第4讲 一元二次方程及其解法-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第四讲一元二次方程及其解法【学习目标】1．经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。2．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．3．理解一元二次方程的解法——配方法．1．一元二次方程的求根公式的推导4．会用求根公式解一元二次方程5．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。【基础知识】（一）、一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。当时，，；当b<0时，方程没有实数根。2、配方法一般步骤：方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.将所得方程的常数项移到方程的右边。所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方配方，化成（5）开方。当时，；当b<0时，方程没有实数根。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．5、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。【考点剖析】考点一：一元二次方程相关定义和性质例1．（1）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合；B、是一元二次方程，故此选项符合；C、不是一元二次方程，故此选项不符合；D、不是一元二次方程，故此选项不符合；故选：B．（2）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．3【答案】C【详解】解：由题意可知：a﹣2＝0，∴a＝2，∵a+2≠0，∴a的值为2，故选：C．（3）关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为_________．【答案】【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为零，，，当时，，，故答案为：．考点二：配方法及其应用例2．解下列一元二次方程（1）；（2）；【答案】（1）x1=1，x2=-4；（2）x1=，x2=【详解】解：（1），∴，∴解得：x1=1，x2=-4；（2），∴，∴，解得：x1=，x2=．例3．（1）已知，求的值；（2）求证：不论x，y为何实数，的值总是正数；【答案】（1）8；（2）见解析【详解】解：（1）∵13x2-6xy+y2-4x+1=0，∴（3x-y）2+（2x-1）2=0，解得，x=，y=，∴==．（2）==≥3，即不论x、y为何实数，的值总是正数．考点三：公式法例4．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．考点三：一元二次方程根的判别式例5．（1）当时，关于的一元二次方程的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【详解】解：由题意可知：△＝b2＋4×2a，∵，∴b2＋4×2a=b2+8a=b2+8(4-b)=b2-8b+32＝（b−4）2＋16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．（2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，，故选：A．例6．关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）（2）根据求根公式，进行计算分析即可．【详解】 （1）证明：．∵，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵，∴∵方程有一个根为负数，∴m<0．考点五：因式分解法例7．（1）解方程：．【答案】，【详解】解：移项得：，提公因式x-1得：，∴或，解得：，．（2）解方程：【答案】，【详解】解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．【真题演练】1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、未明确a，b，c的取值情况，不一定是一元二次方程；B、，不是整式方程，不是一元二次方程；C、，是二元一次方程；D、是一元二次方程；故选D．2．方程的解是（）A． B．， C．， D．【答案】C【详解】解：∵，∴，∴方程的解：，．故选：C．3．方程变形时，下列变形正确的为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：方程移项得：x2-6x=10，配方得：x2-6x+9=19，即（x-3）2=19，故选：D．4．关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【详解】∵∴关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0有两个不相等的实数根故选：A．5．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．9【答案】D【详解】解：解方程x2﹣9＝0得a＝3，b＝﹣3，所以2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故选：D．6．关于的一元二次方程，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【答案】C【详解】解：原方程没有实数根，故选C．7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；，方程没有实数根，故符合题意；，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；，则方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；故选：8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，△，．故选：B．9．方程的解是_____．【答案】x=±5【详解】解：∵x2-25=0，移项，得x2=25，∴x=±5．故答案为：x=±5．10．已知是方程的根，则代数式的值是______．【答案】12【详解】解：由题意得：，即，则，，，故答案为：12．11．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．【答案】【详解】解：设该方程为，由得：，则该方程为，故答案为：．12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________．【答案】【详解】整理方程得：∵方程有两个相等是实数根∴解得：故答案为：．13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．【答案】m＞0且m≠1．【详解】解：根据题意得1-m≠0且△=（-2）2-4（1-m）＞0，解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．14．解方程：（1）（2）【答案】（1）x1=1，x2=-5；（2）x1=，x2=3【详解】解：（1），∴，∴，∴或，解得：x1=1，x2=-5；（2），∵a=2，b=-5，c=-3，∴△=25-4×2×（-3）=49＞0，∴x=，解得：x1=，x2=3．15．用适当的方法解下列方程（1）（2）【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=2，x2=3【详解】解：（1），∴，∴，∴，解得：x1=，x2=；（2），∴，∴，∴4-2x=0或x-3=0，解得：x1=2，x2=3．【过关检测】1．下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、是二元二次方程；B、是分式方程；C、是一元一次方程；D、符合一元二次方程的定义；故选D．2．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【详解】解：把代入方程，得：，解得：．故选：D．3．一元二次方程经配方可变形为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：原方程可化为x2-6x+32-32=6，即（x-3）2=15．故选：D．4．方程的解为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解x+1=±2∴x+1=2或x+1=-2解得故选D．5．一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【答案】D【详解】解：∴一元二次方程有两个相等的实数根故选：D6．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．2021 B．2 C．1 D．0【答案】D【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根∴判别式,又∵，∴，解得，∴m的值可能是0；故选：D．7．一元二次方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．无法判断 D．有两个相等的实数根【答案】B【详解】解：∵，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×1=13>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．8．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1【答案】C【详解】解：∵，，，，根据题意得m-1≠0且，解得且．故选：C．9．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．【答案】且【详解】∵关于x的方程有两个实数根，∴△=（-3）2-4×a×（-1）=9+4a≥0且a≠0，解得：且故答案为：且10．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是_______．【答案】20【详解】解：x2-12x+36=0，因式分解得：（x-6）2=0，解得：x1=x2=6，当x=6时，三角形三边长为6，6，8，则周长为20．故答案为：20．11．用配方法解方程：．【答案】，【详解】解：，解得，．