八年级数学下册《综合与实践-音乐与数学》教案版

主讲人：综合与实践R·八年级数学下册音乐与数学学习目标1.培养获取信息和资料的能力，加强自主学习和合作探究的能力.2.根据信息和资料设计数学问题或方案，强化数学思维和实际应用能力.3.提升撰写研究报告的能力和语言表达能力．唐代诗人白居易在千古名篇《琵琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述：点击图片播放视频情境导入为了记录动听的音乐旋律，人们经过漫长的研究，制定了多种音律规则，即音乐律制，如三分损益法、五度相生律以及目前普遍采用的十二平均律．这些音乐律制的原理是什么？背后有哪些数学知识？让我们从这些问题开始，探究音乐与数学的关系，用数学描述音乐吧．活动一探究音乐律制中蕴含的数学原理乐音：乐音是乐器产生的、具有明显音高特征的声波.音高：音高是乐音的基本频率.音符：表示音高的字母记号，从A到G共7个字母.A4=440Hz探索新知任务1

我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混合在一起听着非常刺耳.你能从数学角度解释吗？八度增四度通常认为频率比是协和音或接近协和音的音符组合在听感上更好.协和音：两个音符的频率比只含有小的质数或小的质数幂.音程：两个音符的频率比称为音程.音程描述了两个音符在音高上的距离.任务2

查阅资料了解三分损益法和五度相生律这两种音乐律制的制谱方法，它们有什么共通之处？三分损益法生成五声音阶五度相生律生成七声音阶律制：律制是一种用于确定音阶中音程关系的系统.

五度相生律则以频率比3∶2（纯五度）为核心，向上或向下生律.三分损益法五度相生律共同点：均依赖简单整数比构建音阶.1.数学比例生律：两者均以数学比例为基础确定音高关系.2.五度循环逻辑：两者均以纯五度（3∶2）和纯四度（4∶3）为核心和谐音程，认为这些简单比例的音程组合具有“悦耳”效果.五声音阶七声音阶共同点：均以纯五度为间隔连续生律.这种循环生律方式是中西方古代律学的共同特征，符合人类对音高和谐性的早期认知.3.八度不完美性：两种方法均存在“八度不精确”问题：生律循环一周后，无法精确回归基音的高八度（频率比2∶1），导致“黄钟不能还原”.例如，三分损益法生成的十二律中，高八度音的频率比约为2.003，而非精确的2；五度相生律同样存在“毕达哥拉斯音差”，需通过调整律数（如增加律数或平均律修正）解决．任务3

三分损益法、五度相生律这一类制谱方法，有个共同的问题：它们所生成的音阶都不能回归本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关系.这给音乐作品的转调带来了困难.以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么存在上述不足吗？

设基准弦长为L，则：与八度所需的0.5L存在差值，无法精确回归基准音的八度，故不能回归本律．任务4

为了弥补上述不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家朱载堉（1536－1611）创立了十二平均律，上述问题才得以彻底、完整的解决．（1）查阅资料，了解十二平均律的制谱方法．点击图片播放视频（2）由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个音的频率之比相等，朱载堉称之为“密率”（见《律吕精义》）.事实上，“密率”是一个无理数.朱载堉通过他自制的一个81档双排位大算盘（如图）成功地算出了“密率”的估计值，将其精确到了25位有效数字，这在当时条件下是难以想象的.他是世界历史上将数学与音乐完美结合的杰出律学家.试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.

简谱五线谱活动二从函数的角度分析乐谱简谱中音符、节拍的记法都采用了数学元素；而五线谱则是一种接近于数学图形的语言，这是因为在五线谱中，我们能清楚地看到音的高低位置.如果将音符的符头顺次连接，就能得到一条反映乐曲的音高及音值（时长）变化的旋律线．任务1

图象由点组成，在画函数图象时，需要在平面直角坐标系中描出点的位置，这就需要先确定点的横、纵坐标．类似地，人们在记谱时，也是通过记录乐音的音高和音值这两个基本要素来记录乐音．查阅资料，分析五线谱是如何记录乐音的上述两个要素的？五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置有什么相似性？五线谱通过音符在五条平行线（五线谱）及线与线之间的空隙（间）中的垂直位置来记录音高，位置越高，音高越高；位置越低，音高越低．音值通过音符的形状来记录.横坐标+纵坐标音符的垂直位置+水平顺序及音符形状通过“垂直位置+水平/形状信息”两个维度，共同确定一个音符的完整属性，与平面直角坐标系中用横、纵坐标确定点的位置的逻辑一致.任务2

能否用函数刻画乐曲的旋律？以图中的乐曲片段为例，思考上述五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时长有什么关系？你能在平面直角坐标系中将图中的乐曲片段刻画出来吗？和你的同伴一起尝试一下吧！分析：图中曲谱下面的4表示以四分音符为1拍，设时间的单位长度为1拍，曲谱的谱号为G，代表基准音为g1，对应五线谱中的第2线，不妨设其音高为0，每提高1次音阶计为音高多1个单位.歌词音符类型音值/拍音高时长区间音高赋值风四分音符1第三间0~13在八分音符0.5第三间1~1.53第1线1.5~2-2吼二分音符2第2线2~40马四分音符1第三间4~53在八分音符0.5第三间5~5.53第1线5.5~6-2叫二分音符2第2线6~80答案不唯一.画图如图所示：任务3

通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出一条刻画音乐旋律的曲线.和你的同伴交流以下问题：（1）看看画出的曲线是否一致？如果不一致，分析其中的原因.（2）任务2中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数图象？为什么？对于每一个时刻，都有唯一确定的音高与之对应，可以视为函数.任务4

把五线谱看作平面直角坐标系，为我们用数学的眼光欣赏音乐旋律提供了工具.自选一首歌（乐）曲，把其中一段旋律的五线谱表现在你建立的平面直角坐标系中，分析所画的曲线是否可以视为函数图象．分析：图中曲谱下面的4表示以四分音符为1拍，设时间的单位长度为1拍，曲谱为高音谱号，“do”的位置在下加一线，不妨设其音高为0，每提高1次音阶计为音高多1个单位.对于每一个时刻，都有唯一确定的音高与之对应，可以视为函数.画图如图所示（答案不唯一）：各种乐器的制作离不开数学知识，例如，笛子等管乐器的开孔位置、三角钢琴的外形轮廓线等都有数学依据作支撑，体现了数学与音乐的密切联系.

任务1选择一种乐器，借