自动控制理论及应用 课件 第七章 离散控制系统分析与设计

第7章离散控制系统分析与设计《现代控制工程》2本章引言计算机控制系统的广泛应用，使得离散系统控制理论具有越来越重要的地位。离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析研究方法方面的相似性。本章介绍离散系统控制理论，首先讲述采样过程与采样定理，介绍Z变换理论，然后给出离散控制系统的数学描述及求解方法，对离散控制系统的频域与复频域、状态空间进行分析与设计。在此基础上，讨论连续系统与离散系统的关联和区别，最后研究如何应用Matlab进行离散系统的分析与设计。

7.1采样过程与采样定理1

7.2Z变换基础27.3离散控制系统的数学描述及求解3

7.4离散控制系统的频域与复频域分析与设计4

7.5离散控制系统的状态空间分析与设计

53第7章

离散控制系统分析与设计6

7.6连续系统与离散系统的关联与区别7.1采样过程与采样定理4

实际系统中存在的绝大多数物理过程或物理量，在时间域和在幅值上都是连续的变量，这些连续变量，通常称为模拟信号。将模拟信号按一定时间间隔循环进行取值，从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过程称为采样。

经过采样而得到的离散信号，虽然在时间上是离散的，但在幅值上还是连续的。如果进一步通过模数转换器，把幅值上连续的离散信号变换成数码形式的信号，例如二进制码，这个过程就称为整量化。

时间上离散化、幅值上整量化的信号，称为数字信号。7.1采样过程与采样定理5一.采样过程及其数学描述二.保持器三.采样定理一.采样过程及其数学描述6图7-1计算机控制系统结构图

一.采样过程及其数学描述7图7-2采样开关与采样过程若无特殊说明，本书所讨论的时间函数，在t<0时是等于零的。基于这一点，上式可写成或者

上式即是采样信号的定义式二.保持器8

保持器的作用是将离散信号转换为连续信号，此连续信号近似重现了作用在采样器上的信号。最简单的保持器是将采样信号转变成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号，如图7-3所示。这种保持器称为零阶保持器，零阶保持器的传递函数为图7-3零阶保持器的输入和输出信号上式可从零阶保持器的输入与输出关系中求得。二.保持器9

根据图7-3表示的零阶保持器的输入与输出的信号关系，设零阶保持器输入信号为一单位脉冲信号，如图7-4所示，则其输出与输入应有如下关系：图7-4零阶保持器的单位脉冲响应对上式求拉普拉斯变换，就可得到零阶保持器的传递函数。三.采样定理10

在设计离散系统时，香农（Shannon）采样定理是一个很重要的定理。因为它给出了从采样信号恢复到原信号所必须满足的最小采样频率。若不满足该频率，则离散信号无法通过保持器进行恢复。采样定理描述如下：图7-5连续信号频谱图

7.2Z变换基础11一.Z变换的定义二.Z变换性质三.Z变换方法四.Z反变换一.Z变换的定义12Z变换在离散系统中的作用，与拉氏变换在连续系统中的作用非常相似。对采样信号的定义式进行拉氏变换，得到

一.Z变换的定义13常用时域函数的Z变换如表7-1所示。表7-1Z变换表一.Z变换的定义14表7-1Z变换表二.Z变换性质15根据Z变换的定义，可得下面比较常用的Z变换性质。（1）移位定理①右移定理（滞后）②左移定理（超前）（3）初值定理（2）终值定理

二.Z变换性质16有关Z变换的更多性质可见表7-2。表7-2Z变换的性质三.Z变换方法171.级数求和法级数求和法是一种直接从Z变换的定义出发的Z变换方法。

解：根据Z变换的定义，有

【例7-2】求下列函数的Z变换。解：用级数求和法三.Z变换方法182.部分分式法

对上式进行Z变换，可以得到三.Z变换方法19【例7-3】求下列函数的Z变换。

四.Z反变换20

1.部分分式法

四.Z反变换21

则有查表得故得即四.Z反变换22

2.幂级数法——长除法

四.Z反变换23

长除得对照Z变换的定义，得四.Z反变换24留数法是求Z反变换的一种普遍方法，根据复变函数中的留数理论可以证明：3.留数法解：由留数法的公式，可得：

7.3离散控制系统的数学描述及求解25为了研究离散控制系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。常用于描述离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间方程等。与连续系统相似，在一定的条件下，上述模型之间可以相互转换。7.3离散控制系统的数学描述及求解26一.差分方程及其求解二.脉冲传递函数三.离散系统的状态空间模型四.脉冲传递函数与状态空间模型相互转化一.

差分方程及其求解27

在连续系统中，微分方程是基本的时域模型表达形式；在离散系统中，差分方程是基本的时域模型表达形式，描述的是各采样时刻系统输出与输入间的关系，其一般形式为

或者

一.

差分方程及其求解28本节介绍递推法与Z变换法两种差分方程的求解方法1、递推法

由于差分方程本身就是一种递推关系，若已知系统的差分方程，并且给出输出序列的初值和输入序列值，则可以利用递推关系，逐步计算出输出序列。随着计算机的普及，递推法的应用越来越多，但该方法的最大缺点是没有解析解，必须一步步地递推计算。

一.

差分方程及其求解292、Z变换法求解

与连续系统往往借助拉氏变换求解微分方程类似，离散系统也常利用Z变换求解差分方程，将差分运算转化为以z为变量的代数方程进行代数运算。这种变换主要用到Z变换的超前定理和滞后定理。Z变换求解差分方程的一般步骤为：

一.

差分方程及其求解30

解:根据超前定理，对已知差分方程求Z变换，得

整理后得代入初始条件，得查表得所以有

二.脉冲传递函数31

图7-6开环采样系统二.脉冲传递函数32

1、脉冲传递函数的定义

若已知系统的脉冲传递函数及输入信号的Z变换，则输出信号为

二.脉冲传递函数33

2、脉冲传递函数的代数运算法则线性离散系统的方块图代数运算法则和线性连续系统有很多相似之处，但必须注意采样开关位置对脉冲传递函数的影响。（1）串联环节图7-7环节串联形式（a）两个离散环节的串联；（b）两个串联环节中间无采样器；（c）两个串联环节中间有采样器二.脉冲传递函数34

图7-7（a）为两个离散的环节串联，总的脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数的乘积，即图7-7（b）为两个连续环节串联，中间无采样器，其总的脉冲传递函数等于两个环节相乘后再取Z变换，即由采样函数拉氏变换的第二个性质所以图7-7（c）为两个连续环节串联，但中间有采样器，其总的脉冲传递函数等于两个环节分别取Z变换后再相乘，即所以结论可以推广到有相应的类似n个环节串联的情况，请注意区别，特别注意：

二.脉冲传递函数35

解:查表7-1，得输入的Z变换①对图7-7（b）所示系统，由对应公式得脉冲传递函数为输出Z变换为二.脉冲传递函数36

②对图7-7（c）所示系统，由对应公式得脉冲传递函数为输出Z变换为在串联环节之间有无同步采样开关隔离，其串联后总的脉冲传递函数和输出Z变换是不同的，但不同处仅表现在其零点，它们的极点仍然是一样的。二.脉冲传递函数37

图7-8（a）所示为两个离散的环节并联，总的脉冲传递函数为图7-8（b）所示为两个连续环节并联，输入输出均带采样器，总的脉冲传递函数为图7-8（c）所示为分别带采样器的两个连续环节并联，总的脉冲传递函数为图7-8（d）所示的并联形式，其中一个支路有采样器，一个支路没有采样器，此时输入输出的关系为

结论可以推广到有相应的类似n个环节并联的情况。

（2）并联环节二.脉冲传递函数38

（3）反馈回路连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，可用一种典型的结构图来描述闭环系统。但在离散系统中,由于采样器在闭环系统中的位置存在多种可能性，因此具有反馈回路的离散系统没有惟一的结构图形式，闭环脉冲传递函数或输出Z变换式也就各不相同。虽然如此，但仍有一些规律可循。设一简单采样系统如图7-9所示，图中采样器以采样周期T同步工作。从图中输入端开始，顺着箭头方向一步步地分析计算。图7-9反馈回路二.脉冲传递函数39

比较器输出端：继续沿箭头方向：对上式两端采样：

整理得：图7-9反馈回路二.脉冲传递函数40

（4）系统中的零阶保持器①零阶保持器的脉冲传递函数由零阶保持器构成的离散系统结构图如图7-10所示。它可等效为如图7-11所示的并联环节离散系统。图7-10零阶保持器图7-11零阶保持器等效结构图按并联环节的加法法则及滞后环节的概念，可得等效的脉冲传递函数零阶保持器的脉冲传递函数为常数1，也即其输出信号与输入信号完全一致。还可看到，零阶保持器无零极点，对系统性能没有影响，只起到恢复信号的作用。二.脉冲传递函数41

②零阶保持器与环节串联：零阶保持器与其他连续环节的串联如图7-12所示，用分解法求其开环脉冲传递函数。图7-12零阶保持器与连续环节串联的开环系统

二.脉冲传递函数42

求系统脉冲传递函数的一般步骤如下：1.确定系统的输入、输出变量；2.写出各连续部分因果关系式，即根据系统的方块图，将通道在各采样开关处断开，写出采样点之前各连续信号拉氏变换式；3.对各表达式采样后取Z变换；4.消去中间变量；5.按定义写出脉冲传递函数或输出Z变换式。

二.脉冲传递函数43

表7-3典型系统的输出Z变换二.脉冲传递函数44

3、脉冲传递函数与差分方程

差分方程是离散系统的时域表达形式，脉冲传递函数是离散系统的Z域（复频域）表达形式，它们之间可以相互转化。若n阶差分方程为：

若已知系统的脉冲传递函数，则可以通过Z反变换得到其差分方程形式。二.脉冲传递函数45

图7-13闭环采样系统解:由图可得闭环系统的脉冲传递函数

代入闭环脉冲传递函数，有：当输入为单位阶跃信号时输出Z变换为对上式作综合除法，便可得作Z反变换，可得系统的单位阶跃响应为三.离散系统的状态空间模型46

与连续系统类似，在状态空间模型中，离散系统也有状态变量、状态向量、状态方程和输出方程的概念和表达形式。不同的是，离散系统用一阶向量差分方程作为状态方程。所以，线性定常离散系统的状态空间表达式为：

三.离散系统的状态空间模型47

图7-14线性定常离散系统框图在连续系统中应用计算机求解问题或者实现控制时，由于计算机只能处理离散的数字量，因此有必要将连续系统的状态空间表达式化为等价的离散系统状态空间表达式，这就是连续系统的离散化问题。连续系统的离散化是通过按一定时间间隔的采样及一定形式的保持实现的，这里认为采样过程满足香农（Shannon）采样定理且保持方式为零阶保持。常用的离散化方法有近似离散化和由连续系统状态解离散化两种。三.离散系统的状态空间模型48

1、近似离散化给定线性连续定常系统的状态方程为在采样周期T较小、且对其精度要求不高时，通过近似离散化，可以把它变成线性离散状态方程，以便求出它的近似解，即在采样时刻的近似值。利用近似等式

或者写为式中上式即为状态方程的近似离散化，通常当采样周期为系统最小时间常数的1/10左右，其近似度已是足够满意的。三.离散系统的状态空间模型49

2、由连续系统状态解离散化线性连续系统的时间离散化问题的数学实质，就是在一定的采样方式和保持方式下，由系统的连续时间状态空间描述来导出其对应的离散时间状态空间描述，并建立起两者的系数矩阵间的关系式。设线性连续系统的状态方程为根据状态方程的求解公式，有为使离散化后的描述具有简单的形式，并保证它是可复原的，引入如下假设:1.采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样；2.采样周期T的确定要满足香农采样定理；3.保持器采用零阶保持器，即把离散信号转换为连续信号是按零阶保持方式来实现的。三.离散系统的状态空间模型50线性定常连续系统状态方程的解为：(零阶保持）对照，显然有：三.离散系统的状态空间模型51作变量代换：

三.离散系统的状态空间模型52若采样周期足够小，则可忽略高阶项，可得：只要采样周期足够小，两种离散化方法等价。三.离散系统的状态空间模型53

解:采用由连续系统状态解离散化的方法。首先计算给定连续系统的矩阵指数函数。为此，采用拉氏变换法先定出：再将上式取拉氏反变换，即可得到然后，根据定常系统情形的公式即可求出时间离散化系统的系数矩阵于是时间离散化状态方程为四.脉冲传递函数与状态空间模型相互转化54

1、由状态空间模型求脉冲传递函数矩阵已知线性定常离散系统的状态空间表达式为对它实施Z变换，可得令系统初始条件为零，则有以及式中

四.脉冲传递函数与状态空间模型相互转化55

2、由脉冲传递函数求状态空间模型设系统的差分方程为：

其中

四.脉冲传递函数与状态空间模型相互转化56

按如下形式取状态变量

将上面各式取Z反变换，可得四.脉冲传递函数与状态空间模型相互转化57

上式即为系统的状态方程。又由有即取Z反变换得

写成向量方程的形式，得这就是系统的输出方程。前述两种向量方程合在一起构成了离散系统的状态空间表达式，这显然具有能控规范型形式。7.4离散控制系统的频域与复频域分析与设计58一.离散系统的稳定性分析二.基于Z域的分析与设计三.基于频域特性的分析与设计一.离散系统的稳定性分析591.从s域到z域的映射连续系统中，通常在s域研究系统的稳定性；离散系统中，可从s域映射到z域的关系入手，在z域研究系统稳定性。根据Z变换的定义有

一.离散系统的稳定性分析601.从s域到z域的映射

图7-15S平面与Z平面的映射关系一.离散系统的稳定性分析611.从s域到z域的映射

一.离散系统的稳定性分析622.离散系统的稳定性条件线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的所有根，即系统Z传递函数的所有极点都分布在单位圆内部。Z平面的单位圆内部是离散系统特征根分布的稳定域，单位圆周为稳定边界，如图7-16所示。图7-16连续系统与离散系统极点分布稳定区域一.离散系统的稳定性分析63【例7-12】已知闭环离散系统的特征方程，试问系统是否稳定。

该方法也适用于特征方程有重根的情况，但对于阶次较高的系统，这种直接求根的方法不太方便。一.离散系统的稳定性分析643.离散系统的稳态误差对稳定离散系统而言，稳态误差也是系统分析与设计的重要指标之一。这里的稳态误差指采样时刻的误差值。

（1）采用终值定理计算稳态误差单位负反馈系统如图7-17所示。图7-17闭环离散系统一.离散系统的稳定性分析653.离散系统的稳态误差假设系统是稳定的，则

一.离散系统的稳定性分析663.离散系统的稳态误差

（2）采用静态误差系数求稳态误差

一.离散系统的稳定性分析673.离散系统的稳态误差

对于不同型别的系统结构，有可见，当系统为0型时，稳态误差为有限值；当系统为1型或以上时，可以零稳态误差地跟踪单位阶跃输入。一.离散系统的稳定性分析683.离散系统的稳态误差

对于不同型别的系统结构，有可见，当系统为0型时，稳态误差为无穷大，无法跟踪单位斜坡输入；当系统为1型时，可以跟踪单位斜坡输入，但存在稳态误差；当系统为2型或以上时，稳态误差为零。一.离散系统的稳定性分析693.离散系统的稳态误差

对于不同型别的系统结构，有可见，当系统为0型和1型时，稳态误差为无穷大，无法跟踪单位抛物线输入；系统为2型时，稳态误差为有限值；当系统为3型或以上时，稳态误差为零。一.离散系统的稳定性分析70

二.基于Z域的分析与设计711.劳斯稳定判据离散系统不能直接应用劳斯判据，需要先进行变换。由复变函数的双线性变换，可将Z平面的单位圆内部映射成新复平面的左半平面。令

或者或者即：二.基于Z域的分析与设计72【例7-14】设闭环离散系统如图7-19所示，其中采样周期T=0.1s，试求系统稳定时K取值。

图7‑19闭环离散系统结构图闭环脉冲传递函数为故闭环特征方程为

列出劳斯表

二.基于Z域的分析与设计732.根轨迹法线性离散系统的特征方程为或者可写成这与线性连续负反馈系统根轨迹的幅值和相位条件相同，因而在Z平面上可完全按照连续系统中的根轨迹作图规则作出系统的根轨迹。差异仅是由于稳定边界的不同而对特征根的位置要求不同。同理，正反馈时的条件也一样的。即下面用图7-20所示的采样控制系统为例来说明根轨迹法的应用。图7-20采样控制系统二.基于Z域的分析与设计74图中有关方块图的内容如下：被控对象零阶保持器比例调节器阶跃干扰纯滞后时间给定值不变按定值调节考虑，可得到输出的Z变换式中二.基于Z域的分析与设计75将上述两个结果代入，得

系统的闭环特征方程为三.基于Z域的分析与设计76

由闭环特征方程求得特征根：系统的开环脉冲传递函数是

二.基于Z域的分析与设计77

或者即：

图7-21根轨迹示意图三.基于频域特性的分析与设计78设闭环离散系统特征方程为

则与连续系统中应用Nyquist稳定判据的条件相符，因此各种频域判据在此都可应用。三.基于频域特性的分析与设计79【例7-13】已知开环脉冲传递函数如下，试求闭环系统的相位裕度。

图7-18系统的开环伪频率特性7.5离散控制系统的状态空间分析与设计80线性离散系统的状态空间分析包括求解离散系统状态方程，能控性与能观性分析，状态反馈控制等。通常，离散系统的状态方程有递推法和Z变换法两种求解方法，前者既适用于定常系统，也适用于时变系统，后者仅适用于定常系统。7.5离散控制系统的状态空间分析与设计81一.离散系统的时域分析二.离散系统的能控性与能观性分析三.离散系统的状态反馈控制一.离散系统的时域分析821.递推法求解考虑线性定常离散系统

k=0时k=1时k=2时k=k-1时

上式为线性定常离散系统的通解，k表示了给定问题的末时刻。一.离散系统的时域分析83对于线性定常离散系统的状态解，有以下几点说明：

（4）离散系统状态解在形式上与连续系统类似，也由两部分组成：一部分是由系统初始状态引起的零输入响应；另一部分是由系统输入变量作用引起的零状态响应。

一.离散系统的时域分析842.Z变换法求解

整理后则为再取Z反变换，得由解的唯一性有：一.离散系统的时域分析85

解：用Z变换法求，先求出

一.离散系统的时域分析86取Z反变换，得二.离散系统的能控性与能观性分析871.能控性本节的讨论基于线性时变离散系统给出能控性和能观性描述，基于线性定常离散系统给出能控性、能观性判据。线性定常离散系统：

二.离散系统的能控性与能观性分析88线性定常离散系统能控性的判据为：系统矩阵G非奇异时，系统状态完全能控的充要条件是

二.离散系统的能控性与能观性分析89【例7-16】已知线性定常离散系统的状态方程，试判断该系统是否能控。解：该系统的控制矩阵H为系统矩阵非奇异，所以满足能控性的充分必要条件，所以该系统能控。系统矩阵G为二.离散系统的能控性与能观性分析902.能观性线性定常离散系统为：

二.离散系统的能控性与能观性分析91式中，G、C分别为常数系统矩阵、输出矩阵。

线性定常离散系统能观性的判据为：线性定常离散系统状态完全能观的充要条件是

二.离散系统的能控性与能观性分析92【例7-17】判断下列系统的能观测性。解：系统的输出矩阵则有它的秩为3，所以系统是能观测的。系统矩阵系统的能观测性矩阵为三.离散系统的状态反馈控制93离散系统的状态反馈控制涉及到极点配置，其结果是将闭环传递函数的极点（即特征方程的零点）分配到任何所需位置。为了介绍离散系统的状态反馈控制，考虑伺服电机系统，该系统为二阶模型，示例如图7-22所示。图7-22伺服电机系统的结构框图该系统的状态模型为：

三.离散系统的状态反馈控制94由系统的能控性矩阵

其中增益矩阵K为状态模型可进一步写为：三.离散系统的状态反馈控制95

特征方程为：计算，得到特征方程为：

系数相等，可得：

三.离散系统的状态反馈控制96现在说明极点配置的一般流程，n阶系统由以下公式建模：

其中，模型的公式可进一步写为：选择期望的极点位置为：则闭环系统的特征多项式为：

7.6连续系统与离散系统的关联与区别97一.连续系统离散化的稳定性二.连续系统离散化的能控性和能观性三.数字控制系统分析与设计一.

连续系统离散化的稳定性98

二.

连续系统离散化的能控性和能观性99

二.

连续系统离散化的能控性和能观性100

二.

连续系统离散化的能控性和能观性101

这表明，能控能观的连续系统离散化后，若采样周期选择不当，其能控性与能观性得不到保持。但必须提醒的是：若连续系统不能控或不能观，则无论采样周期如何选择，离散化后的系统一定是不能控或不能观的。三.数字控制系统分析与设计102

大多数实际的计算机控制系统是由数字计算机与连续被控对象组成的数字信号与连续信号并存的“混合系统”，因此便产生了下述两种对计算机控制系统分析和设计的方法。1.基于连续系统的分析与设计2.基于离散系统的分析与设计

（1）数字化设计方法（2）无稳态偏差的最小拍系统设计方法1.基于连续系统的分析与设计103

多年来，连续控制系统的分析与设计已经比较成熟，并在自动化领域为人们熟知。所谓模拟化设计方法，是在建立了连续的被控对象数学模型G(s)基础上，按连续系统的性能指标进行控制器的分析和设计，得到连续的控制规律Gc(s)，如图7-23所示。为使其在计算机系统中实现，必须要选择合适的采样周期T和离散化方法，将控制规律Gc(s)转换成计算机能够实现的离散控制规律Gc(z)。图7-23设计好的连续系统1.基于连续系统的分析与设计104

以工业控制中广泛应用的PID控制器为例，连续的PID表达式为：利用求和与积分、差分与微分的近似关系，得到离散PID控制算式的Z变换表达式为：式中，，2.基于离散系统的分析与设计105

（1）数字化设计方法

基于离散系统进行控制系统直接设计，首先要获取被控对象的离散数学模型。如果已经获取的是被控对象的连续数学模型，则要先选择采样周期T，然后将描述被控对象的连续数学模型转换为离散数学模型，如差分方程、脉冲传递函数G(z)或离散状态方程等，与计算机一起构成纯粹的离散系统。根据离散的目标函数，用Z变换等工具进行控制系统的分析与设计，得到可在计算机中直接实现的离散控制规律Gc(z)，整个系统如图7-24所示。图7-24离散系统2.基于离散系统的分析与设计106

以数字控制器的设计为例，数字控制器的脉冲传递函数式表示为

图7-25离散控制系统方框图2.基于离散系统的分析与设计107

记闭环脉冲传递函数为以及偏差脉冲传递函数为显然

2.基于离散系统的分析与设计108

（2）无稳态偏差的最小拍系统设计方法

在采样过程中，通常将一个采样周期称作一拍。所谓最小拍系统，是指在典型输入作用下，过渡过程时间最快的系统，即瞬态过程可在有限个kT时间内结束。其性能指标为：①对典型输入信号的稳态偏差为零；②对典型输入的过渡过程时间最短；③数字控制器是