第2讲 矩形的性质与判定-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（学生版）

第二讲矩形的性质与判定【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。3.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。4.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;【基础知识】1、矩形的性质矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质基础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性1）.内角为90°2）.对角线相等3）.以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、矩形的判定方法分为两种途径：1）.在四边形基础上证明三个角等于90∘，即三个角等于90在平行四边形基础上+矩形特性：2）.对角线相等的平行四边形是矩形；3）.有一个角是90∘【考点剖析】考点一：应用矩形的性质进行计算、求解如图，已知矩形中，E是上一点，F是上的一点，，且．（1）求证：．（2）若，矩形的周长为，求的长．考点二：矩形的判定例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积．考点三：矩形折叠问题例3．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．考点四：与矩形有关的面积问题[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S矩形NFGD＝，S矩形EBMF＝﹣（+）．易知，，＝，＝．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF（2）如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积．考点五：直角三角形斜边上中线如图，在四边形中，，，是中点，过点作交于点，连接．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①_________；②_________．【真题演练】1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（）．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，此时点恰好在边上，若，则的大小为（）A． B． C． D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm4．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．则矩形的面积为（）A． B． C．9 D．185．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为_____．6．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AEBD于点E，若则______度．7．如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=30°，现不改变平行四边形的边长，将平行四边形ABCD按如图办法转化为矩形，则转化前后的图形面积之比=______．8．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，且，，那么图中阴影部分的面积为__________．9．如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____．10．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，，则的长为_____．11．已知：在矩形中，点E在边上，连接，且，过点A作于点F．求证：；12．如图，矩形中，E是上一点，且于点F．（1）求证：．（2）若，求的长．13．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．（1）求证：AE＝AF；（2）求GF的长．14．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．【过关检测】1．菱形具有而一般矩形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（）A．54° B．60° C．65° D．72°3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C． D．4．如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．65．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B6．如图，将矩形纸片的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，则边的长是（）A．4 B．5 C．8 D．107．如图，在矩形ABCD中，E是直线BC上一点，且CE＝CA，连接AE．若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数为__．8．如图，在矩形中，点在上，且EC平分∠BED，若AB=1，，则的长为______．9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：_____可使其成为矩形（只填一个即可）．10．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为__________．11．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点E，使得AE=AD，连接DE、OE，OE交AD于F．请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程．①BE=DE；②EF=BD；③EF=DF．你选择的条件是，结论是．（填序号）12．如图，将矩形绕点顺时针旋转得矩形，当点落在上时，连接．求证：．13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝4，∠AOB＝60°，求矩形ABCD的面积．14．如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合．（1）求证：；（2）若，，求的长．15．如图，在四边形ABCD中，AB