小学数学四年级上册《重叠问题》大单元教学设计（北京版）

小学数学四年级上册《重叠问题》大单元教学设计（北京版）一、大单元整体设计思路【基础】本单元“数学百花园”旨在通过生活化的素材，向学生渗透重要的数学思想方法。“重叠问题”作为其中的起始内容，其核心是引入“集合”这一基础数学概念。从知识体系上看，学生在低年级已经接触过分类、统计以及用封闭曲线圈表示一个整体（如一群羊、一堆水果），这些都为本节课学习两个集合的交集奠定了基础1。本设计以大观念“整体等于各部分之和减去重复部分”为统领，打破传统单一课时的局限，将“重叠问题”置于整个单元的视角下进行重构。我们不仅关注本节课对两个集合交集的计算，更着眼于为学生后续学习更复杂的容斥原理、甚至是三维文氏图的雏形埋下伏笔。通过创设连续性强、有内在逻辑的“班级之星”评选大情境，将统计表、集合图、算式解三者紧密勾连，让学生在解决真实问题的过程中，经历“发现重复—创造图示—理解本质—建立模型—灵活应用”的完整思维链条，实现从具体生活经验到抽象数学模型的跨越。二、课时教学设计《重叠问题》（一）教学内容分析【重要】本节课是北京版四年级上册第十单元“数学百花园”中的第一课时1。教学内容是在学生已有的生活经验和知识基础上，借助学生熟悉的评选“读书之星”和“口算之星”的情境，引导学生发现名单中的“重复”现象，制造认知冲突。进而鼓励学生用自己的方式（如画图、摆名字、列式）把获奖名单中的关系清晰地表达出来，在对比、交流中逐步抽象出韦恩图（Venn图）模型，理解图中每一部分（只A、只B、既A又B）的实际含义，并掌握计算总人数的两种基本方法：分量相加（只A+既A又B+只B）和总量相减（A+B既A又B）24。本节课是学生第一次正式接触集合思想，是培养抽象思维和建模能力的重要载体。（二）学情分析【基础】四年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于“重复”的生活现象有直观感受，比如一个同学可以同时是两个兴趣小组的成员，但在数学计算时，往往容易忽略“重复”部分，习惯性地将两个独立群体的数量直接相加。这种生活经验与数学事实之间的矛盾，恰恰是本课最佳的切入点1。学生在尝试解决“一共多少人”的问题时，会产生强烈的认知冲突，从而激发他们探究新方法、新表达的内在需求。他们已经具备了一定的动手操作能力和合作学习经验，能够在小组内通过摆弄学具（姓名卡片）、讨论交流，共同创造出能够表示“重叠”关系的图示。（三）教学目标1.知识与技能：【重要】学生在解决实际问题的过程中，初步体会集合思想，认识并理解韦恩图各部分（只参加A、只参加B、既参加A又参加B）的含义。掌握解决简单重叠问题的基本方法：两部分之和减去重叠部分。2.过程与方法：通过观察、猜测、操作、交流等活动，经历韦恩图的创造过程，能借助韦恩图分析数量关系，并能用不同的方法（分步、综合）列式解答，培养观察能力和抽象概括能力。3.情感态度与价值观：在参与数学活动的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会用图示解决问题的简洁性与直观性，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和信心5。（四）教学重难点1.教学重点：【高频考点】理解重叠问题的数量关系，借助直观图（韦恩图）掌握解决此类问题的方法。2.教学难点：【难点】理解韦恩图中重叠部分的意义，并能用不同的方法列式计算总人数。（五）教学准备PPT课件、磁性黑板、学生姓名卡片（用于“读书之星”和“口算之星”）、两个可移动的呼啦圈（模拟集合圈）、学习单。（六）教学过程【环节一】创境设疑，引发冲突（预计5分钟）1.情境导入：同学们，咱们班最近开展了一次“阅读与计算小达人”评比活动。经过评选，有5位同学获得了“读书之星”的称号，有6位同学获得了“口算之星”的称号。（课件出示名单统计表）读书之星：李明王芳张伟刘阳口算之星：王芳刘阳陈东周涛孙悦郑爽2.提出问题：请大家根据这两份名单，猜一猜，这次获得“读书之星”和“口算之星”的同学一共有多少人？并说说你是怎么想的。3.预设与冲突：学生根据生活经验，大多会直接列出算式“5+6=11（人）”。此时教师不置可否，而是引导：“到底是11人吗？让我们把获奖的同学请到前面来，亲自数一数好不好？”4.现场站队：请获奖同学拿着自己的名字贴到前面。先请“读书之星”站成一排，再请“口算之星”站成一排。当点到王芳和刘阳时，问题出现了。5.制造冲突：哎呀，王芳和刘阳这两位同学，你们怎么站过来了？你们刚才不是已经在“读书之星”里站过了吗？现在又站到“口算之星”里，那我们数总数的时候，该怎么数他们俩呢？6.揭示课题：大家看，像王芳和刘阳这样，既获得了“读书之星”又获得了“口算之星”的情况，在生活中非常常见，数学上我们把这种现象叫做“重叠”。（板书课题：重叠问题）今天我们就一起来研究如何解决这类问题13。【环节二】操作探究，构建模型（预计20分钟）1.【重要】自主探究，尝试表达：过渡：刚才的站队让我们直观感受到了“重复”，但人不能一直站在讲台上。现在请同学们开动脑筋，在老师发的学习单上，用你喜欢的方法，把这份获奖名单中的关系清晰地表示出来。要求让大家一眼就能看出：哪些人只获得了“读书之星”，哪些人只获得了“口算之星”，哪些人两个都获得了。（学生独立尝试画图或用自己的符号表示，教师巡视，寻找有代表性的作品。）2.展示交流，比较优化：收集学生的典型作品，利用投影仪进行展示交流。（1）第一类：文字列举法（如：读书之星：李明、王芳、张伟、、刘阳；口算之星：陈东、周涛、孙悦、郑爽、王芳、刘阳）。师：这位同学很细心，把名字都列出来了。大家觉得这样表示，能一眼看出谁重复了吗？（引导发现需要对比看，不够直观）（2）第二类：连线法或左右分栏法（左边写读书之星，右边写口算之星，中间把重复的名字连线或用括号括起来）。师：这种方法比第一种进步在哪里？（引导发现：能比较清楚地看到谁和谁重复了。）（3）第三类：图形/符号圈画法（用两个椭圆或圆圈，将名单分开放置，中间有部分重叠，里面写名字或编号）。师：这是哪位小数学家的创意？请你上来给大家讲讲，你的图每一部分表示什么？（【难点突破】重点引导全班同学解读“第三类”作品。让学生明白：左边的圈里住的都是“读书之星”，右边的圈里住的都是“口算之星”。中间这个像“桥”一样连接起来的部分，住的是谁？（生：两个都得的！））3.【核心】认识韦恩图，理解含义：（1）揭示名称：同学们真了不起，你们创造的这个图，和一位19世纪英国伟大的数学家约翰·韦恩（JohnVenn）想到一块儿去了！他发明的这种图，就叫做“韦恩图”，也叫“集合图”19。（板书：韦恩图）它可是我们解决重叠问题的“神器”。（2）动态建构，明晰关系：教师利用课件或黑板，带领学生一起规范地画出韦恩图。①先画一个封闭的椭圆（或圈），表示“读书之星”集合。在这个圈里，应该放进哪些同学的名字？（李明、王芳、张伟、、刘阳）②再画一个封闭的椭圆，表示“口算之星”集合。问题来了，这个圈要画在哪里？引导学生讨论：因为王芳和刘阳两个人既属于左边，又属于右边，所以右边的圈必须和左边的圈有一部分“重叠”在一起。③贴名字，理解各部分：请学生上台，把手中的名字贴到韦恩图的正确位置。关键提问：中间重叠的部分（交集）贴的是谁？（王芳、刘阳）表示什么？（既是……又是……）左边这个月牙形的部分贴的是谁？（李明、张伟、）表示什么？（只是读书之星）右边这个月牙形的部分贴的是谁？（陈东、周涛、孙悦、郑爽）表示什么？（只是口算之星）④数形结合：现在，请同学们看着这个清晰的图，说说获奖的一共有多少人？你是怎么看出来的？预设生1：我是数出来的，3（只读书的）+2（两个都得的）+4（只口算的）=9人。预设生2：我是算出来的，用左边的5人加上右边的6人，但中间的2人被加了两次，所以要减去1次，5+62=9人23。4.回顾总结，建立模型：（1）教师结合板书总结：解决重叠问题，我们可以借助韦恩图，把复杂的关系变得一目了然。计算方法通常有两种：【高频考点】方法一（分部分）：只A的人数+既A又B的人数+只B的人数=总人数。【高频考点】方法二（去重复）：A的总人数+B的总人数既A又B的人数=总人数。（2）追问：为什么要减去“2”？这里的“2”在图上指的是哪一部分？（让学生深刻理解，减法是为了去掉重复计算的部分。）【环节三】变式练习，深化理解（预计10分钟）1.【重要】基础应用：课件出示：四（1）班参加文艺小组的有7人，参加体育小组的有5人，其中王冲和庄严两个小组都参加了。参加这两个小组的一共有多少人？要求：先让学生在脑中或草稿纸上画一画韦恩图，再列式计算。交流时重点让学生说一说算式里每一步求的是图中的哪一部分29。2.【难点】变式探究：过渡：刚才我们知道了重叠部分有2人。那请同学们想一想，如果“读书之星”还是5人，“口算之星”还是6人，重叠的人数有可能是几人？总人数又会发生什么变化？（1）小组合作，展开讨论。（2）全班汇报交流：生1：重叠1人，总人数是5+61=10人。生2：重叠3人，总人数是5+63=8人。生3：重叠0人，就是没有重复，总人数就是11人。（此时两个圈是分开的）生4：重叠4人，总人数是5+64=7人。（3）【热点】关键追问：最多可以重叠多少人？为什么？引导学生理解：因为“读书之星”一共只有5人，所以重叠部分最多不能超过5人。如果重叠5人，那就表示所有“读书之星”都同时是“口算之星”，总人数就是5+65=6人。此时的韦恩图是什么样的？（右边的“口算之星”大圈把左边的“读书之星”小圈整个包在里面）13（4）小结：在重叠问题中，重叠的人数不同，总人数就不同。但不管怎么变，我们都可以用“两部分人数之和减去重叠人数”这个基本模型来解决。3.符号化思想渗透：如果不用名字，我们还可以用什么来表示这些同学呢？（图形、数字、字母）引导学生用自己喜欢的符号（如△、○、1、2、3……）重新表示这个韦恩图，并互相说说各部分的意思，进一步体会符号的简洁性1。【环节四】联系生活，拓展应用（预计5分钟）1.寻找生活中的重叠：其实，重叠问题在生活中无处不在。你能举出一些例子吗？学生举例：①两根木棍绑在一起，接头部分就是重叠2；②妈妈昨天买了苹果、香蕉，今天买了香蕉、橘子，两天一共买了几种水果；③班级里既会唱歌又会跳舞的同学；④奥运五环，环环相扣3。2.解决实际问题（一题多解）：课件出示：学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25人，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。两项都会的有多少人？引导学生分析：总人数中包含了“至少会一种的”和“两种都不会的”。先算出至少会一种的人数：423=39人。再用我们刚学的模型：25+22两项都会的人数=39，所以两项都会的人数=25+2239=8人6。（此题略有难度，作为拓展思考题，让学有余力的同学课后探究。）【环节五】回顾反思，总结提升（预计2分钟）1.今天这节课，你有什么收获？（引导学生从知识、方法、感受等方面谈。如：认识了韦恩图，知道了重叠问题的两种算法，感受到了画图解决问题的好处，数学和生活联系很紧密等。）2.教师总结：同学们，今天我们不仅学会了用韦恩图解决重叠问题，更重要的是，我们像数学家一样经历了一次小小的“创造”过程。希望你们以后在遇到复杂问题时，也能想到画个图试试，它会让复杂的数量关系变得清清楚楚。三、学习效果评价与练习设计（一）随堂练习1.【基础】阳光小学四（2）班的同学中有18人喜欢打乒乓球，15人喜欢打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？42.【基础】三（2）班参加合唱队的有6人，参加舞蹈队的有5人，参加这两个小组的共有8人。请你判断一下，有几人同时参加了这两个小组？并试着画一画韦恩图2。（二）课后拓展练习（学习单）1.【应用】李民有12种水彩笔，小敏有8种水彩笔，两人有4种水彩笔相同。他们一共有多少种不同颜色的水彩笔？22.【推理】四（1）班有46人，其中25人参加了数学竞赛，22人参加了作文竞赛，12人两项竞赛都参加了。有多少