内蒙古赤峰市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含详解）

内蒙古自治区赤峰市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．在中，为边上靠近点的三等分点，，则（

）A． B． C． D．4．已知是定义域为的偶函数，且满足当时，，则函数的零点个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．25．已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（

）A．两个角均为锐角 B．一个角为，一个角为C．两个角均为 D．两个角均为8．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．10．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，，则满足条件的有两个C．若，，则周长的最大值为D．若，则11．在正三棱柱中，所有棱长均为2，为中点，为中点，连接、、．下列命题正确的是（

）A．平面B．三棱锥的体积为C．平面与平面所成二面角的正弦值为D．正三棱柱外接球的表面积为三、填空题12．已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________．13．在平面直角坐标系中，已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．14．“无字证明”(proofswithoutwords),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________________．四、解答题15．在中，内角，，的对边分别为，，．(1)若，，，求角及的面积；(2)求证：的面积（其中）．16．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求函数的解析式与对称中心；(2)当时，求的最大值与最小值；(3)若角满足，求的值．17．如图，在三棱锥中，底面，垂足为，且，，为中点，，(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．18．如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．

(1)若为中点，求的值；(2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有；（ⅱ）求的最大值．19．对于任意两个实数，，记区间上曲线与直线，及轴围成的曲边梯形面积为，约定，，并定义．(1)对任意实数和，且，证明：（注：可借助图形辅助证明）；(2)若，求实数的值；(3)（ⅰ）求证：对任意实数，都有；（ⅱ）设，记，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【详解】由题可知，.2．C【详解】由，得，得或，因为，所以.3．A【详解】由题意得，所以，因此.4．D【详解】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数，当时，，，由图可知交点个数为2个，所以函数的零点个数为2.5．A【详解】若四边形是平行四边形，则，所以；若，则，则四边形是平行四边形.所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件.故选：A.6．D【详解】由题意得，令，解得或，的定义域为，设，，根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，又因为在为增函数，根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为.7．D【详解】对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；对于C，可能两个角均为，故C不正确；对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两个角不可能均为，故D正确.故选：D.8．B【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数，由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，所以，即，所以，解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或，所以.9．ABD【详解】，选项正确；，选项正确；，选项错误；，选项正确.10．AD【详解】A选项，由余弦定理得，因为，所以，A正确；B选项，，，，则，故，则满足条件的不存在，B错误；C选项，，，由余弦定理得，故，所以，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故，解得，故，所以周长的最大值为，C错误；D选项，因为，所以，因为，在上单调递减，所以，D正确.11．ABC【详解】取中点为，连接，，因为为中点，所以，，又因为为中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为平面，所以三棱锥的高为，所以，故B正确；取中点为，过作于，连接，又因为为中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为为中点，所以，所以，所以，又，所以，在中，，所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故C正确；取正三棱柱上下底面的正三角形的中心为，连接，由正三棱柱的性质可知正三棱柱外接球的球心为的中点，在正三角形中，由正弦定理可得，在中，外接球的半径，所以正三棱柱外接球的表面积为，故D错误.

12．4【详解】设圆心角为，半径，故，解得.13．【详解】在方向上的投影为14．【详解】由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积为,又，.15．(1)，的面积为(2)，.【详解】（1）由余弦定理可得，

因为角为三角形内角，则，则，的面积.（2）略.16．(1)，(2)最大值1，最小值(3)【详解】（1）由已知图象平移得，所以，设，的对称中心为，令，解得，所以的对称中心为.（2）当时，则，因为为偶函数，且在上为减函数，所以当，即时，有最大值；当或，即或时，有最小值.（3）因为，设，则且，可得，所以.17．(1)平面，平面，

，D是中点，

又平面，平面，，平面

平面，(2)【详解】（1）略（2）法一：连接，平面，平面，∴平面平面

过作，为垂足.∵平面平面，平面，平面，为与平面所成角.，，，.平面，平面，．，，，.即与平面所成角正弦值为．

法二：连接，过作，平面，平面，.又，平面，平面，，平面.为与平面所成角，

，，，，

平面，平面，．，

，

由余弦定理，，，，

即与平面所成角正弦值为．18．(1)2(2)（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，，，，

，，

，

故，

故恒有．

（ⅱ）【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则，，，，

，，．（2）（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，则，，，，，，，故，故恒有．（ⅱ）由（ⅰ）知，所以点轨迹是以为直径的圆在正方形内部的部分．设在上的投影向量为，则，由M点轨迹知，与同向共线，且，故.19．(1)如图，，，

(2)(3)（ⅰ）①若，则．②若，则．