浙江杭州市2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试题 含解析

2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上.3．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区内.答案写在试题卷上一律无效.4．考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，所以．2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】使用齐次式化简原式并代入即可求解.【详解】，分子分母同时除以得.3.在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件求和，再结合定义求结论.【详解】因为，，所以，，所以，，所以.4.已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为，因此新平均数x=20(n+1)原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和.添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差.由于，因此.5.设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可．【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，故不一定成立，即充分性不成立；再验证必要性：当且时，，必要性成立．综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件．6.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，又因为，所以，所以，所以A、C无法判断，对于B、D，，所以，即.7.若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由关系两边平方可得，再结合数量积性质求，，，根据向量的夹角公式求结论.【详解】，由，可得，两边取平方，所以，解得，即，又由，可得，则，，所以，又，，设向量与的夹角为，，则，所以.8.已知，点，和分别在函数，和的图象上，平行于轴，，且，则点的横坐标约为（）（参考数据：，）A.8.8 B.7.8 C.6.8 D.5.8【答案】C【解析】【分析】设出点坐标，根据题意得到的坐标根据题意列出方程求出即可.【详解】

已知轴，，故，即轴.设点的横坐标为，则，.由得，化简得

，两边取常用对数，①.又，与纵坐标相同，故的横坐标为，即.由得，所以，两边取常用对数整理得，②.联立①与②，x⋅lg⁡3−二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数为奇函数，则（）A. B.C.的图象关于原点对称 D.在区间上单调递减【答案】ACD【解析】【详解】对于A，函数的定义域为，因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，此时，，是奇函数，A正确；对于B，，当时，，因为函数为奇函数，所以当时，，所以或，B错误；对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确；对于D，任取，则，所以,所以在区间上单调递减，故D正确.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.，D.函数在区间上有3个零点【答案】ABD【解析】【分析】对于A,结合正弦函数图象特征确定周期，再用公式求解；对于B选项，将已知点代入函数表达式，结合的条件求解，得到的解析式，然后代入求值；对于C选项，先求的对称轴方程，再判断是否为对称轴；对于D选项，令，求解在区间上的解的个数.【详解】由图象可知，函数最大值为，且，故,最高点到上升零点的距离为，所以,由得，A正确；将，最高点坐标代入：,结合，得，因此函数为,，B正确；说明函数对称轴为,的对称轴满足，显然不是对称轴，C错误；的零点即，解得：,要求，即，得，共个零点，D正确.11.在三棱锥中，平面，平面平面，，则（））A.直线与所成角的最大值为B.若，，则C.若，，则二面角的正切值为D.若的面积为，则直线与平面所成角的正切值的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】若

，结合已证的

，则

平面

，与

平面

矛盾，可判断A；由已知分别求出

和

，在Rt

中求

可判断B；过

作

和

，证明

为二面角的平面角，在直角三角形中计算正切值可判断C；直线与平面所成角为

，其正切为

，由面积条件结合均值不等式求

的最小值，可得正切最大值即可判断D．【详解】如图，作，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面平面，所以平面，又因平面，所以，对于A，假若直线与所成角的最大值为，即存在，因平面，则平面，这与题设平面矛盾，故A错误；对于B，因为平面，易得，若，，则，因为，所以，又因平面，可得，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，，，所以，所以，作于，作，交延长线于点，连接，因为平面，平面，所以，又因平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，则平面，又因平面，所以，是二面角的平面角，因为，，所以，易得，即，解得，在中，，所以C正确；对于D，因平面，则直线与平面所成角为，，又因三角形面积为

4，即

，故，因，故，所以正切最大值，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则的最大值为__________．【答案】5【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示，和辅助角公式化简计算即可求解.【详解】由题意可得

，当，取最大值5，所以的最大值为5.13.设随机事件，相互独立，且，，则__________．【答案】0.7##【解析】【分析】由独立事件的乘法公式结合随机事件的加法公式即可求解.【详解】由题意得，则.14.用表示数集中最大的数．若是函数的零点，且，则的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】因为是函数零点，所以代入二次函数表达式得到的第一个关系式，结合已知的，将三个变量转化为两个变量的关系,设，将问题转化为求的最小值，根据变量间的关系建立关于的不等式，利用均值不等式求解.【详解】因为是函数的零点，代入得：

，又，三个数和为、乘积为正，说明三个数必为一正两负，因此最大数就是唯一的正数，设，则，另外两个数均为负数.设两个负数为（），则由得：，代入得：

，由基本不等式，代入得：

，整理得，即，

当时，等号成立，此时三个数为，满足，，符合条件.因此的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）；（2）采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率．【答案】（1）62.9（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可.（2）根据分层随机抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可.【小问1详解】由题意得：，解得，设第25百分位数为，则，解得，用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9．【小问2详解】按照分层随机抽样，分数位于内有3人，记为，，，分数位于内有2人，记为，，则样本空间，共10个样本点，记两人分数均小于60为事件，则，有3个样本点，所以．16.在中，角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求；（2）设，，且为的平分线，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件化角为边可得，再由余弦定理求结论；（2）由条件结合角平分线性质可得，再结合余弦定理求，方法一：根据关系结合三角形面积公式求结论.方法二：证明为直角三角形，解可得结论.【小问1详解】由和正弦定理得，即，由余弦定理，可得．又，所以．【小问2详解】因为，所以，由角平分线性质得，所以，由余弦定理得，解得，，方法一：由可得，，解得．方法二：因为，所以，故为直角三角形，所以为直角三角形，由可得，所以.17.已知函数．（1）设，（i）求的值；（ii）解不等式；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）（i）0；（ii）或；（2）【解析】【分析】（1）（i）由解析式即可求解，（ii）结合对数函数单调性即可求解；（2）由对数的运算性质，结合分离参数法得到，再令，结合基本不等式求得范围即可求解.【小问1详解】当时，（i），所以；（ii）由题知．由对数函数的单调性可得：化简得：，解得或；【小问2详解】由，设，使得且，即，所以，设，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围是．18.如图，在正三棱台中，，．（1）求证：；（2）求棱台的体积；（3）若棱台内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此正方体棱长的取值范围．【答案】（1）延长，，交于点，因为，，所以所以三棱锥是边长为4的三棱锥，设下底面的中心分为，中点为，连，，是正三角形，为中点，故，是正三角形，为中点，故，又，且平面，根据线面垂直判定定理，得平面，因为平面，所以．（2）（3）．【解析】【分析】（1）取中点，连接该点与、与正三棱台上下底面中心连线，利用正三角形三线合一性质证明垂直于包含的平面，根据线面垂直的性质即可证明线线垂直；（2）先计算正三棱台上下底面的面积，结合已知侧棱长求出台体的高，再代入棱台体积公式计算体积；（3）正方体能任意转动等价于正方体的外接球完全在棱台内部，先求棱台的内切球半径，再根据正方体外接球直径与棱长的关系，即可得到正方体棱长的取值范围.【小问1详解】略.【小问2详解】由（1）知，所以棱台的高，所以正三棱台的体积为．【小问3详解】正方体在棱台内能任意转动，问题等价于正方体的外接球能放置在棱台内．由于正三棱锥的表面积，体积．所以三棱锥的内切球半径．又因为棱台的高，而三棱锥的内切球的直径恰为，因此半径为的三棱锥的内切球，恰好是棱台内切球，即正方体棱长能取到的最大值为．所以正方体棱长取值范围为．19.已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（2）令，（i）证明：函数的图象是中心对称图形；（ii）设函数有三个