四川省广元市2025-2026学年高一数学下学期5月期中试题【含答案】

（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（）A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱【答案】C【解析】【分析】根据几何体结构特征直接判断即可.【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，又平面平面，平面分别与平面和相交于，所以，同理，又，所以互相平行，所以盛水部分的几何体是四棱柱.故选：C2.已知，复数，则A.-2 B.1 C.0 D.2【答案】D【解析】【详解】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值．详解：因为，所以，即.故选D．点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力．3.已知平面向量，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解.【详解】因为，所以，，又因为，所以，则，所以.故选：C.4.在中，，，，则（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积的定义运算即可得解.【详解】因为，，，所以故选：D．5.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（）A. B.12 C.12 D.24【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积.【详解】由斜二测画法可知，所以，所以，所以，故选：A.6.在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.【详解】，由三点共线可得，且，所以，当且仅当即时等号成立.故选：D.7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合余弦定理可得，进而结合面积公式即可求解.【详解】由，根据正弦定理得，，即，即，即，因为，则，所以，即，所以，又，则，即，又，所以的面积为.故选：A.8.长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案.【详解】取中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，故平面，同理可证平面，又，平面，故平面平面，平面平面，结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形，当时，最小，最小值为，此时的面积最小，求得.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项.【详解】因为向量，，，所以，，解得，则，，对于A选项，，因为，则与不共线，A错；对于B选项，，则，故，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，，故，D对.故选：BCD.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（）A.C1、O、A、M四点共面B.直线C1O与直线A1C为异面直线C.直线A1A与直线OM相交D.D1、D、O、M四点共面【答案】AC【解析】【分析】根据点与线，点与面，线与面的位置关系逐项判断即可求解.【详解】对于A选项，如图，连接，因为O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，所以点在平面与平面的交线上，即三点共线，则点、、、四点共面，故选项A正确；对于B选项，由选项A的分析可知三点共线，所以直线与直线相交，故选项B错误；对于C选项，因为为的中点，点为直线与平面的交点，所以不是的中点，又因为平面，且与不平行，所以直线与直线相交，故选项C正确；对于D选项，因为点、、均在平面内，点不在平面内，且直线与直线没有交点，所以直线与直线异面，则点、、、四点不共面，故选项D错误，故选：AC.11.已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（）A.是锐角三角形 B. C.的面积为 D.AB的中线长为【答案】BC【解析】【分析】根据大边对大角可知角为钝角，可得A错误；由余弦定理以及三角形面积公式计算可得BC正确，结合余弦定理判断D错误.【详解】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角，易知，因此角为钝角，可得A错误；对于B，易知，又，可得，即B正确；对于C，由，可得的面积为，即C正确；对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为________【答案】【解析】【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知，.在中，由正弦定理得,即.故答案为：.13.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．【答案】3【解析】【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值.【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，；对两边平方得：①；对两边点乘得：，两边平方得：②；①②得：；根据图象知，，，代入得，；．故答案为：314.已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为，进而计算出圆台的高，设球心到点所在的底面的距离为，表示到点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果.【详解】设圆台的上、下底面圆半径分别为，由题意得，，，解得.如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，则圆台的高为.设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为，则到点所在的底面的距离为，由题意得，x2+1所以球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．15.已知复数，，且是实数.（1）求；（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题中条件及复数的乘法法则、复数的分类即可求解的值，再根据共轭复数的定义即可求解；（2）由（1）知，根据复数的加法运算及复数的几何意义即可求解.【小问1详解】∵，，∴.∵是实数，∴，解得.∴，∴.【小问2详解】由（1）知，∴.∵复数对应的点在第四象限，∴，解得，即实数m的取值范围为.16.已知向量．（1）若单位向量与共线，求向量的坐标；（2）若与垂直，求的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可；（2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可.【小问1详解】因为两向量共线，是单位向量，所以设，得到解得或．【小问2详解】因为与垂直，所以，即，解得．17.如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求四棱锥体积．【答案】（1）因为为的中点，且，所以，又因为且，所以且，因此，四边形是平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面；（2）连接，由且，，，可知四边形是正方形，因为，因此，且，在中，，故，在中，，故，在中，，所以，即，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面。（3）1【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证；(2)根据面面垂直的判定定理求证；(3)利用四棱锥的体积公式求解.【小问1详解】略;【小问2详解】略;【小问3详解】因为平面，平面，所以,又因为，且，平面，所以平面,因为平面，所以,因此就是二面角的平面角，即,在中，，，所以,梯形的上底，下底，高，故梯形面积为所以四棱锥的体积为.18.在中，角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若的面积为，且，求的周长．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解；（2）根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式求出；（3）根据三角形面积公式和余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，则，因为，则，故．【小问2详解】∵，且,∴，∵，，∴，解得，∵，∴，∴，∴.【小问3详解】∵，∴，由余弦定理得，∴，又，∴，则，∴，于是的周长．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，（1）求证：平面；（2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面；（3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明平面；（2）易证四边形是平行四边形，进而根据线面平行的判断定理证明即可；（3）由（1）可知平面平面，进而可知是