9.1二元运算及其性质

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代数系统简介2第9章代数系统简介9.1二元运算及其性质9.2代数系统9.3几个典型的代数系统39.1二元运算及其性质二元运算及一元运算的定义二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f

封闭.例1(1)N上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法.

(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S={a1,a2,…,an},ai

∘aj

=ai，

∘为S上二元运算.

5二元运算的实例（续）

(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即

矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,

.(7)SS

为S上的所有函数的集合：合成运算∘.

6n元运算定义设S为集合，n为正整数，函数称为S上的n元运算，简称为n元运算.例2(1)Z,Q

和R

上的一元运算:求相反数(2)非零有理数集Q*和实数集R*的一元运算:

倒数(3)复数集合C

上的一元运算:

求共轭复数(4)幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算~

(5)A为S上所有双射函数的集合，A

SS:求反函数(6)在

Mn(R)(n≥2)上，求转置矩阵7运算的表示算符：∘,∗,·,

,

等符号表示n元运算

∘(a1,a2,…,an)=b.对二元运算

∘，如果x与y运算得到z，记做

x∘y=z；对一元运算∘,x的运算结果记作∘x

注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符8公式表示

例3设R

为实数集合，如下定义

R

上的二元运算∗：

x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=30.5∗(-3)=0.5

二元与一元运算的表示9运算表的形式

∘a1

a2

…

an

∘aia1a2...ana1∘a1

a1∘a2

…

a1∘ana2∘a1

a2∘a2

…

a2∘an.........an∘a1

an∘a2

…

an∘an

a1a2...an∘a1∘a2

...∘an运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）10运算表的实例例4A=P({a,b}),

,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集）

的运算表∼的运算表

{a}{b}{a,b}

X

∼X

{a}{b}{a,b}

{a}{b}{a,b}{a}

{a.b}{b}{b}{a,b}

{a}{a,b}{b}{a}

{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}

11运算表的实例（续）例5Z5={0,1,2,3,4},

,

分别为模5加法与乘法

的运算表

的运算表

01234

01234012340123412340234013401240123

01234000000123402413031420432112二元运算的性质

定义设∘

为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,y

S有

x∘

y=y∘

x,

则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,z∈S有

(x∘

y)∘

z=x∘

(y

∘

z),

则称运算在S上满足结合律.

(3)如果对于任意的x∈S有

x

∘

x=x,

则称运算在S上满足幂等律.13实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|

2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法

有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法

无有无P(B)并

有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数符合

无有无14二元运算的性质（续）

定义设∘

和∗为S上两个不同的二元运算,(1)如果

x,y,z∈S有

(x∗y)∘

z=(x∘

z)∗(y∘

z)

z∘(x∗y)=(z∘

x)∗(z∘

y)

则称∘

运算对∗运算满足分配律.(2)如果∘

和∗都可交换,并且

x,y∈S有

x∘

(x∗y)=xx∗(x∘

y)=x

则称∘

和∗运算满足吸收律.15实例分析

集合运算分配律吸收律

Z,Q,R普通加法+与乘法

对+可分配无+对不分配

Mn(R)矩阵加法+与乘法

对+可分配无+对不分配

P(B)并

与交

对

可分配有

对

可分配交

与对称差

对可分配无

对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|

2.16二元运算的特异元素单位元定义设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）

S，使得对任意x∈S都有

el

∘

x=x(或x

∘

er=x)，则称el

(或er)是S中关于

∘

运算的左(或右)单位元.若e∈S关于

∘

运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于

∘

运算的单位元.单位元也叫做幺元.17二元运算的特异元素（续）零元设

∘

为S上的二元运算,

如果存在θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有

θl∘

x=θl

(或x∘θr=θr)，则称θl(或θr

)是S中关于∘

运算的左(或右)零元.若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算∘

的零元.18二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元

令e为S中关于运算∘的单位元.对于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得

yl∘

x=e（或x

∘

yr=e），则称yl(或yr

)是x的左逆元(或右逆元

).关于∘运算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.19实例分析集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X的逆元

x普通乘法

10X的逆元x

1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元

X矩阵乘法

n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元X

1（X是可逆矩阵）P(B)并

B

的逆元为

交B

B的逆元为B对称差

无X的逆元为X20唯一性定理定理设

∘为S上的二元运算，el和er

分别为S中关于运算的左和右单位元，则el

=er

=e为S上关于∘

运算的惟一的单位元.

证el=el

∘

er=el∘

er=er

所以el

=er,将这个单位元记作e.假设e’也是S中的单位元，则有

e’=e∘

e’=e.惟一性得证.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.注意：当|S|

2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.21惟一性定理（续）定理设∘为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.

证由yl∘

x=e

和x

∘

yr=e

得

yl

=yl

∘

e=yl∘(x∘

yr)=(yl

∘

x)∘

yr=e∘

yr

=yr令yl

=yr=y,则y是x的逆元.假若y’∈S也是x的逆元,则

y'=y’

∘

e=y’

∘(x∘

y)=(y’

∘

x)∘

y=e

∘

y=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x

1.22消去律定义设∘为V上二元运算，如果

x,y,z

V，若x∘

y=x∘

z，且x不是零元，则y=z

若y∘

x=z∘

x,且x不是零元，则y=z

那么称∘

运算满足消去律.实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.Zn关于模n

加法满足消去律，当n

为素数时关于模n乘法满足消去律.当n

为合数时关于模n

乘法不满足消去律.23例题分析解(1)∘

运算可交换，可结合.任取x,y

Q,

x∘

y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘

x,

任取x,y,z

Q,(x

∘

y)∘

z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx∘

(y∘

z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6设∘

运算为Q上的二元运算，

x,y

Q,x∘y=x+y+2xy,(1)∘运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求∘

运算的单位元、零元和所有可逆元.24给定x，设x的逆元为y,则有x∘

y=0成立，即

x+y+2xy=0

(x

=

1/2)因此当x

1/2时，是x的逆元.例题分析（续）(2)设∘运算的单位元和零元分别为e和

，则对于任意x有x∘e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于∘

运算可交换，所以0是幺元.对于任意x有x∘

=

成立，即

x+

+2x

=

x+2x

=0

=

1/225例题分析（续）例7(1)说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的.(2)求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.

a

b

c∘a

b

c

a

b

cabcc

a

b

a

b

cb

c

aabca

a

ab

b

bc

c

cabca

b

c

b

c

cc

c

c解(1)

满足交换、结合律；∘