小学五年级数学《因数和倍数》第2课时深度探究教学设计

小学五年级数学《因数和倍数》第2课时深度探究教学设计一、教学内容分析（一）教材地位与作用【核心·奠基】本课是小学人教版五年级下册第二单元《因数和倍数》的第二课时，是在学生第一课时初步理解了因数与倍数的概念及其相互依存关系的基础上，进行的深度探究与技能建构课。本课时的核心任务是从概念理解转向方法掌握与规律探寻，即引导学生自主探究并掌握找一个数的因数和倍数的方法，通过观察、比较、归纳，发现并概括出一个数的因数与倍数的基本性质（如个数有限/无限、最大/最小等）。这部分内容是数论知识在小学阶段的基础模块，它不仅是后续学习2、5、3的倍数特征、质数、合数、公因数、公倍数以及约分、通分的重要前提，更是培养学生逻辑思维、有序思考能力和抽象概括能力的关键载体，在整个小学数学知识体系中起着承上启下的枢纽作用。（二）核心概念与知识结构【重要】本课时的知识体系主要围绕“方法”与“特征”两条主线展开：1.方法建构：掌握有序找一个数的因数的方法（“列举法”中的“一对一”找法）；掌握有序找一个数的倍数的方法（用该数乘以非零自然数）。2.特征归纳：通过对比大量的例子，引导学生归纳出一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3.概念辨析：进一步巩固因数与倍数的相互依存关系，并初步渗透集合思想，会用集合圈表示一个数的因数或倍数。二、学情分析（一）学生知识起点【基础】学生已经系统地掌握了整数四则运算，尤其是乘除法的意义，并且在第一课时中，已经结合具体的算式（如12÷2=6）理解了因数与倍数的概念，明确了“相互依存”的关系以及研究的数范围（非0自然数）。这为本节课从概念走向方法，从个别认识走向一般规律的探寻奠定了坚实的基础。（二）可能存在的认知障碍与难点1.【难点】找因数时的“有序思考”与“不重复不遗漏”：学生最初寻找一个数的因数时，往往会凭借直觉随意地、无序地写，容易出现重复或遗漏。如何引导他们形成一种有条理、有逻辑的思考方式（如从1开始一对一对地找），是本节课需要着力突破的关键点。2.【难点】对“无限”与“有限”的抽象理解：学生虽然能列举出一些倍数，但很难从感性认识上升到理性认识，真正理解为什么一个数的倍数是“无限”的，而因数的个数是“有限”的。这需要借助实例和逻辑推演来帮助学生建构。3.【易混点】区分“倍数”与“倍”：学生在前期学习“倍的认识”时，已经建立了“倍”的概念（表示两个量之间的关系，可以是小数倍）。这与本单元中特指整数范围内“倍数”的概念容易混淆，需要进行必要的辨析。三、教学目标设定依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域的要求，结合核心素养导向，确立本课时教学目标如下：1.【知识与技能】掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练、有序、不重复不遗漏地找出100以内某个自然数的所有因数，能找出10以内某个自然数在100以内的所有倍数。2.【过程与方法】经历自主探究、合作交流的学习过程，通过观察、比较、分析、归纳，发现并概括出一个数的因数与倍数的基本特征（有限对无限、最小最大等），培养抽象概括能力和逻辑推理能力。3.【情感态度与价值观】在有序思考和解决问题的过程中，感受数学思考的条理性与严谨性，体验成功的乐趣，初步养成乐于思考、善于反思的良好学习习惯。四、教学重难点1.【教学重点】掌握有序找一个数的因数和倍数的方法。2.【教学难点】理解并掌握一个数的因数与倍数的特征，特别是理解因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。五、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT）、数字卡片。学生准备：练习本、每人一张写有数字（如18、24、30等）的学习单。六、教学过程设计与实施（一）温故知新，激活思维——建立新旧知识联结【设计意图：通过回顾旧知，激活学生已有的概念体系，并以问题驱动，引发认知冲突，激发学生探究“如何找”和“找全”的内驱力。】1.情境引入：课件出示算式“15÷5=3”。（【基础】）2.问题链驱动：师：同学们，请看大屏幕，谁能根据这个算式，用“因数”和“倍数”来说一句话？预设：15是5和3的倍数，5和3是15的因数。师：说得非常准确！强调了“相互依存”。那老师还想知道，15的因数除了5和3，还有吗？你们能帮老师找全15所有的因数吗？说说你是怎么找的。3.活动预设：学生可能会说出1和15。此时，教师追问：“看来一个数的因数不止一个。那如果我们想找一个数所有的因数，有没有什么好方法可以既不漏掉，也不重复呢？”由此自然引出课题：今天我们就来深入探究“找一个数的因数和倍数”的方法。（板书课题：因数和倍数（2）——找因数和倍数）（二）聚焦因数，探究方法——从无序走向有序【设计意图：以“18的因数有哪些”为核心问题，放手让学生尝试，暴露其原始思维（无序、遗漏），通过对比、交流、优化，引导他们自主建构出“一对一、有序找”的方法，将隐性的思维策略显性化。】1.【核心】初次尝试，暴露思维：师：我们先来研究第一个数——18。请同学们在自己的练习本上，试着写出18的所有因数。比一比，看谁写得又快又全。（学生独立尝试，教师巡视，收集典型资源：有遗漏的、有重复的、无序写的、有序写的。）2.展示交流，碰撞思维：师：老师收集了几位同学的作品，我们一起来看看。展示一：1,18,2,9,3,6。（虽全但显得杂乱）展示二：1,2,3,6,9,18。（有序排列）展示三：1,18,2,9,3,6,还有4,5。（出现错误与遗漏）师：请这几位同学分别说说自己是怎么想的。大家来评一评，你欣赏哪种写法？为什么？预设：学生通过对比，会倾向于第二种，因为它看起来整齐、有规律。3.【重要】方法揭秘，建构模型：师：要想找得全、找得准，秘诀就在于“有序思考”。怎么个“有序”法呢？我们可以借助除法或乘法来帮忙。方法一：除法思路（从1除起）。用18除以非零自然数1,2,3……，看哪些除法算式商是整数且没有余数。18÷1=18，说明1和18是18的因数；18÷2=9，说明2和9是18的因数；18÷3=6，说明3和6是18的因数；18÷4——商不是整数，不符合；18÷5——商不是整数，不符合；继续往下除，当除到6时，6和3已经出现过了，再往后除就会出现重复。所以，当我们除到商接近或等于除数时，就可以停止了。方法二：乘法思路（一对一找）。想哪两个整数相乘等于18。1×18=18；2×9=18；3×6=18。师：（边讲边用课件演示配对过程）同学们看，无论是用除法还是乘法，我们都是在“一对一对”地找因数。这样从1开始，由小到大，一对一对地找，就能保证既不重复，也不遗漏！我们通常把找出来的因数按从小到大的顺序排列。4.即时练习，内化方法：师：请同学们用刚才学到的方法，找出24和36的所有因数。（【重要】）（学生独立完成，指名板演，集体订正。重点检查学生是否“一对一对”有序地找，是否写出了所有因数。如24：1,2,3,4,6,8,12,24。36：1,2,3,4,6,9,12,18,36。强调当遇到像36÷6=6这样两个因数相同的情况时，只写一个6。）5.观察发现，探寻特征（一）：师：观察我们找出的18、24、36的因数，你们有什么发现吗？比如，它们的个数是有限的还是无限的？每个数的因数中，最小的是几？最大的呢？预设：学生通过观察，能发现一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。（教师根据学生回答，板书：【难点】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。）（三）自主迁移，探究倍数——类比推理与无限思想的渗透【设计意图：利用方法的正迁移，让学生自主探究找一个数的倍数的方法。重点在于引导学生理解为什么倍数是“写不完”的，从而自然而然地理解“无限”的含义，并会用省略号或集合图来表示。】1.【核心】问题引路，自主探究：师：刚才我们成功攻破了找因数的堡垒，现在来看看倍数。请同学们找一找“2的倍数有哪些”？试着写一写。（学生尝试，教师巡视。很快就会有学生发现写不完。）2.展示交流，碰撞思维：师：老师看到很多同学还在埋头苦写，但有的同学已经停笔了。我们请停笔的同学说说，为什么停下了？你们找到了几个？预设：2的倍数有2,4,6,8,10……，太多了，写不完。师：那你们是用什么方法找到这些倍数的？预设：用2乘1、乘2、乘3、乘4……，也就是用2依次乘以非零自然数。3.方法建模与符号化表达：师：说得非常好！找一个数的倍数，就是用这个数依次去乘1,2,3,4,5……。因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。我们永远也写不完，所以在列举时，通常只需要写出几个，后面用“……”来表示。（板书：2的倍数有：2,4,6,8,10,……）师：我们还可以用集合图来表示2的倍数。（课件展示集合圈，里面写上“2,4,6,8,10,……”）4.【重要】即时练习，巩固方法：师：请同学们用这种方法，找出3和5的倍数。（指名回答，教师板书或课件展示。重点检查是否写了省略号，理解无限性。）5.观察发现，探寻特征（二）：师：现在我们来对比一下因数和倍数，看看你能发现关于倍数的什么特征？比如，2的最小倍数是几？3的最小倍数是几？5呢？有最大的倍数吗？预设：学生通过讨论，能发现一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。（教师根据学生回答，板书：【难点】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。）（四）深化理解，辨析提升——沟通联系，完善认知结构【设计意图：通过对比练习和概念辨析，帮助学生进一步巩固找因数与倍数的方法，深刻理解二者的区别与联系，完善认知结构，并初步渗透公因数、公倍数的思想。】1.【热点】对比辨析，深化理解：师：我们一起来完成一个对比练习。请大家拿出学习单，完成下表（或课件出示表格）。|数字|因数（全部）|倍数（从小到大写5个）||:|:|:||7|1,7|7,14,21,28,35,……||11|1,11|11,22,33,44,55,……||1|1|1,2,3,4,5,……|师：观察这个表格，你有什么新的发现或思考？引导学生交流：（1）像7、11这样的数，因数只有1和它本身。（2）1非常特殊，它只有1个因数。（3）任何一个非0自然数的最小倍数和最大因数都是它本身。2.概念辨析：“倍数”与“倍”：师：我们以前学过“倍”，比如“10是5的2倍”。想一想，今天我们学的“倍数”和以前学的“倍”一样吗？师：（引导）以前学的“倍”可以表示小数倍，比如“2.5是0.5的5倍”；而我们今天研究的“倍数”是在整数范围内，而且必须是在整除的情况下，与“因数”相互依存的概念。它们有联系，但在整数研究范畴内，我们使用“倍数”这个词时，要更严谨。3.思维拓展，游戏激趣：师：我们来玩一个“找朋友”的游戏。请学号是18的因数的同学站起来。（学号1,2,3,6,9,18的学生站起）师：请学号是5的倍数的同学站起来。（学号5,10,15,20,25……的学生陆续站起，可能会有学生站着不动，引发思考为什么有人一直站着？）师：通过这个游戏，你有什么想说的？预设：有的同学既是18的因数，又是5的倍数（比如学号1）。这初步渗透了公因数和公倍数的概念。（五）分层练习，巩固应用——在应用中深化理解【设计意图：设计有层次、有梯度的练习题，让不同层次的学生都能在练习中获得发展，将知识转化为技能，并能在简单的生活情境中加以应用。】1.【基础】基本练习：（1）写出下面各数的因数。（2）写出下面各数的倍数（各写5个）。479132.【重要】判断对错，并说明理由。（1）一个数的因数一定比这个数小。（×，也可能相等，如它本身）（2）一个数的倍数一定比这个数大。（×，最小倍数等于它本身）（3）1是所有非0自然数的因数。（√）（4）因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数。（×，表述不严谨，应该说56是7和8的倍数，7和8是56的因数）3.【难点】综合应用。（1）一个数既是42的因数，又是7的倍数。这个数可能是多少？（7,14,21,42）（2）一个非零自然数的最小倍数是18，它的最大因数是多少？（18）4.【拓展】联系生活。五（1）班进行队列表演，要求每排人数相等，可以排成4排，也可以排成6排。猜一猜，五（1）班至少有多少人？（求4和6的最小公倍数，即12人。此题为后续学习做铺垫，学生只要能通过列举4和6的倍数，找到共同的最小倍数即可。）七、板书设计【设计意图：板书应体现知识的结构化，清晰呈现核心方法、核心概念与核心规律，成为学生一节课学习的“思维导图”。】小学五年级数学《因数和倍数》第2课时深度探究教学设计一、教学内容分析（一）教材地位与作用【核心·奠基】本课是小学人教版五年级下册第二单元《因数和倍数》的第二课时，是在学生第一课时初步理解了因数与倍数的概念及其相互依存关系的基础上，进行的深度探究与技能建构课。本课时的核心任务是从概念理解转向方法掌握与规律探寻，即引导学生自主探究并掌握找一个数的因数和倍数的方法，通过观察、比较、归纳，发现并概括出一个数的因数与倍数的基本性质（如个数有限/无限、最大/最小等）。这部分内容是数论知识在小学阶段的基础模块，它不仅是后续学习2、5、3的倍数特征、质数、合数、公因数、公倍数以及约分、通分的重要前提，更是培养学生逻辑思维、有序思考能力和抽象概括能力的关键载体，在整个小学数学知识体系中起着承上启下的枢纽作用。（二）核心概念与知识结构【重要】本课时的知识体系主要围绕“方法”与“特征”两条主线展开：1.方法建构：掌握有序找一个数的因数的方法（“列举法”中的“一对一”找法）；掌握有序找一个数的倍数的方法（用该数乘以非零自然数）。2.特征归纳：通过对比大量的例子，引导学生归纳出一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3.概念辨析：进一步巩固因数与倍数的相互依存关系，并初步渗透集合思想，会用集合圈表示一个数的因数或倍数。二、学情分析（一）学生知识起点【基础】学生已经系统地掌握了整数四则运算，尤其是乘除法的意义，并且在第一课时中，已经结合具体的算式（如12÷2=6）理解了因数与倍数的概念，明确了“相互依存”的关系以及研究的数范围（非0自然数）。这为本节课从概念走向方法，从个别认识走向一般规律的探寻奠定了坚实的基础。（二）可能存在的认知障碍与难点1.【难点】找因数时的“有序思考”与“不重复不遗漏”：学生最初寻找一个数的因数时，往往会凭借直觉随意地、无序地写，容易出现重复或遗漏。如何引导他们形成一种有条理、有逻辑的思考方式（如从1开始一对一对地找），是本节课需要着力突破的关键点。2.【难点】对“无限”与“有限”的抽象理解：学生虽然能列举出一些倍数，但很难从感性认识上升到理性认识，真正理解为什么一个数的倍数是“无限”的，而因数的个数是“有限”的。这需要借助实例和逻辑推演来帮助学生建构。3.【易混点】区分“倍数”与“倍”：学生在前期学习“倍的认识”时，已经建立了“倍”的概念（表示两个量之间的关系，可以是小数倍）。这与本单元中特指整数范围内“倍数”的概念容易混淆，需要进行必要的辨析。三、教学目标设定依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域的要求，结合核心素养导向，确立本课时教学目标如下：1.【知识与技能】掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练、有序、不重复不遗漏地找出100以内某个自然数的所有因数，能找出10以内某个自然数在100以内的所有倍数。2.【过程与方法】经历自主探究、合作交流的学习过程，通过观察、比较、分析、归纳，发现并概括出一个数的因数与倍数的基本特征（有限对无限、最小最大等），培养抽象概括能力和逻辑推理能力。3.【情感态度与价值观】在有序思考和解决问题的过程中，感受数学思考的条理性与严谨性，体验成功的乐趣，初步养成乐于思考、善于反思的良好学习习惯。四、教学重难点1.【教学重点】掌握有序找一个数的因数和倍数的方法。2.【教学难点】理解并掌握一个数的因数与倍数的特征，特别是理解因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。五、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT）、数字卡片。学生准备：练习本、每人一张写有数字（如18、24、30等）的学习单。六、教学过程设计与实施（一）温故知新，激活思维——建立新旧知识联结【设计意图：通过回顾旧知，激活学生已有的概念体系，并以问题驱动，引发认知冲突，激发学生探究“如何找”和“找全”的内驱力。】1.情境引入：课件出示算式“15÷5=3”。（【基础】）2.问题链驱动：师：同学们，请看大屏幕，谁能根据这个算式，用“因数”和“倍数”来说一句话？预设：15是5和3的倍数，5和3是15的因数。师：说得非常准确！强调了“相互依存”。那老师还想知道，15的因数除了5和3，还有吗？你们能帮老师找全15所有的因数吗？说说你是怎么找的。3.活动预设：学生可能会说出1和15。此时，教师追问：“看来一个数的因数不止一个。那如果我们想找一个数所有的因数，有没有什么好方法可以既不漏掉，也不重复呢？”由此自然引出课题：今天我们就来深入探究“找一个数的因数和倍数”的方法。（板书课题：因数和倍数（2）——找因数和倍数）（二）聚焦因数，探究方法——从无序走向有序【设计意图：以“18的因数有哪些”为核心问题，放手让学生尝试，暴露其原始思维（无序、遗漏），通过对比、交流、优化，引导他们自主建构出“一对一、有序找”的方法，将隐性的思维策略显性化。】1.【核心】初次尝试，暴露思维：师：我们先来研究第一个数——18。请同学们在自己的练习本上，试着写出18的所有因数。比一比，看谁写得又快又全。（学生独立尝试，教师巡视，收集典型资源：有遗漏的、有重复的、无序写的、有序写的。）2.展示交流，碰撞思维：师：老师收集了几位同学的作品，我们一起来看看。展示一：1,18,2,9,3,6。（虽全但显得杂乱）展示二：1,2,3,6,9,18。（有序排列）展示三：1,18,2,9,3,6,还有4,5。（出现错误与遗漏）师：请这几位同学分别说说自己是怎么想的。大家来评一评，你欣赏哪种写法？为什么？预设：学生通过对比，会倾向于第二种，因为它看起来整齐、有规律。3.【重要】方法揭秘，建构模型：师：要想找得全、找得准，秘诀就在于“有序思考”。怎么个“有序”法呢？我们可以借助除法或乘法来帮忙。方法一：除法思路（从1除起）。用18除以非零自然数1,2,3……，看哪些除法算式商是整数且没有余数。18÷1=18，说明1和18是18的因数；18÷2=9，说明2和9是18的因数；18÷3=6，说明3和6是18的因数；18÷4——商不是整数，不符合；18÷5——商不是整数，不符合；继续往下除，当除到6时，6和3已经出现过了，再往后除就会出现重复。所以，当我们除到商接近或等于除数时，就可以停止了。方法二：乘法思路（一对一找）。想哪两个整数相乘等于18。1×18=18；2×9=18；3×6=18。师：（边讲边用课件演示配对过程）同学们看，无论是用除法还是乘法，我们都是在“一对一对”地找因数。这样从1开始，由小到大，一对一对地找，就能保证既不重复，也不遗漏！我们通常把找出来的因数按从小到大的顺序排列。4.即时练习，内化方法：师：请同学们用刚才学到的方法，找出24和36的所有因数。（【重要】）（学生独立完成，指名板演，集体订正。重点检查学生是否“一对一对”有序地找，是否写出了所有因数。如24：1,2,3,4,6,8,12,24。36：1,2,3,4,6,9,12,18,36。强调当遇到像36÷6=6这样两个因数相同的情况时，只写一个6。）5.观察发现，探寻特征（一）：师：观察我们找出的18、24、36的因数，你们有什么发现吗？比如，它们的个数是有限的还是无限的？每个数的因数中，最小的是几？最大的呢？预设：学生通过观察，能发现一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。（教师根据学生回答，板书：【难点】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。）（三）自主迁移，探究倍数——类比推理与无限思想的渗透【设计意图：利用方法的正迁移，让学生自主探究找一个数的倍数的方法。重点在于引导学生理解为什么倍数是“写不完”的，从而自然而然地理解“无限”的含义，并会用省略号或集合图来表示。】1.【核心】问题引路，自主探究：师：刚才我们成功攻破了找因数的堡垒，现在来看看倍数。请同学们找一找“2的倍数有哪些”？试着写一写。（学生尝试，教师巡视。很快就会有学生发现写不完。）2.展示交流，碰撞思维：师：老师看到很多同学还在埋头苦写，但有的同学已经停笔了。我们请停笔的同学说说，为什么停下了？你们找到了几个？预设：2的倍数有2,4,6,8,10……，太多了，写不完。师：那你们是用什么方法找到这些倍数的？预设：用2乘1、乘2、乘3、乘4……，也就是用2依次乘以非零自然数。3.方法建模与符号化表达：师：说得非常好！找一个数的倍数，就是用这个数依次去乘1,2,3,4,5……。因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。我们永远也写不完，所以在列举时，通常只需要写出几个，后面用“……”来表示。（板书：2的倍数有：2,4,6,8,10,……）师：我们还可以用集合图来表示2的倍数。（课件展示集合圈，里面写上“2,4,6,8,10,……”）4.【重要】即时练习，巩固方法：师：请同学们用这种方法，找出3和5的倍数。（指名回答，教师板书或课件展示。重点检查是否写了省略号，理解无限性。）5.观察发现，探寻特征（二）：师：现在我们来对比一下因数和倍数，看看你能发现关于倍数的什么特征？比如，2的最小倍数是几？3的最小倍数是几？5呢？有最大的倍数吗？预设：学生通过讨论，能发现一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。（教师根据学生回答，板书：【难点】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。）（四）深化理解，辨析提升——沟通联系，完善认知结构【设计意图：通过对比练习和概念辨析，帮助学生进一步巩固找因数与倍数的方法，深刻理解二者的区别与联系，完善认知结构，并初步渗透公因数、公倍数的思想。】1.【热点】对比辨析，深化理解：师：我们一起来完成一个对比练习。请大家拿出学习单，完成下表（或课件出示表格）。|数字|因数（全部）|倍数（从小到大写5个）||:|:|:||7|1,7|7,14,21,28,35,……||11|1,11|11,22,33,44,55,……||1|1|1,2,3,4,5,……|师：观察这个表格，你有什么新的发现或思考？引导学生交流：（1）像7、11这样的数，因数只有1和它本身。（2）1非常特殊，它只有1个因数。（3）任何一个非0自然数的最小倍数和最大因数都是它本身。2.概念辨析：“倍数”与“倍”：师：我们以前学过“倍”，比如“10是5的2倍”。想一想，今天我们学的“倍数”和以前学的“倍”一样吗？师：（引导）以前学的“倍”可以表示小数倍，比如“2.5是0.5的5倍”；而我们今天研究的“倍数”是在整数范围内，而且必须是在整除的情况下，与“因数”相互依存的概念。它们有联系，但在整数研究范畴内，我们使用“倍数”这个词时，要更严谨。3.思维拓展，游戏激趣：师：我们来玩一个“找朋友”的游戏。请学号是18的因数的同学站起来。（学号1,2,3,6,9,18的学生站起）师：请学号是5的倍数的同学站起来。（学号5,10,15,20,25……的学生陆续站起，可能会有学生站着不动，引发思考为什么有人一直站着？）师：通过这个游戏，你有什么想说的？预设：有的同学既是18的因数，又是5的倍数（比如学号1）。这初步渗透了公因数和公倍数的概念。（五）分层练习，巩固应用——在应用中深化理解【设计意图：设计有层次、有梯度的练习题，让不同层次的学生都能在练习中获得发展，将知识转化为技能，并能在简单的生活情境中加以应用。】1.【基础】基本练习：（1）写出下面各数的因数。（2）写出下面各数的倍数（各写5个）。479132.【重要】判断对错，并说明理由。（1）一个数的因数一定比这个数小。（×，也可能相等，如它本身）（2）一个数的倍数一定比这个数大。（×，最小倍数等于它本身）（3）1是所有非0自然数的因数。（√）（4）因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数。（×，表述不严谨，应该说56是7和8的倍数，7和8是56的因数）3.【难点】综合应用。（1）一个数既是42的因数，又是7的倍数。这个数可能是多少？（7,14,21,42）（2）一个非零自然数的最小倍数是18，它的最大因数是多少？（18）4.【拓展】联系生活。五（1）班进行队列表演，要求每排人数相等，可以排成4排，也可以排成6排。猜一猜，五（1）班至少有多少人？（求4和6的最小公倍数，即12人。此题为后续学习做铺垫，学生只要能通过列举4和6的倍数，找到共同的最小倍数即可。）七、板书设计【设计意图：板书应体现知识的结构化，清晰呈现核心方法、核心概念与核心规律，成为学生一节课学习的“思维导图”。】小学五年级数学《因数和倍数》第2课时深度探究教学设计一、教学内容分析（一）教材地位与作用【核心·奠基】本课是小学人教版五年级下册第二单元《因数和倍数》的第二课时，是在学生第一课时初步理解了因数与倍数的概念及其相互依存关系的基础上，进行的深度探究与技能建构课。本课时的核心任务是从概念理解转向方法掌握与规律探寻，即引导学生自主探究并掌握找一个数的因数和倍数的方法，通过观察、比较、归纳，发现并概括出一个数的因数与倍数的基本性质（如个数有限/无限、最大/最小等）。这部分内容是数论知识在小学阶段的基础模块，它不仅是后续学习2、5、3的倍数特征、质数、合数、公因数、公倍数以及约分、通分的重要前提，更是培养学生逻辑思维、有序思考能力和抽象概括能力的关键载体，在整个小学数学知识体系中起着承上启下的枢纽作用。（二）核心概念与知识结构【重要】本课时的知识体系主要围绕“方法”与“特征”两条主线展开：1.方法建构：掌握有序找一个数的因数的方法（“列举法”中的“一对一”找法）；掌握有序找一个数的倍数的方法（用该数乘以非零自然数）。2.特征归纳：通过对比大量的例子，引导学生归纳出一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3.概念辨析：进一步巩固因数与倍数的相互依存关系，并初步渗透集合思想，会用集合圈表示一个数的因数或倍数。二、学情分析（一）学生知识起点【基础】学生已经系统地掌握了整数四则运算，尤其是乘除法的意义，并且在第一课时中，已经结合具体的算式（如12÷2=6）理解了因数与倍数的概念，明确了“相互依存”的关系以及研究的数范围（非0自然数）。这为本节课从概念走向方法，从个别认识走向一般规律的探寻奠定了坚实的基础。（二）可能存在的认知障碍与难点1.【难点】找因数时的“有序思考”与“不重复不遗漏”：学生最初寻找一个数的因数时，往往会凭借直觉随意地、无序地写，容易出现重复或遗漏。如何引导他们形成一种有条理、有逻辑的思考方式（如从1开始一对一对地找），是本节课需要着力突破的关键点。2.【难点】对“无限”与“有限”的抽象理解：学生虽然能列举出一些倍数，但很难从感性认识上升到理性认识，真正理解为什么一个数的倍数是“无限”的，而因数的个数是“有限”的。这需要借助实例和逻辑推演来帮助学生建构。3.【易混点】区分“倍数”与“倍”：学生在前期学习“倍的认识”时，已经建立了“倍”的概念（表示两个量之间的关系，可以是小数倍）。这与本单元中特指整数范围内“倍数”的概念容易混淆，需要进行必要的辨析。三、教学目标设定依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域的要求，结合核心素养导向，确立本课时教学目标如下：1.【知识与技能】掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练、有序、不重复不遗漏地找出100以内某个自然数的所有因数，能找出10以内某个自然数在100以内的所有倍数。2.【过程与方法】经历自主探究、合作交流的学习过程，通过观察、比较、分析、归纳，发现并概括出一个数的因数与倍数的基本特征（有限对无限、最小最大等），培养抽象概括能力和逻辑推理能力。3.【情感态度与价值观】在有序思考和解决问题的过程中，感受数学思考的条理性与严谨性，体验成功的乐趣，初步养成乐于思考、善于反思的良好学习习惯。四、教学重难点1.【教学重点】掌握有序找一个数的因数和倍数的方法。2.【教学难点】理解并掌握一个数的因数与倍数的特征，特别是理解因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。五、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT）、数字卡片。学生准备：练习本、每人一张写有数字（如18、24、30等）的学习单。六、教学过程设计与实施（一）温故知新，激活思维——建立新旧知识联结【设计意图：通过回顾旧知，激活学生已有的概念体系，并以问题驱动，引发认知冲突，激发学生探究“如何找”和“找全”的内驱力。】1.情境引入：课件出示算式“15÷5=3”。（【基础】）2.问题链驱动：师：同学们，请看大屏幕，谁能根据这个算式，用“因数”和“倍数”来说一句话？预设：15是5和3的倍数，5和3是15的因数。师：说得非常准确！强调了“相互依存”。那老师还想知道，15的因数除了5和3，还有吗？你们能帮老师找全15所有的因数吗？说说你是怎么找的。3.活动预设：学生可能会说出1和15。此时，教师追问：“看来一个数的因数不止一个。那如果我们想找一个数所有的因数，有没有什么好方法可以既不漏掉，也不重复呢？”由此自然引出课题：今天我们就来深入探究“找一个数的因数和倍数”的方法。（板书课题：因数和倍数（2）——找因数和倍数）（二）聚焦因数，探究方法——从无序走向有序【设计意图：以“18的因数有哪些”为核心问题，放手让学生尝试，暴露其原始思维（无序、遗漏），通过对比、交流、优化，引导他们自主建构出“一对一、有序找”的方法，将隐性的思维策略显性化。】1.【核心】初次尝试，暴露思维：师：我们先来研究第一个数——18。请同学们在自己的练习本上，试着写出18的所有因数。比一比，看谁写得又快又全。（学生独立尝试，教师巡视，收集典型资源：有遗漏的、有重复的、无序写的、有序写的。）2.展示交流，碰撞思维：师：老师收集了几位同学的作品，我们一起来看看。展示一：1,18,2,9,3,6。（虽全但显得杂乱）展示二：1,2,3,6,9,18。（有序排列）展示三：1,18,2,9,3,6,还有4,5。（出现错误与遗漏）师：请这几位同学分别说说自己是怎么想的。大家来评一评，你欣赏哪种写法？为什么？预设：学生通过对比，会倾向于第二种，因为它看起来整齐、有规律。3.【重要】方法揭秘，建构模型：师：要想找得全、找得准，秘诀就在于“有序思考”。怎么个“有序”法呢？我们可以借助除法或乘法来帮忙。方法一：除法思路（从1除起）。用18除以非零自然数1,2,3……，看哪些除法算式商是整数且没有余数。18÷1=18，说明1和18是18的因数；18÷2=9，说明2和9是18的因数；18÷3=6，说明3和6是18的因数；18÷4——商不是整数，不符合；18÷5——商不是整数，不符合；继续往下除，当除到6时，6和3已经出现过了，再往后除就会出现重复。所以，当我们除到商接近或等于除数时，就可以停止了。方法二：乘法思路（一对一找）。想哪两个整数相乘等于18。1×18=18；2×9=18；3×6=18。师：（边讲边用课件演示配对过程）同学们看，无论是用除法还是乘法，我们都是在“一对一对”地找因数。这样从1开始，由小到大，一对一对地找，就能保证既不重复，也不遗漏！我们通常把找出来的因数按从小到大的顺序排列。4.即时练习，内化方法：师：请同学们用刚才学到的方法，找出24和36的所有因数。（【重要】）（学生独立完成，指名板演，集体订正。重点检查学生是否“一对一对”有序地找，是否写出了所有因数。如24：1,2,3,4,6,8,12,24。36：1,2,3,4,6,9,12,18,36。强调当遇到像36÷6=6这样两个因数相同的情况时，只写一个6。）5.观察发现，探寻特征（一）：师：观察我们找出的18、24、36的因数，你们有什么发现吗？比如，它们的个数是有限的还是无限的？每个数的因数中，最小的是几？最大的呢？预设：学生通过观察，能发现一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。（教师根据学生回答，板书：【难点】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。）（三）自主迁移，探究倍数——类比推理与无限思想的渗透【设计意图：利用方法的正迁移，让学生自主探究找一个数的倍数的方法。重点在于引导学生理解为什么倍数是“写不完”的，从而自然而然地理解“无限”的含义，并会用省略号或集合图来表示。】1.【核心】问题引路，自主探究：师：刚才我们成功攻破了找因数的堡垒，现在来看看倍数。请同学们找一找“2的倍数有哪些”？试着写一写。（学生尝试，教师巡视。很快就会有学生发现写不完。）2.展示交流，碰撞思维：师：老师看到很多同学还在埋头苦写，但有的同学已经停笔了。我们请停笔的同学说说，为什么停下了？你们找到了几个？预设：2的倍数有2,4,6,8,10……，太多了，写不完。师：那你们是用什么方法找到这些倍数的？预设：用2乘1、乘2、乘3、乘4……，也就是用2依次乘以非零自然数。3.方法建模与符号化表达：师：说得非常好！找一个数的倍数，就是用这个数依次去乘1,2,3,4,5……。因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。我们永远也写不完，所以在列举时，通常只需要写出几个，后面用“……”来表示。（板书：2的倍数有：2,4,6,8,10,……）师：我们还可以用集合图来表示2的倍数。（课件展示集合圈，里面写上“2,4,6,8,10,……”）4.【重要】即时练习，巩固方法：师：请同学们用这种方法，找出3和5的倍数。（指名回答，教师板书或课件展示。重点检查是否写了省略号，理解无限性。）5.观察发现，探寻特征（二）：师：现在我们来对比一下因数和倍数，看看你能发现关于倍数的什么特征？比如，2的最小倍数是几？3的最小倍数是几？5呢？有最大的倍数吗？预设：学生通过讨论，能发现一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。（教师根据学生回答，板书：【难点】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。）（四）深化理解，辨析提升——沟通联系，完善认知结构【设计意图：通过对比练习和概念辨析，帮助学生进一步巩固找因数与倍数的方法，深刻理解二者的区别与联系，完善认知结构，并初步渗透公因数、公倍数的思想。】1.【热点】对比辨析，深化理解：师：我们一起来完成一个对比练习。请大家拿出学习单，完成下表（或课件出示表格）。|数字|因数（全部）|倍数（从小到大写5个）||:|:|:||7|1,7|7,14,21,28,35,……||11|1,11|11,22,33,44,55,……||1|1|1,2,3,4,5,……|师：观察这个表格，你有什么新的发现或思考？引导学生交流：（1）像7、11这样的数，因数只有1和它本身。（2）1非常特殊，它只有1个因数。（3）任何一个非0自然数的最小倍数和最大因数都是它本身。2.概念辨析：“倍数”与“倍”：师：我们以前学过“倍”，比如“10是5的2倍”。想一想，今天我们学的“倍数”和以前学的“倍”一样吗？师：（引导）以前学的“倍”可以表示小数倍，比如“2.5是0.5的5倍”；而我们今天研究的“倍数”是在整数范围内，