自动控制理论及应用 课件 第二章 连续控制系统的数学模型

第2章连续控制系统的数学模型《现代控制工程》

2.1控制系统数学模型基本概念1

2.2控制系统的微分方程2

2.3控制系统的传递函数3

2.4控制系统的状态空间模型4

2.5各种数学模型之间的关系52第2章

连续控制系统的数学模型2.1控制系统数学模型基本概念3一.数学模型的定义与主要类型二.建立数学模型的方法4

根据系统运动过程中的物理、化学等规律，对系统的输入、输出以及内部各变量之间的关系进行描述的数学表达式称为数学模型。1静态数学模型与动态数学模型

静态数学模型以代数方程、静态关系表等表示，描述了系统的输入、输出之间的稳态关系。其变量与时间无关。

动态数学模型以微分方程、差分方程、传递函数、状态方程等表示，其中的变量会随时间动态变化。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。一.数学模型的定义与主要类型2连续时间模型与离散时间模型

根据系统的数学模型中是否存在离散信号，将其划分为连续时间模型和离散时间模型。连续模型一般有微分方程、传递函数、状态方程等形式表示。离散模型一般有差分方程、z传递函数、离散状态方程等形式表示。53输入输出模型与状态空间模型

对系统输入、输出之间外部关系进行描述的数学模型叫做输入输出模型，或称为外部描述模型。比如微分方程、传递函数﹑频率特性等数学模型都是输入输出模型。对系统输入、输出和系统内部状态之间的关系进行描述的数学模型叫做状态空间模型，又称为内部描述模型。一.数学模型的定义与主要类型4参数模型与非参数模型

需要用数学表达式表示的数学模型是参数模型，比如传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。6二.建立数学模型的方法机理分析建模方法（解析法）：根据系统遵循的物理、化学等定律，通过分析系统的静态关系和动态机理，推导出系统的数学模型。故相应的数学模型也称为机理模型。特点：模型展示了系统内在的关系与结构，对系统特性的描述比较准确。缺点：当系统的结构比较复杂、难以分析其运动机理时，建模难度大；机理分析建模时往往会做简化和假设，故模型与实际系统之间存在建模误差。实验建模方法（系统辨识法）：人为地给系统施加某种输入测试信号，记录系统的输出响应，然后根据实验结果选择合适的数学表达式近似表达系统的数学模型。特点：被控对象必须已经存在，并且能够进行实验；只能反映系统输入输出的外部特性，不能反映系统的内在关系。缺点：系统的本质不能得到。2.2控制系统的微分方程7描述系统输出量及其各阶导数和系统输入量及其各阶导数之间的关系，称为系统微分方程。微分方程对于线性与非线性系统、定常与时变系统都适用。利用解析法建立系统的微分方程的一般过程如下：（1）确定系统和各环节的输入、输出变量。（2）从系统的输入端开始，按照信号传递顺序，依次列写各环节的变量之间的微分方程。（3）根据联合微分方程组，消去中间变量，得到只有关系统的输入输出变量的微分方程。（4）将输出变量及其各阶导数移到等式的左边，输入变量及其各阶导数移到等式的右边，两端都按照降阶来排列，最后将各项系数化成反映系统动态特性的参数（如时间参数）。82.2控制系统的微分方程图2-1

RC无源网络【例2-1】如图2-1所示为RC无源网络，其中为R电阻，C为电容。试写出RC无源网络的微分方程，其中ur(t)为输入，

uc(t)为输出。解：设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫定律可得以下方程组消去中间变量

i(t)，有令T=RC，则其中：T为RC无源网络的时间常数，单位为秒(s)92.2控制系统的微分方程【例2-2】图2-2表示弹簧-质量-阻尼器系统。其中F(t)为外作用力，m为物体M的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数，y(t)为物体的位移，试建立以外力F(t)为输入（不考虑重力），物体M的位移y(t)为输出的微分方程。图2-2弹簧-质量-阻尼器系统解：由系统的组成可知，在外力F(t)的作用下，弹簧有弹性阻力Fk(t)

，阻尼器有粘性摩擦阻力Ff(t)。由牛顿第二定律可知设弹簧和阻尼器是弹性的，其满足胡克定律即合并整理得102.2控制系统的微分方程【例2-3】如图2-3所示为机械转动系统，其中Mf

(t)为输入转矩，J为物体的转动惯量，f为摩擦系数，ω(t)为角速度，

θ(t)为转角。求输入转矩Mf

(t)与角速度ω(t)、输入转矩Mf

(t)与转角θ(t)的微分方程。图2-3机械转动系统解：根据牛顿第二定律注：对于同一个系统，选取不同的输出变量，则建立的数学模型的表达方式不一样。同样的，若系统的输入变量是不同的物理变量，那么建立的数学模型的表达方式也不一样。112.2控制系统的微分方程【例2-4】如图2-4所示为流体运动过程，其中流入量为Qi

，流出量为Qo

。通过扭动控制阀和节流阀，可以对流量进行控制。试建立该过程中，水箱的液位高度H与流入量Qi之间的微分方程。图2-4流体运动过程解：分析水箱的工作状态可知，若流入量Qi和流出量Qo不相等时，则会引起水箱的高度H（水箱的横截面积为S）发生变化由流量公式可得其中：α为节流阀的流量系数。当液位高度H变化不大时，可近似认为α只与节流阀开度有关。设节流阀的开度保持一定，则α为一常数。消去中间变量，可得非线性微分方程12描述控制系统输入输出关系的n阶线性系统的微分方程式为2.2控制系统的微分方程其中：y(t)是系统的输出量；r(t)是系统的输入量；ai(i=0,1,2,

…,n)和bi(i

=0,1,2,…,m)是与系统结构有关的系数。

如果微分方程式中的系数ai，bi中至少有一个是时间

t的函数系统，则控制系统是线性时变系统。如果微分方程式中的系数ai，bi全是定常数，则控制系统为线性定常系统，或者称为线性时不变系统。2.3控制系统的传递函数13一.拉普拉斯变换二.传递函数的定义以及表达式三.典型环节的传递函数四.系统方块图五.信号流图与梅逊公式一.拉普拉斯变换14通过拉氏变换还可将微分方程化为以s为变量的代数方程。若

则f(t)的n阶导数的拉氏变换的一般表达式为：拉普拉斯变换（拉氏变换）是控制系统中最常用的一种数学方法，能把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。

其实现公式为一.拉普拉斯变换15拉氏变换的性质线性性质微分性质积分性质位移性质延迟性质初值定理终值定理一.拉普拉斯变换16典型函数的拉氏变换单位阶跃函数单位脉冲函数单位斜坡函数单位加速度函数正弦函数指数函数一.拉普拉斯变换17例2-1：求微分方程的解解：对上式进行拉氏变换可得由此可得再对进行逆拉氏变换，可得二.传递函数的定义以及表达式18

传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。微分方程与传递函数转变关系：两边拉氏变换注：传递函数取决于系统或元件的结构或参数，与输入量的形式无关，不反映有关系统物理结构的任何信息。其中：y(t)是系统的输出量；r(t)是系统的输入量；ai(i=0,1,2,…,n)和bi(i

=0,1,2,…,m)是与系统结构与参数有关的常系数，一般n≥m二.传递函数的定义以及表达式19传递函数是通过对微分方程模型进行拉普拉斯变换得到的。利用机理分析建模方法对系统的传递函数的建立的一般过程如下：根据系统的组成和工作原理，确定系统和各环节的输入、输出变量。列写各环节的微分方程组（可以在不影响系统分析准确性的前提下适当简化）。在零初始条件下对上述的微分方程进行拉普拉斯变换，得到环节在s域的拉普拉斯变换方程组。根据列出的拉普拉斯变换方程组，消去中间变量，得到只有关系统的输入输出变量之间关系的s域代数方程。根据传递函数的定义，由输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换相比，就得到系统的传递函数。20【例2-5】试求解例2-1RC无源网络的传递函数。解：根据例2-1，RC无源网络的微分方程表示为其中：T为RC无源网络的时间常数，单位为秒。在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，可得s域的代数方程为由传递函数定义，

RC无源网络传递函数为图2-1

RC无源网络二.传递函数的定义以及表达式二.传递函数的定义以及表达式21传递函数三种比较常用的形式1有理分式形式传递函数的分母多项式D(s)称为系统的特征多项式，D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。分母多项式D(s)的阶次n定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)，N(s)的所有系数为实数，且分子多项式N(s)的阶次m小于或等于分母多项式D(s)的阶次n，即m

n。故传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数。二.传递函数的定义以及表达式222零极点形式将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，再在复数范围内因式分解，可得其中：zi(i

=1,2,…,m)为系统的零点；pi(i

=1,2,…,n)为系统的极点；k为系统的根轨迹放大系数。系统的零极点的分布决定了系统的特性。因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“×”表示极点，用“○”表示零点。二.传递函数的定义以及表达式233时间常数形式将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，再在实数范围内因式分解，可得K为传递系数，也称为系统的放大系数；τ，T为系统的时间常数；v为积分环节数；ζ为阻尼比。三.典型环节的传递函数

241比例环节比例环节是控制系统中最基本常见的一类典型环节，其动态方程为其中：y(t)是比例环节的输出信号；r(t)是比例环节的输入信号；K称为放大系数或增益，是一个常数。那么比例环节的传递函数为从比例环节的数学模型可以看到，它的输出是以K倍幅值对输入信号进行无延迟、无失真的复现。图2-6比例环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应从动态特性来看，自动控制系统、被控对象和控制装置都可看成是由下列几种典型环节按不同的连接方式组合而成的。三.典型环节的传递函数

【例2-4】试求图2-7电位器系统的传递函数。解：图2-7的系统是一个调整电压的电位器系统。由电路原理可知输入电压的大小r(t)和输出电压的大小y(t)呈正比的关系，即则电位器系统的传递函数为其中：参数图2-7例2-6的电位器系统三.典型环节的传递函数

262积分环节当输出信号与输入信号的积分成正比时，称其为积分环节。积分环节的动态方程为其中：y(t)是积分环节的输出信号；r(t)是积分环节的输入信号；T称为积分时间常数；K称为积分系数或积分速度。那么积分环节的传递函数为图2-8积分环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应如果输入信号为阶跃信号，那积分信号的阶跃响应为如图2-8所示，积分环节具有饱和的特点，线性变化的阶跃响应及其记忆特性都是饱和前的特性。三.典型环节的传递函数

273微分环节当输出信号与输入信号的微分成正比时，称其为微分环节。理想微分环节的动态方程为其中：y(t)是理想微分环节的输出信号，r(t)是理想微分环节的输入信号；Td称为微分时间常数。那么理想微分环节的传递函数为图2-9理想微分环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应如果理想微分环节的输入信号为阶跃信号，则其输出响应为如图2-9所示，理想微分环节的阶跃响应是一个面积为TdR的脉冲信号三.典型环节的传递函数

283微分环节但实际中，物理元器件是不可能在输入为阶跃信号的瞬间，输出一个无穷大且持续时间趋于零的信号。故多用具有近似微分特性的实际微分环节来代替理想微分环节。由实际微分环节的电路图可得到其传递函数为图2-10实际微分环节的阶跃响应曲线（a）实际微分环节电路（b）阶跃响应其中：Td

=

RC，当Td取值很小时，即Td

≪1时，

。所以这种情况下，可以用这个电路近似代替理想微分环节。三.典型环节的传递函数

294惯性环节惯性环节又称一阶环节、非周期环节，其动态方程为其中：y(t)是惯性环节的输出信号；r(t)是惯性环节的输入信号；T称为惯性环节的时间常数；K称为惯性环节的放大系数。则惯性环节的传递函数为图2-11惯性环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应如果惯性环节的输入信号为阶跃信号，则其输出响应是一个非线性曲线，存在着惯性。且时间常数T越大，惯性越大。随时间增加，惯性环节的阶跃响应曲线最终趋于新的平衡。三.典型环节的传递函数

305一阶微分环节一阶微分环节的动态方程为如图2-12所示的比例-微分(PD)控制器就是由比例环节和一阶微分环节组成，其传递函数为图2-12比例-微分环节图2-13一阶微分环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应其中：y(t)是一阶微分环节的输出信号；r(t)是一阶微分环节的输入信号；Td称为一阶微分环节的时间常数。则一阶微分环节的传递函数为三.典型环节的传递函数

316振荡环节振荡环节又称二阶环节，其动态方程为其中：y(t)是振荡环节的输出信号；r(t)是振荡环节的输入信号；T称为振荡环节的时间常数；ζ称为振荡环节的阻尼比；K称为振荡环节的放大系数或增益。那么振荡环节的传递函数为图2-14振荡环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应如果振荡环节的输入信号为阶跃信号，则其响应输出如图2-14（b）所示。从图中可以看到，振荡环节的阶跃响应具有衰减振荡特性。三.典型环节的传递函数

327延迟环节延迟环节的动态方程为其中：y(t)是延迟环节的输出信号；r(t)是延迟环节的输入信号；τ是延迟环节的延迟时间。那么延迟环节的传递函数为图2-15延迟环节的阶跃响应曲线（a）阶跃信号；（b）阶跃响应如果延迟环节的输入信号为阶跃信号，则其阶跃响应如图2-15（b）所示。顾名思义，延迟环节的阶跃响应具有延迟特性。如果将该式进行泰勒级数的展开，可得当延迟时间τ很小的时候，此时延迟环节等效于一个惯性环节四.系统方块图331方块图的基本单元（a）信号线：带有箭头的线段，箭头表示信号的传递方向，信号只能沿着箭头的方向传递。（b）引出点（测量点）：表示在此位置引出或测量信号。从同一信号线上引出的信号在数值和性质上完全相同（c）综合点（比较点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。（d）方块：表示输入、输出信号的转换关系。采用系统方块图方法可以定量反映系统中各环节对整个系统性能的影响图2-16方块图的基本单元四.系统方块图342.方块图的绘制（1）根据系统的组成和工作原理，划分各环节，并确定系统和各环节的输入和输出变量。（2）根据各环节的变量所遵循的物理、化学等定律，在不影响系统分析准确性的前提下适当简化，依次列写各环节的变量之间的微分方程（组）或s域变换方程（组），然后绘制各环节或方程组的方块图。（3）将系统的输入量置于方块图最左端，按照系统中信号的传递顺序，依次从左至右，从输入端到输出端，将各方块连接起来，就得到系统的方块图。需要注意的是，按“环节”划分系统组成，是对组成系统的装置、元器件根据其数学模型的抽象。但是环节与系统中的装置、元器件并不都是一一对应关系。一个环节可以包含一个或者多个装置、元器件，也可能一个环节只对应装置、元器件中的某一部分的实际结构。【例2-7】试建立图2-17所示的小车位移系统的系统方块图，其中输入量为外力角F(t)，输出量为位移y(t)。解：如图2-17所示，系统由弹性系数为K弹簧、阻尼系数为f的阻尼器、质量为m的小车3个装置组成。各个装置的变量之间的s域变换方程（组）如下：对于弹簧对于阻尼器对于小车根据以上式子绘制出的系统各环节的方块图图2-17小车系统四.系统方块图图2-18小车移动系统的各环节的方块图图2-19小车位移系统的方块图将各环节连接起来，就得到系统的方块图35四.系统方块图3方块图的等效变换与简化系统方块图的等效变换的目的是通过对方块图的变换、简化，来求取闭环系统的传递函数或输出响应。对系统方块图逐步进行等效变换、简化的过程，就相当于由系统组成环节的方程组消去中间变量的过程。方块图的变换按照等效原则进行。所谓等效，就是对方块图的任一部分进行变换时，变换前后，输入输出的数学关系式保持不变。即在系统方块图等效变换前后，要遵循以下两条原则：一是前向通路中传递函数的乘积不变的原则，二是回路中传递函数的乘积不变的原则。方块图简化的基本思想就是通过移动分支点和综合点，交换综合点，减少内反馈回路，从而达到简化的目的。36四.系统方块图常见的方块图等效变换和简化法则37改为1/G(s)四.系统方块图常见的方块图等效变换和简化法则38

图2-20系统方块图四.系统方块图39（a）引出点后移（b）并联

四.系统方块图40应用反馈结构的化简方法就可以得到系统的传递函数（c）引出点后移（d）内环反馈和外环并联五.信号流图与梅逊公式信号流图和系统方块图相似，都是用图示的方法表示控制系统的结构和信号传递过程。但信号流图不需要等效变换，只需利用梅逊公式就可以求得控制系统中任意两个变量之间的传递函数。1信号流图信号流图由节点和支路组成，图2-22中的各节点用定向直线（支路）连接。每一个节点用小圆圈表示，代表了一个系统变量。而每两节点之间的连接支路表示信号乘法器。需要注意的是，信号只能通过箭头单向流通，信号的乘法因子标注在支路线上。图2-22信号流图41五.信号流图与梅逊公式信号流图相关定义：（1）节点：用来表示变量或者信号的点。主要有3种，分别是源点（输入节点），只有信号输出支路，它对应自变量；阱点（输出节点），只有信号输入支路，它对应因变量；混合节点，既有信号输入支路，又有信号输出支路。（2）传输：两个节点之间的增益。（3）支路：连接两个节点的定向线段，支路的增益也就是传输。（4）通道：指从一个节点出发，沿着支路箭头的方向经过多个节点的路径。（5）前向通道：如果通道在从输入节点到输出节点的通道上，与任一节点相交不多于一次的通路。（6）前向通道增益：前向通道中，各支路传输的乘积。（7）回路：如果通道的起点就是通道的终点，并且与任一节点相交不多于一次的通路。（8）回路增益：回路中各支路传输的乘积。（9）不接触回路：一些没有公共节点的回路。42五.信号流图与梅逊公式信号流图重要性质：（1）支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（2）节点可以把所有输入支路的信号进行叠加，并把总和信号传送到所有的支路。（3）具有输入和输出支路的混合节点通过增加一个具有单位增益的支路，就可以把它变成输出节点来处理。但是用这种方法不能将混合节点改变为输入节点。（4）对于给定的系统，信号流图不是唯一的。由于同一系统的方程可以写成不同的形式，所以对于给定的系统，可以画出不同的信号流图。43五.信号流图与梅逊公式信号流图转化规则：442梅逊公式用梅逊公式可以直接求出任意源点和阱点之间的增益或传递，表示为45其中：Pk表示第k条前向通路的通道总增益或总传递；∆表示信号流图的特征式，其计算公式为其中：

表示所有不同回路的增益之和；表示每两个互不接触的回路的增益之和；

表示每三个互不接触的回路的增益之和；以此类推。∆k表示信号流图中第k条前向通路Pk特征式的余子式，即把与该通路Pk相接触的回路增益置为零后，特征式∆所余下的部分。

解：根据图2-23可以画出系统的信号流图，如图2-24所示。图2-23例2-9的系统方块图46五.信号流图与梅逊公式由图2-24，系统有一条前向通路，即系统有四条单独的回路，即图2-24例2-9的信号流图47五.信号流图与梅逊公式由于四条回路都有相互接触，且与唯一的前向通道也有接触，所以所以，由梅逊公式可得系统的传递函数为图2-24例2-9的信号流图

解：由图2-25，系统有两条前向通路，即图2-25例2-10的信号流图48五.信号流图与梅逊公式系统有五条单独的回路，即其中有两种两两不接触回路，即49五.信号流图与梅逊公式所以，特征式为系统信号流图有两条前向通道，第一条前向通道与所有回路均有接触，第二条前向通道与L4回路不接触，故有所以，由梅逊公式可得系统的传递为2.4控制系统的空间状态模型50一.状态空间的基本概念二.状态空间模型的建立三.状态空间模型的图示形式一.状态空间的基本概念51状态空间模型是对系统的完全描述，既可描述输入输出特性，也可描述内部特性，适用于多输入多输出系统（MIMO系统）、时变系统、非线性系统和随机控制系统状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量完全表征：只要知道这组变量在t=t0的初始值和t≥t0时的输入u(t)，就能完全确定系统在t≥t0任何时刻的行为。最小一组变量：变量组中的变量相互独立。注：状态的选取不具有唯一性，同一个系统可以有多种不同的状态选取方法。状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。但在具体工程问题中，应尽可能选取容易测量的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设计要求。常取储能元件的特征变量作为状态变量。一.状态空间的基本概念52状态向量：把描述系统状态的n个状态变量看作向量

的分量，则称为状态向量。记作：或：状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻，状态向量是状态空间的一个点。状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。这条轨迹表示了系统的运动过程，即包含了系统的所有运动信息。图2-26二维状态空间及系统状态轨迹一.状态空间的基本概念53状态方程：描述状态变量和输入之间关系的一阶微分方程组，称为状态方程。它表征了系统由输入引起的内部状态的变化。输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程。状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成状态空间表达式。时变系统时不变系统一.状态空间的基本概念54对于线性定常系统其中用矩阵方程表示其中A为

n

n

维方阵，描述系统内部状态间的关系，称为系统矩阵；B为n

r

维矩阵，描述输入与状态间的关系，称为输入矩阵；C为m

n维矩阵，描述系统内部状态与输出间的关系，称为输出矩阵；D为m

r维矩阵，描述输入与输出间的关系，称为前馈矩阵（或直接传输矩阵）,

D直接影响输出，不影响系统的动态过程，所以，常令D=0，这样也不失一般性。系统可简记为{A、B、C、D}或S=(A、B、C、D)一.状态空间的基本概念55对于SISO线性定常系统写成矩阵形式系统的状态方程可表示为其中输出方程为令一.状态空间的基本概念56状态变量的非奇异线性变换

假设为与x(t)不同的n维状态向量，则可以对状态变量进行变换其中：T为n×n阶任意非奇异线性变换矩阵线性定常系统的状态空间模型变换为状态空间模型相应的矩阵变换前后的关系：二.状态空间模型的建立57建立状态空间模型的方法：通过机理分析建模方法，推导得到系统的微分方程，然后选择对应的输入变量、状态变量、输出变量，最后导出状态空间模型。由已知的系统其他数学模型形式经过转化而得到选择状态变量的方法：选择物理量为状态变量选择相变量为状态变量二.状态空间模型的建立58【例2-11】RCL电路如图2-27所示。以电压ui为系统输入变量，电压uc为系统的输出变量。求RCL电路的状态空间模型。解：（1）选择储能元件电容C和电感L的特征变量uc和i为状态变量。根据电路原理，可以得到设

x1

=uc，x2

=i，u

=ui

，状态方程为

输出方程为写成状态空间模型的标准形式图2-27RLC电路二.状态空间模型的建立59【例2-11】RCL电路如图2-27所示。以电压ui为系统输入变量，电压uc为系统的输出变量。求RCL电路的状态空间模型。（2）选择uc及其相变量为状态变量，即设x1

=uc，

x2

=duc/dt，

u

=ui

图2-27RLC电路写成状态空间模型的标准形式状态变量的个数等于系统独立的储能元件的个数。状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的三.状态空间模型的图示形式60状态空间模型的系统框图图2-28线性定常系统状态空间模型的系统框图表明了系统输入、状态、输出的组合关系。这可以体现系统的态空间模型既能表示系统的外部特性，也能反映系统的内部关系。每一方框的输入输出关系规定为输出信号=方框所示传递关系×输入信号三.状态空间模型的图示形式61状态空间模型的状态变量图描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关系，来源于模拟计算机的模拟结构图由积分器、加法器和比例器组成图2-29RLC电路的状态变量图状态变量图绘制步骤在适当的位置画上积分器，积分器的数目等于系统状态变量数，各个积分器的输出表示相应的状态变量；根据状态方程和输出方程所表达的运算关系，画上对应的加法器和比例器用带箭头的直线将这些元件连接起来，其中箭头的方向表示信号的传递方向。2.5各种数学模型之间的关系62一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型二.由状态空间模型求传递函数（矩阵）三.由方块图求状态空间模型一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型63单输入单输出线性定常系统的微分方程：相应的传递函数为由参数ai(i=0,1,2,…,n-

1)、bi(i

=0,1,2,…,m)确定出状态空间表达式对应的参数矩阵

A、b、c、d，并且不改变系统的输入输出特性，称为系统的实现问题。显然，取状态变量组不同，可以得到不同A、b、c、d，即对一个系统有多种实现。当m=n时，上式可表示为不失一般性，我们讨论m<n：即（不存在d）故不同的状态变量选取及所得出不同的状态空间表达形式一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型641能控规范型实现引入中间量V(s)，传递函数可写为分子多项式为初始值均为零，拉普拉斯反变换同理，由分母多项式得取状态变量：则:一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型651能控规范型实现能控规范型状态空间模型为特点：系统矩阵A主对角线上方的元素均为1，最后一行的元素按系统特征多项式系数反号升幂排列;数学上，把具有如A矩阵特点的矩阵称为“友矩阵”

输入矩阵b最后元素为1其余元素均为0一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型66【例2-12】求常微分方程所表示系统的能控规范型状态空间表达式。解：设系统的各初始值均为零，通过拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数即对照传递函数表达式，可得b2

=-14,b1

=-33,b0=-55,a2

=6,a1=11,a0=20那么系统的能控规范型状态空间表达式为一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型672能观规范型实现传递函数可以写为两边同除以sn，得一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型682能观规范型实现按等式右边从里往外的括号表达式（连同积分运算）选择为状态变量：将xn(s)=Y(s)

代入到各式一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型692能观规范型实现能观规范型状态空间模型为特点：系统矩阵A主对角线下方的元素均为1，最后一列的元素按系统特征多项式系数反号升幂排列;输出矩阵c最后元素为1其余元素均为0一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型70【例2-13】系统传递函数为，求其能观规范型状态空间表达式。解：对照传递函数表达式，可得b2

=5,b1

=4,b0

=9,a2

=12,a1

=8,a0

=58。那么系统的能观规范型状态空间表达式为一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型713特征值规范型实现该情况建立在可以求出系统极点（特征值）的基础上（1）只含单极点系统的传递函数为其中：为系统传递函数G(s)的极点的

pi留数取系统的状态变量为：整理并取拉普拉斯反变换：系统的输出方程为：一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型723特征值规范型实现（1）只含单极点对角线规范型状态空间模型为特点：系统矩阵A是一个对角矩阵，对角线上的元素为系统的n个单极点（特征根）输入矩阵b是一个全部元素为1的列向量一个状态变量的导数只与该状态变量有关，而与其他的n

-1个状态变量无关，即系统的状态解耦一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型733特征值规范型实现（2）具有重极点假设

n阶系统的

n个极点全部为

p，即通过部分分式将系统传递函数展开为取系统的状态变量为：系统的输出方程为：一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型743特征值规范型实现约当规范型状态空间模型为特点：系统矩阵A是一个约当阵，对角线的元素相同并且是系统的重极点，对角线上方的元素均为1输入矩阵b最后元素为1其余元素均为0系统的解耦关系是单方向的，即xn→xn

-1

→

…

→x2

→x1

（2）具有重极点一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型75当系统同时具有多个单极点和多个重极点时，将上述二种情况推广，就可写出系统特征值规范形式的状态空间模型。例如：设n

阶系统有k个单极点p1、p2、

…

、

pk，并有l1

重极点pk+

1，l2

重极点pk+

2，…,lm

重极点pk+m

，且n=

k

+l1

+l2

+…

+lm。则系统的状态方程为：一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型76例如：设n

阶系统有k个单极点p1、p2、

…

、

pk，并有l1

重极点pk+

1，l2

重极点pk+

2

，…,lm

重极点pk+m

，且n=

k

+l1

+l2

+…

+lm。则系统的输出方程为：一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型77【例2-14】系统传递函数为，求系统的特征值规范型状态空间表达式。解：由系统的特征方程

可得系统的特征根为p1=

0，p2=

p3=

-2，则系统的传递函数可以写为一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型78【例2-14】系统传递函数为，求系统的特征值规范型状态空间表达式。那么系统的特征值规范型状态空间表达式为一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型794将系统的一般状态空间描述变换为特征值规范型（1）变换为对角线规范型若系统矩阵

A有互异的实数特征根λ1,λ2,

，λn，可通过非奇异变换将其化为对角阵

，且对角线上的元素为A阵的特征根，即其中：变换矩阵中的特征向量ti满足在【例2-15】将下列系统的表达式变换为对角线规范型。解：①确定系统的特征值。由一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型80则系统的特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=-1②确定属于各个特征值的特征向量。对于特征值λ1=2，根据At1

=λ1t1，有取t11=1同理可求得③构造变换矩阵并求逆。由特征向量构造变换矩阵T及其逆矩阵一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型81④求出新状态空间的相应矩阵。⑤写出对角线规范型的状态空间表达式。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型824将系统的一般状态空间描述变换为特征值规范型（1）变换为对角线规范型若系统矩阵

A为n阶友矩阵，且具有互异的实数特征根λ1,λ2,

，λn，可通过范德蒙特（Vandermode）矩阵T将A阵化为对角阵若参数矩阵

A有m重实数特征根λ1=λ2=

=λm，其余n-­m个特征根为互异实数，但在求解时，仍有m个独立的特征向量

t1

,

t2

,

，tm

，则仍可以将A阵对角化成一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型83【例2-16】将下列系统的表达式变换为对角线规范型。解：①确定系统的特征值。由则系统的特征值为λ1=λ2=1，λ3=2②确定属于各个特征值的特征向量。对于二重特征值为λ1=λ2=1，有一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型84对于特征值λ3=2，根据At3

=λ3t3，有③构造变换矩阵并求逆。由特征向量构造变换矩阵T及其逆矩阵④求出新状态空间的相应矩阵。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型85⑤写出对角线规范型的状态空间表达式。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型864将系统的一般状态空间描述变换为特征值规范型（2）变换为约当规范型若系统矩阵

A有m重实数特征根λ1=λ2=

=λm，但只有1

个独立的特征向量

t1

，只能将A阵化成约当阵J其中：t1是系统矩阵A唯一一个独立特征向量，而

t2，t3

，

，tm是广义的特征向量，可由下式求得一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型874将系统的一般状态空间描述变换为特征值规范型（2）变换为约当规范型若系统矩阵

A为友矩阵，且有n重实数特征根λ1=λ2=

=λn=λ，但只有1

个独立的特征向量

t1

，只能将A阵化成约当阵J的范德蒙特矩阵T矩阵为一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型88【例2-17】将下列状态方程变换为特征值规范型。解：①确定系统的特征值。由则系统的特征值为λ1=λ2=λ3=2，是一个三重特征值。②确定属于各个特征值的特征向量。系统矩阵

A只有一个独立特征向量。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型89③构造变换矩阵并求逆。由特征向量构造变换矩阵T及其逆矩阵④求出新状态空间的相应矩阵。⑤写出特征值规范型的状态方程。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型904将系统的一般状态空间描述变换为特征值规范型（3）变换为特征值规范型若系统矩阵

A既有m重实数特征根λ1=λ2=

=λm，又有n-­m个单特征根时，可化为特征值规范型（这时是对角块与约当块的组合）

这时的变换矩阵T为情况（1）和（2）的组合，即其中：t1，tm+1，tm+2,

，tn是互异的实数特征根λ1，λm+1，λm+2,

，λn对应的特征向量，而

t2，t3

，

，tm是广义的特征向量。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型91【例2-18】将下列状态方程变换为特征值规范型。解：①矩阵A为能控规范型形式（友矩阵），可直接写出它的特征多项式：②构造变换矩阵并求逆。③求出新状态空间的相应矩阵。一.由微分方程或传递函数转化为状态空间模型92【例2-18】将下列状态方程变换为特征值规范型。④写出特征值规范型的状态方程。这是一个特征值规范型状态方程，由2×2的约当块和1×1的对角块组合而成。二.由状态空间模型求传递函数（矩阵）931系统模型为单输入单输出情况初始条件为零，L变换d=0特征矩阵：(sI-A)预解矩阵：(sI-A)-1特征多项式：det(sI-A)伴随矩阵：adj(sI-A)注：系统矩阵A主要体现了系统的动态特性系统矩阵

A的特征多项式与系统的特征多项式等价。并且在系统无零点和极点相消的前提下，系