统的开环幅相曲线．

解MATLAB源程序为：num=[00

1];den=[10.8

1];nyquist(num,den)grid; title(’Nyquistplot’)运行上面的程序后，得系统的开环幅相曲线如图5.24所示．5.3.2

开环对数频率特性曲线开环对数频率特性曲线又称为波特图．考查一个

n阶γ型的单位反馈系统的开环频率函数（时间常数形式）为：开环系统可表示为若干典型环节的串联形式：其中为各典型环节则开环系统的幅频和相频特性为：对应的开环对数幅频特性为开环系统的对数幅频和相频特性分别为各典型环节对数幅频和相频特性的代数和．对于任意开环传递函数，将其分为三部分：1）γ为积分环节数或系统型数；2)一阶环节：包括惯性环节，一阶微分环节以及对应的非最小相位环节此时，交接(转折)频率为3)二阶环节：包括振荡环节，二阶微分环节以及对应的非最小相位环节．此时，交接频率为记

为系统开环传递函数的最小交接频率，称

的频率范围为低频段．开环折线近似对数频率特性曲线的绘制按以下几个步骤进行：将开环传递函数进行典型环节的分解．2)确定各典型环节的交接频率，并标注在半对数坐标图的ω

轴上．3)绘制低频渐近线：在

频段内，开环幅频渐近线的频率取决于

，因而低频段直线斜率为

．为获取低频渐近线，还需确定该直线上的一点，通常采用以下三种方法之一：4）作

ω≥ωmin

频段渐近线：系统开环对数幅频渐近特征曲线在该区段表现为分段折线，在每个交接频率处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的类型．另外，我们也可以由开环系统的折线近似波特图的绘制方法中总结出系统控制精度与对数幅频特性曲线之间的关系如下：(1)由波特图可以确定系统的稳态响应．系统的类型确定了低频时对数幅频特性曲线的斜率．系统的控制精度或稳态误差都可以由观察对数幅频特性曲线的低频区特性予以确定．(2)对于0型系统，低频渐近线是一条幅值为

分贝的水平线，位置误差系数

可由低频段的高度

计算得出．(3)对于I型系统，静态速度误差系数可由低频区斜率为-20dB/dec的起始线段（或其延长线）与

的直线的交点具有的幅值为

来计算；或由斜率为

-20dB/dec的起始线段（或其延长线）与0dB线交点的频率在数值上等于Kv

来计算．例5.10

已知某系统的开环传递函数为：试概略绘制系统开环对数频率特性曲线解该开环系统由比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节和振荡环节五个典型部分组成，各环节的交接频率分别为：惯性环节0.5、一阶微分环节2和振荡环节8，则最小交接频率=0.5过惯性环节的转折频率幅值减小过一阶微分环节的转折频率幅值增加过振荡环节的转折频率，幅值减小又因为系统的开环对数幅频特性可以写为在

低频段，有当

时，

，在此例中，，γ=1

，因此，低频段斜率为

，而为绘制低频段渐近线，也可令

解得

．将

处的频率称为幅值穿越频率

．系统概略的折线近似波特图如图5.28所示．几个关键点的计算：1）在转折频率处，幅值的计算，设为h,

如右图5.29所示=2）计算幅值穿越频率，如右图5.30所示把带入，求得例5.11已知某系统的开环传递函数为试用MATLAB画出其波特图解MATLAB源程序如下：num=[0025];den=[1425];bode(num,den)Title(‘bodeDiagram’)运行上面程序得系统的波特图如图5.31所示5.3.3传递函数的频域实验确定1.频率响应实验线性定常最小相位系统的传递函数数学模型可由频率响应实验得到，频率响应实验原理如图5.32所示．首先选择激励信号源正弦信号的幅值，以使系统处于非饱和状态．在一定频率范围内，改变输入正弦信号的频率，记录各频率点处被测系统稳态输出信号的波形．由稳态时的输出和输入信号的幅值比和相位差绘制对数频率特性曲线．2.确定传递函数从低频段起，将实验所得的对数幅频曲线用斜率

，

直线分段近似，获得对数幅频渐近特性曲线．由对数幅频渐近特性曲线可以确定最小相位系统的传递函数．例5.12

某个最小相位系统的对数幅频曲线和对数幅频渐近特性曲线如图5.33所示，试确定该系统的传递函数．解由图5.33知低频段渐近线斜率为

，所以系统含有一个微分环节．由图还可知，幅频特性曲线存在两个转折频率，分别为ω1和ω2

，其中，在ω1

处渐近线斜率开始变为：

说明对应一个惯性环节；在ω2

处，渐近线斜率改变为

说明对应一个振荡环节．为此，该系统应具有下述形式的传递函数数学模型：1ω1+20dB/dec-40dB/dec而在低频段，对数幅频特性为：这里用三角形法计算转折频率的值．如图5.34（a）所示有：同理，由b图得：图5.34

转折频率值计算示意图10012ω212下面计算振荡环节的阻尼比．由前面的知识我们可以得出典型二阶系统的传递函数为：在正弦稳态下，，式变为幅频特性为令最终可以得到谐振频率和振峰值分别为因为频率是实数，所以仅当ξ≤0.707时，才会有谐振频率

和谐振峰值

存在，如果阻尼比

，相当于谐振频率在

，并且在谐振频率

处，振荡环节的对数谐振峰值为：ξ≤0.707对本例，由频率响应曲线看出上式化简得到：解得：又因系统出现谐振情况时，所以选传递函数数学模型为：5.4

线性定常系统频率域稳定判据控制系统的稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特稳定判据（简称奈氏判据）和对数频率稳定判据是线性定常系统常用的两种频域稳定判据．频域稳定判据的特点是根据开环系统的频率特性曲线判定闭环控制系统的稳定性．Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理5.4.1

奈奎斯特稳定判据的数学基础设为复数变量，引入一单值有理函数其中，

为

的零点；

为的极点在s平面上任选一条闭合曲线Γ，且不通过

的任一零点和极点，s从闭合曲线Γ上任一点A起顺时针运动一周再回到A点，则相应地

平面上亦从点

起，到

点亦形成一条闭合曲线

，Ｆ(s)的相角为5.4.2奈奎斯特稳定判据考查图5.37所示的闭环控制系统．该系统的特征方程为其中，开环传递函数表示为(m≤n)于是，有由上式可知，

的零点

，即的根为闭环传递函数的极点，而

的极点

，即

的根为开环传递函数的极点

．要使系统稳定，则

的零点（即为闭环传递函数的极点或特征根）必须均在左半s平面．为检验

是否具有右半s平面的零点，这里，可选一包围整个右半s平面的顺时针闭合曲线Γs

，叫奈奎斯特路径．设此路径包围了

在右半s平面的所有零极点，如图所示．设

在右

半s平面的零极点数分别为

Z和

P，当s沿Γs顺时针旋转一周，则

的映射曲线ΓF将逆时针绕其原点

周，或顺时针绕其原点

周．系统稳定的充要条件是

在右半s平面无零点，即

综上所述，可得：当s沿Γs顺时针旋转一周，

的映射曲线

如果逆时针绕原点

周，则闭环系统是稳定的，反之不稳定．通常当

时称为开环系统稳定，这时如果

，即

不包围原点时闭环系统稳定．又由于所以

的映射曲线

包围原点的情况相当于开环传递函数

的映射曲线

包围

点的情况．两者的关系如图所示，于是我们得到下面由开环频率特性判断闭环系统稳定的奈奎斯特稳定判据:例5.13已知某负反馈系统的开环传递函数为：试判断闭环系统的稳定性．解

画出开环系统的奈奎斯特曲线如图5.39所示，由图可知

不包围又因为

，所以，闭环系统在右半s平面无极点，于是，我们知道该闭环控制系统是稳定的．上面讨论的是开环传递函数在虚轴上没有开环极点的情况，下面讨论开环传递函数在虚轴上有开环极点的情况．这时需要修改

的路径，使

绕开

的奇点

P．即，选取一小半圆，使其沿

为半径的小半圆绕过虚轴的开环极点，如图5.40所示．例5.14已知某负反馈系统的开环传递函数为试用奈奎斯特稳定判据分析闭环系统的稳定性．解由开环传递函数知，系统在原点有两个开环重极点．该系统的开环频率特性为=取系统在s平面的顺时针闭合曲线

如图5.41所示，其中，在s平面原点附近的小半圆可用

表示下面分三种情况讨论：1)（1）当频率ω从变化时,θ将从变化，此时，开环传递函数在

平面上的映射曲线为：（2）当ω沿虚轴从

变化时,由系统的开环频率特性知：此时奈奎斯特曲线位于第3象限．（3）当ω沿虚轴从

变化时,此时奈奎斯特曲线位于第2象限．（4）当时，在原点．综上所述，当时，该系统的概略奈奎斯特曲线如图5.42(a)所示．由图可知，又因为,所以,故该闭环控制系统是稳定的.2）当时，由系统的开环频率特性知奈奎斯特曲线位于第2象限当时奈奎斯特曲线位于第3象限；当变化时，θ将从变化，此时，开环传递函数在平面上的射曲线为：当时，系统的概略奈奎斯特曲线如图5.43(a)所示．由图可知，又因为,所以,故此时闭环系统是不稳定的，在右半s平面有两个特征根.3）当有因此当时，奈奎斯特曲线在负实轴上，经过

点，此时闭环系统处于临界稳定状态例5.15

已知某负反馈系统的开环传递函数为试用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性．解由于开环传递函数在虚轴上有两个极点：。为此，按照图5.45选择奈氏路径，其中两个小半圆的路径为：，则在s平面的闭合路径

在

平面上的映射可由下面计算得到：（1）当频率ω从变化时,θ将从变化，令则位于的小半圆在平面上的映射曲线为：=（2）当频率ω从变化时,θ将从变化，令则位于的小半圆在平面上的映射曲线为：=（3）计算的映射曲线．由于系统的开环频率特性为：当ω沿

变化时,由系统的开环频率特性知：此时奈奎斯特曲线位于第4象限．且当时当ω沿

变化时,由系统的开环频率特性知：此时奈奎斯特曲线位于第2象限．且当时（4）计算的映射曲线．由于系统的开环频率特性为：当ω沿

变化时,由系统的开环频率特性知：此时奈奎斯特曲线位于第3象限．且当时当ω沿

变化时,由系统的开环频率特性知：此时奈奎斯特曲线位于第1象限．综上所述，得该系统的奈奎斯特曲线如图5.46(a)所示，由图可知，闭合曲线顺时针围绕点两圈，即，又因为所以即闭环系统在右半s平面有两个特征值，故该闭环控制系统是不稳定的。系统的根轨迹曲线如图5.46(b)所示，由根轨迹也可知该闭环系统不稳定的．对应的MATLAB程序和奈奎斯特曲线如图5.46(c)所示．num=[1]den=conv([101],[11])GH=tf(num,den)nyquist(GH)axis([-55-55])gridon例5.16

已知某负反馈系统的开环传递函数为：试用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性．解因为该系统开环传递函数在原点和正实轴上各有一个极点，在s平面取奈奎斯特路径如图5.41所示．其中小半圆表示为：系统的开环频率特性为：当ω在

变化时,由系统的开环频率特性知：此时奈奎斯特曲线位于第2象限．当ω在

变化，且

变化，则有由此得到该系统的开环奈奎斯特曲线如图5.47(a)所示，由图可知，奈奎斯特曲线顺时针包围点一圈，所以又因为开环传递函在右半s平面有一个根，即表示为，所以因此，闭环系统在右半s平面有两个特征值，故该系统是不稳定的．进一步绘出该系统的根轨迹如图5.47(b)所示，由根轨迹图进一步可知，无论

K取何值，闭环系统的根均在右半s平面，所以闭环系统是不稳定的当取,时对开环传递函数

编写MATLAB程序，得到系统的奈奎斯特曲线如图5.47(c)所示．num=[1]den=[1-10]GH=tf(num,den)nyquist(GH)axis([-32-33])gridon5.4.3对数频率特性稳定判据1.穿越点的确定定义称此时的频率

ωc称为幅值穿越频率.而对于复平面的负实轴，相当于开环对数相频特性的-π线，当时称此时的频率

为相位穿越频率2.确定完整的相频特性曲线1）如果开环系统有积分环节()则复平面的开环幅相曲线需从的开环幅相曲线的对应点起，逆时针补作而半径为无穷大的虚圆弧．对应地，需从对数相频特性曲线ω较小或称低频段且

的点处向上补作的虚直线．这样，由的相频特性曲线和补作的虚直线构成完整的bode图相频特性曲线.2）如果开环系统存在等幅振荡环节（）时，相当开环系统在虚轴上有纯虚根，这时需从对数相频特性曲线点起向上补作的虚直线至处，相当于由的相频特性曲线和补作的虚直线构成完整的相频特性曲线．3）如果开环系统在虚轴上无极点时，

的对数相频特性曲线

可以看出是完整的相频特性曲线．3.穿越次数的计算定义

正穿越一次：开环幅相曲线由上向下穿越点左侧的负实轴一次等价于在时，对数相位特性曲线由下向上穿越线或-π一次，正穿越伴随着相角的增加．负穿越一次：开环幅相曲线由下向上穿越点左侧的负实轴一次等价于在时，对数相位特性曲线由上向下穿越线或-π一次负穿越伴随着相角减少．正穿越半次：开环幅相曲线由上向下止于或始于穿越点左侧的负实轴一次等价于在时，对数相位特性曲线由下向上止于或始于穿越线或-π一次负穿越半次：开环幅相曲线由下向上止于或始于穿越点左侧的负实轴一次等价于在时，对数相位特性曲线由上向下止于或始于穿越线或-π一次需要指出的是对数相频曲线补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越．开环频率幅相曲线和对数频率特性曲线及穿越点的对应关系如图5.48所示对数频率稳定判据

：

考查线性定常系统的稳定性，设

P为开环系统在右半s平面的极点数，闭环系统稳定的充要条件是：在bode图上

频段,相频特性穿越

线的次数应满足：或若开环系统稳定，即时，闭环系统是稳定的。，则例5-17系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。

解作出系统的开环极坐标图如图5-49(a)所示,辅助圆如图中虚线所示。系统的对数频率特性曲线（Bode图)如图5-49(b)所示，极坐标图中的辅助圆，幅值为无穷大，相角由对应于图5-49(b)中虚线。由图5-49可知，N+-N-=0-1=-1，开环系统稳定P=0，故闭环系统不稳定，闭环系统右极点个数Z=P-2N=2。且从图中可以看出，不论K如何变化，开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳定的，表明系统为结构不稳定系统。图5-49例5-17的开环频率特性例5.18

已知某开环系统型次为γ=3，并且除原点外所用的开环极点均在左半s平面，即

，开环对数相频特性曲线如图5.51所示，图中

时，

试分析该反馈系统的稳定性．解因为γ=3而，所以，需在低频处由向上补作

270°的虚线于180°，如图5.51所示，在频段，存在两个与线的交点，其中在处为一次负穿越，处为半次负穿越，所以次，而，按对数频率稳定判据，有故该闭环系统在右半s平面有三个极点，是一个不稳定的系统．5.5相对稳定性–稳定裕度

从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则

开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高

开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性

通过Nyquist曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量其定量表示为相角裕量γ(PM)和增益裕度h(GM)意义：为了表示系统相角变化对系统稳定性的影响，引入相角裕量的概念:1.相角裕度（PM）γ定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角，称为系统的相角裕度或相角裕量，表示为为开环系统的幅值穿越频率,可由求得2.增益裕度GM)h意义：增益裕度用于表示G(jω)H(jω)曲线在负实轴上相对于(-1,j0)点的靠近程度定义：G(jω)H(jω)曲线与负实轴交于G点时，G点的频率ωg称为相位穿越频率，此时ωg处的相角为-180°，幅值为|G(jωg)H(jωg)|，开环频率特性幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒数称为增益裕度h(或幅值裕度):在对数坐标下，增益裕度定义为：工程上，一般取(dB)相角裕量γ为增益穿越频率ωc处相角与-180°线之间的距离,

对于最小相位系统:当γ＞0时，闭环系统稳定

当γ＜0时，闭环系统不稳定

增益裕度（GM)和相角裕度(PM)通常作为设计和分析控制系统的频域指标.例5.19已知某系统的开环传递函数为1)试求系统处于临界稳定时比例增益值2)如果其中某一惯性环节的时间常数改为即有何变化解1)系统的开环频率特性为：于是，相位裕度为临界稳定时系统的开环幅相曲线如图5.54所示，此时令相位裕度有：利用三角公式得再令，则有解得：即当时，闭环系统处于临界稳定状态．2)如果相当于时间常数错开，则令相位裕度，于是有再令解得可以看出，当时，只要，就有相当于时间常数错开后，控制系统的稳定性范围扩大了，这就是工程中的错开原理．例5.20

已知某速度反馈系统如图5.55所示，试选择合适的微分系数τ

值，使得系统的相位裕度为解假设该系统的开环传递函数为：开环频率特性为：由系统的相位裕度得到因此，有再令经计算得到：于是，有-1jω如果假设该系统的开环传递函数为：……结果如何？例5.21

某多环控制系统如图5.56所示，试用奈氏判据判断系统的稳定性解系统的开环传递函数为：1）判断内环的稳定性内环的开环传递函数为：易得内环的开环幅相曲线如图5.57所示，由图可知，又因为，所以于是知道该系统内环不存在右半s平面的闭环极点，故内环是稳定的2)判断整个系统的稳定性由系统的开环传递函数可知，当时,当时,画出系统的开环幅相曲线如图5.58所示由图可知，当时，而所以故该闭环系统不稳定当闭环系统稳定因此，要使闭环系统稳定，需满足例5.22某个负反馈时滞系统的开环传递函数为试求该闭环系统稳定时，时滞时间τ的取值范围．解设该系统的相频特性在相位穿越频率处的值为再令解得，时滞系统的开环幅相曲线如图5.59所示．因为在临界状态时要使系统稳定，必须使其中，为第一次穿过负实轴时的频率，为此有当系统处于临界稳定状态时有故只有当时滞时间τ满足该闭环系统才是稳定的，说明时滞越大对系统稳定性越不利．例5.23

如图5.60所示为一个宇宙飞船控制系统方框图，为使系统的相位裕度γ=50°试确定

K及系统的增益裕度h解该系统的开环频率特性为：相频特性为系统的开环对数频率特性如图5.61所示．因为相位裕度所以解得，当时，有因为

永远不会与

线相交，所以增益裕度

．5.6

闭环系统的频域响应频率特性为：其中，幅频特性为相频特性为闭环频率特性曲线通常如图5.62所示，一般呈现的是低通滤波特性．由于在控制系统中除了有常规的参考输入信号外，常伴随着多种确定性扰动和随机噪声，因而闭环系统的频域性能指标应该要反映控制系统跟踪控制输入信号和抑制干扰信号的能力．5.6.1

闭环系统的频域性能指标1.谐振峰值谐振峰值指

幅频特性曲线

的最大值．它反映闭环系统的相对稳定性．一个大的

对应系统时域响应的一个大的超调量．一般实际系统的

设计在1.1和1.5之间．2.谐振频率谐振频率

是出现谐振峰值

时的频率．3.带宽BW带宽BW是幅频特性

从零频率处的值下降到它的70.7%（或

）或对数幅频曲线下降3dB时的频率．它反映系统的时域暂态响应特性．大的带宽值对应着更快的上升时间，此时更高频率的信号更容易通过．相反的，如果带宽值较小，仅能通过相对窄的信号，系统的时间响应将变得很慢．带宽也表明了系统的噪声过滤特性和鲁棒性．鲁棒性代表着系统对参数变化的敏感程度．一个鲁棒的控制系统对系统参数的变化应不敏感．设

为系统闭环频率特性，定义当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值3dB以下

时，对应的频率范围称为带宽BW，或记为带宽频率

．即，当

时，有dB而频率范围段称为系统带宽BW，如图5.62所示，对于的系统，时，有dBdB带宽定义表明，对于高于截止频率的输入信号，系统输出将呈现较大的衰减．闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但保持频率低于截止频率的信号分量，这称为低通特性．带宽的选择受以下因素的制约：1）输入信号的再现能力．大的带宽可以提高系统输出信号跟踪输入信号的能力，减小上升时间

，使系统反应速度加快，即带宽与响应速度成正比．2）但从抑制噪声的观点看，系统的带宽不应太大．故在设计控制系统时带宽需要从快速性和降噪两方面进行折衷考虑．例如，已知系统I的传递函数和系统Ⅱ的传递函数画出两个系统的幅频曲线如图5.63(a)所示，由图可知，系统I的带宽比系统Ⅱ的带宽大，两个系统的阶跃响应和速度响应曲线分别如图5.63(b)、5.63(c)所示，由图可知，系统I的反应速度比系统Ⅱ快，即带宽越大，反应速度越快，但抑制噪声能力越差．首先考查一阶系统．设一阶系统闭环传递函数为：因为，按带宽定义有：可求得一阶系统的带宽BW或带宽频率再考察典型二阶系统，设闭环传递函数为：系统幅频特性为：令于是得到谐振频率为：如果阻尼比，则谐振频率并且得到对应的谐振峰值为又因为，由带宽定义求得典型二阶系统的带宽频率为

BW或5.6.3

确定闭环频率特性的图解法­­–Nichols图开环传递函数G(s)，系统的闭环传递函数

系统的闭环频率特性

下面求闭环等幅值和等相角轨迹，即等M圆和等N圆．由极坐标图或奈奎斯特图确定闭环频率响应时，利用这些轨迹是很方便的．1等M圆（等幅值轨迹）

定义设开环频率特性

G(jω)为

G(jω)=u(ω)+jv(ω)=x+jy

令闭环幅值M=|M(jω)|

，则

整理得：(1-M2)x2+(1-M2)y2-2M2x=M2

当M=1时，由上式可求得x=-1/2，这是通过点（-1/2，j0）且与虚轴平行的一条直线

当M≠1时，由上式可化为对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式，圆心在处，半径。所以在”G(jω)”平面上，等M轨迹是一簇圆，见下图等M圆

分析当M>1时，随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小，最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧当M<1时，随着M值的减小，M圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧当M=1时，它是通过（-1/2，0j）点平行于虚轴的一条直线。等M圆既对称于M=1的直线，又对称于实轴2等N圆（等相角轨迹，等α曲线）

定义：闭环频率特性的相角φm(α

)为：令整理得：

当给定N值(等N值)时，上式为圆的方程，圆心在处，半径为,称为等N圆，见下图等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加±180°时，其正切相同，因而在同一个圆上所有等N圆均通过原点和（-1,j0）点对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧第5章控制系统的频域分析等N圆（等α曲线）3.尼科尔斯图Nichols

使用极坐标下的

的奈奎斯特图的主要缺点是当有如开环增益变化时，曲线不再保持它的最初形状，如采用对数幅值-相位图比较方便，开环增益改变时，整个

曲线仅仅上下垂直移动，没有一点扭曲．由于这一原因，将极坐标下的等

M和等α曲线，以及开环频率特性画在对数幅值-相位坐标下的曲线称为尼科尔斯图．尼科尔斯图法是获得闭环频率特性和频域指标的一种常用方法．

尼氏图又称为对数幅相图，对数幅相图采用直角坐标系，其中取幅频特性的对数为纵坐标，单位为分贝（dB），线性分度.取相频特性做横坐标单位为度（°），线性分度，对数幅相图是以频率为参变量的。例5.24

已知某一单位反馈系统的开环频率特性为试确定增益

K，使得闭环谐振峰值

解因为比例增益

K的变化不影响对数相频特性，移动．当幅频曲线向上移，当幅频曲线向下移．为使轨迹与所需的闭环谐振峰值轨迹相切的频率特性须升高4dB．如图5.68所示这样，，解得：在垂直方向仅使对数幅频特性曲线时，时，5.6.4

频域指标和时域指标的转换1.系统闭环和开环频域指标的关系

系统开环频域指标截止频率

与闭环指标带宽频率

有密切的关系．

大的系统，

也大；

小的系统，

也小．因此

可用来衡量系统的响应速度．因为闭环谐振峰值

和开环相位裕量γ均能表现稳定程度，故首先建立

和γ的近似关系：设系统的开环相频特性表示为：因此，开环频率特性可以表示为：于是有闭环幅频特性为即有可知，当时，为极值，此时谐振峰值为：由于所以在闭环系统的谐振频率处而显然因此随着γ的减小，减小，而当时，由此可见，γ较小时上式的近似程度较高．在控制系统设计中，通常先根据闭环频域指标

和

要求由式（5.71）确定开环系统的相位裕量γ和选择合适的幅值穿越频率

，然后根据γ和

选择校正网络的结构及对应的参数．2.开环频域指标与时域指标的关系

开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加以分析，下面介绍“三频段”的概念低频段1)低频段通常指的渐近线在第一个转折频率以前的频段，这一段特性完全由积分环节和开环放大倍数决定2)低频段对数幅频特性

3)低频段的斜率愈小，位置愈高，对应系统积分环节的数目愈多（系统型号愈高）、开环放大倍数K愈大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差愈小，动态响应的跟踪精度愈高

中频段中频段是指开环对数幅频特性曲线在开环截止频率ωc附近（0分贝附近）的区段，这段特性集中反映闭环系统动态响应的平稳性和快速性.1)时域响应的动态特性主要取决于中频段的形状反映中频段形状的三个参数为：开环截止频率ωc、中频段的斜率、中频段的宽度。2)为了使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望开环对数幅频特性幅值穿越斜率为-20dB/dec的线段上，且中频段要有足够的宽度；或位于开环对数幅频特性斜率为–40dB/dec的线段上，且中频段较窄

高频段高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频段，高频段的形状主要影响时域响应的起始段系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频部分的幅值愈低，系统的抗干扰能力愈强

总结为了使系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率；中频段的斜率最好为–20dB/dec，且具有足够的宽度；高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰例5.25

已知单位反馈系统如图5.70所示，试用系统的开环频率特性估计闭环系统的时域指标．解系统开环频率特性为用MATLAB中的Margin命令计算开环系统的频域特性曲线，从中可得，由的MATLAB程序或曲线图5.69查得于是，有若直接按时域计算方法，可得闭环系统的传递函数为：其中，为此，有所得结果与用频域计算结果基本一致．对于高阶系统，开环频域指标和时域指标不存在精确的解析关系式．前人已通过大量对系统的

和

研究，并借助于式归纳为下面两个近似估算公式：或其中综上所述，一阶和二阶系统的时域性能指标和频域指标有一一对应的解析关系，而高阶系统的时域性能指标和频域指标有近似的解析关系．第6章控制系统的校正设计6.1引言6.2控制器的基本控制规律6.3常用校正装置及特征6.4根轨迹在控制系统校正设计中的应用6.5伯德图频域法在控制系统校正中的应用6.6工业过程控制中PID调节器参数的工程整定6.7复合校正控制系统设计6.8实用PID控制器结构与鲁棒控制问题6.9MATLAB在控制系统设计中的应用6.1引言所谓校正，就是在原被控过程中加入适当的控制器或校正环节，使系统整个特性发生变化，从而满足期望的各项性能指标.校正的实质表现为修改描述系统运动规律的数学模型。经典控制理论设计校正装置的过程是一个多次试探的过程并带有许多经验，计算机辅助设计为系统校正装置的设计提供了有效手段6.1.1控制系统的分析与设计问题1.系统分析

评价控制系统优劣的性能指标，一般是根据系统在典型输入下输出响应的某些特征点确定的2.系统设计控制系统设计指的是根据生产工艺需要的性能指标及被控过程模型，确定控制器的结构和参数的过程.

通常校正装置不惟一.确定校正方案时应按技术、经济和可靠性等诸多方面综合考虑，图6.2表示了一个控制系统的设计流程.

6.1.2不同校正方法的性能指标

性能指标（performancespecification）第6章控制系统的设计和校正综合性能指标(误差积分准则):（1）误差积分(IE)（2）误差绝对值积分(IAE)第6章控制系统的设计和校正（3）平方误差积分(ISE)（5）时间乘绝对误差积分(ITAE)（4）时间乘平方误差积分(ITSE)6.1.3基本校正方式控制系统校正方式（Compensationways）可分为串联校正，反馈校正，前馈校正，复合校正四种.1.串联校正(Cascade(series)compensation)：图6.32.反馈校正（Feedbackcompensation）：在基本串联校正的基础上，由被控量引出的一个局部反馈校正环节，如图6.4所示，例如前面介绍的速度反馈控制系统.相对串联校正而言，局部反馈校正控制精度高，超调量小，响应速度快，但是它需要增加测量变送装置，这增加了系统的相对复杂度.图6.43.前馈校正又称为顺馈校正（Forwardcompensation），是在控制系统中按照扰动补偿和输入或给定补偿的一种开环控制，一般不单独使用.4.复合校正（Feed-forwardcompensation），通常为了提高控制系统的抗干扰性和（或）跟随性将前馈校正与串联反馈校正结合构成复合校正，按扰动补偿的复合控制，按输入或给定值补偿的复合控制.复合校正能较好的解决稳定性和准确性之间的矛盾，属于全补偿，控制精度高，但有时候存在物理实现困难的问题，为什么？如下图令实现了系统输出完全跟随参考输入的情况，但由于补偿器是被控过程数学模型的倒数，因此的分子的阶数有可能高于分母物理实现困难.6.2控制（校正）器的基本控制规律6.2.1比例（Ｐ）控制规律P控制器控制器的比例增益实际上是一个增益可调的放大器由图知传递函数为：首先，考查图6.6（a）所示的具有比例控制器的二阶系统闭环传递函数为：显然进一步考察如图6.6（b）所示的具有比例控制器的一阶系统闭环控制系统的传递函数结论：控制器比例增益系统响应加快，稳态误差减小，但有可能使系统的稳定性变差，反之，如果控制器比例增益减小，尽管能提高控制系统的稳定性，但控制系统响应变慢，控制精度变差，为此，系统稳定性和控制精度之间是有矛盾的.6.2.2

积分（Ｉ）控制规律积分Ｉ控制器(IntegralControl)其输出信号与输入信号的积分成正比，即积分控制器的传递函数为：积分控制的优点是靠积分作用，使系统在静态时参考输入量与被控输出量相等，此时控制量保持不变，稳态误差，提高了控制精度积分Ｉ控制器的不足之一是纯积分环节可能导致控制系统不稳定.积分Ｉ控制器的不足之二是积分作用会使系统响应迟缓.由于加入Ｉ控制后，闭环系统的特征方程为造成特征方程缺项，由劳斯稳定判据知道该闭环控制系统是不稳定的.如果不加积分环节，此时相当于控制器为的比例控制，则闭环传递函数为该一阶系统纯比例控制的调节时间为：如果加入纯积分控制器后，则闭环传递函数为如选择合适积分时间

Ti，使典型二阶系统的阻尼比

，即系统为欠阻尼衰减振荡，则按5%误差带准则得调节时间为：≥如果积分时间选得比较大

如果积分时间

Ti选得比较大，相当于过阻尼

情况，如使

Ti

≥

，则典型二阶系统的闭环极点为两个不等的负实根：

由主导极点的概念，当6.2.3

比例－积分（PI）控制规律具有比例­–积分控制规律的控制器称为PI控制器（ProportionalIntegral）控制器输出信号同时成比例地反映输入信号及其积分，PI控制器的输入与输出之间关系为PI控制器的传递函数为比例-积分控制器相当增加了一个位于原点的开环极点，同时还增加了一个开环零点.由于其相频特性为为此，PI控制器属于相位滞后校正.该闭环系统的传递函数为定义：校正装置输出信号在相位上落后于输入信号，即校正装置具有负的相角特性，这种校正装置称为滞后校正装置，简称称为滞后校正。6.2.4比例－微分（PD）控制规律具有比例–微分控制规律的控制器，称为PD控制器（ProportionalDerivative），传递函数形式为相频特性为定义：校正装置输出信号在相位上超前于输入信号，即校正装置具有正的相角特性，这种校正装置称为超前校正装置，简称超前校正。

属于相位超前校正.第6章控制系统的设计和校正图6-6具有PD控制器的系统原系统的开环传递函数：串入PD控制器后系统的开环传递函数：第6章控制系统的设计和校正图6-7微分作用的波形图第6章控制系统的设计和校正

微分控制使得系统的超调量和响应时间减小，仅有比例控制时系统阶跃响应有相当大的超调量和较强烈的振荡。

微分控制具有预测作用。但微分控制有放大噪声信号的缺点。6.2.5比例－积分－微分（PID）控制规律具有比例–积分–微分控制规律的控制器称为PID控制器（ProportionalIntegralDerivative）.从前面的讨论知道，PD控制器可增加系统的阻尼，改善系统的动态品质，但不改变稳态响应，PI控制器能同时改变系统的相对稳定性和稳态误差，但增加了响应时间，将它们组合就是利用PI和PD控制器各自的优点组成PID结构，PID控制器的输入与输出之间的关系为PID控制器的传递函数为通常也表示成：PID控制器为滞后超前校正.它既能提高系统的控制精度，又能改善系统的动态特性.通常取：工程上一般取设计时通常使积分部分PI发生在系统频率特性的低频段，以提高系统类型数，改善系统的稳态性能；使微分部分PD发生在系统频率特性的中频段，增大截止频率和相位裕度，改善系统的相对稳定性和动态性能.第6章控制系统的设计和校正PID控制具有以下优点：(1)原理简单，使用方便；(2)适应性强,按PID控制规律进行工作的控制器早已商品化；(3)鲁棒性（Robustness）强，即其控制品质对被控制对象特性的变化不大敏感。6.2.6局部速度反馈控制规律在定位控制系统中，速度反馈常常被用来提高闭环系统的相对稳定性或增大系统阻尼减小系统的超调量该系统的闭环传递函数为等效的阻尼比与串联PD控制比较，局部速度反馈控制不形成闭环零点.与不加速度反馈的情况相比，加入速度反馈能增大系统的阻尼，减小系统的超调量和调节时间，这一点同串联PD控制器一样，速度反馈能改善系统的动态性能.速度反馈系统的等效开环传递函数为系统的等效开环增益为K0是未加速度反馈时系统的开环增益由此可知，加入速度反馈后，降低了系统的开环增益，使斜坡输入下的稳态误差增大，这一点可通过再引入串联比例控制器来补偿该控制精度的降低.速度反馈与PD控制有许多相似的特点，它们之间的比较如下：1)两者的阻尼比ξ均增大，超调量

及调节时间

均减小，而固有振荡频率

均保持不变.2)由于串联PD控制的微分作用对噪声有放大作用，所以在噪声严重的场合，一般不宜选用串联PD控制.3)速度反馈降低了静态速度误差系数kv

，增大了斜坡输入下的稳态误差

ess，而串联PD控制Kp=1,Td≠0由于开环增益未有改变，因此稳态误差ess保持不变.4)通常系统在串联PD控制下，上升时间tr小，系统反应较快，而在相同的阻尼比ξ的条件下，通常串联PD控制的超调量大于速度反馈控制的超调量.6.3常用校正装置及特性

校正装置可用电子电气、机械、气动、液压装置或计算机数值算法实现，究竟采用何种校正装置和类型，取决于实际系统结构和特点.有时我们把自动控制系统中的控制器设计可作是滤波器设计问题；从频率特性分析一章中我们不难看出PD控制器相当于高通滤波器；PI控制器相当于低通滤波器；根据参数情况，PID控制器可以看成带阻滤波器或带通滤波器.高通滤波器因为给控制系统引入了正相位，所以称为相位超前校正，反之，低通滤波器为相位滞后校正.通常工业应用的PID控制器设计成带阻滤波器，这种滤波和相位移动的思想在频域设计中是非常有用的.6.3.1无源校正电路1.无源超前网络（PD校正）第6章控制系统的设计和校正

图6-11所示为RC网络构成的超前校正装置，该装置的传递函数为令则

第6章控制系统的设计和校正

校正装置的零点，极点均位于负实轴上，如图6-17所示。其中零点总位于极点的右边，零、极点之间的距离由

值确定。图6-17超前校正的零、极点分布第6章控制系统的设计和校正

另外从校正装置的表达式来看，采用无源相位超前校正装置时，系统的开环增益要下降

倍，为了补偿超前网络带来的幅值衰减，通常在采用无源RC超前校正装置的同时串入一个放大倍数Kc=

的放大器。超前校正网络加放大器后，校正装置的传递函数其频率特性第6章控制系统的设计和校正

作出超前校正网络的频率特性曲线如图6-18所示，相频曲线具有正相角，即网络的稳态输出在相位上超前于输入，故称为超前校正网络。超前网络产生的超前相角为其最大超前相角又可写成如下形式第6章控制系统的设计和校正图6－18超前网络的Bode图第6章控制系统的设计和校正

从图6—18可知：当ω→0时Lc(ω)→0；当ω→∞时Lc(ω)→+20lga；而当 时，超前校正装置是一个高通滤波器。2.无源滞后网络（PI校正）其传递函数其中其对数频率特性曲线如图6-21所示，相频曲线具有负相角，这表明，网络在正弦信号作用下的稳态输出在相位上滞后于输入，故称为滞后网络滞后网络的零极点分布如图6.20所示.该网络的相位频率特性为：3滞后-超前校正装置图6-22RC滞后－超前网络第6章控制系统的设计和校正

图6-22所示为RC滞后-超前校正网络。其传递函数为令且设分母多项式分解为两个一次式，时间常数取为T1

、T2，则上式可写成第6章控制系统的设计和校正假设，那么，式中前一部分为滞后校正，后一部分为超前校正，其零、极点分布如图6-23所示。

图6-23滞后－超前校正装置的零、极点分布图

第6章控制系统的设计和校正频率特性网络的对数频率特性曲线如图6-24所示。可以看出，曲线低频段具有负相角，起滞后校正作用，高频段具有正相角，起超前校正作用。故称滞后—超前校正装置。

第6章控制系统的设计和校正图6-24滞后－超前校正装置的Bode图6.3.2有源校正电路控制器如果采用无源网络进行串联校正，由于负载效应问题，有时难以得到期望的性能指标，这时可以采用由运算放大器电路构成的有源校正装置.1.有源超前网络（PD控制器）其中：2.有源滞后网络（PI控制器）其中：3.有源滞后－超前网络（PID控制器）该校正网络的折线近似波特图如图6.27所示，从频率特性看出，该控制器相当于相位滞后超前校正.