第10讲 成比例线段与平行线分线段成比例-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第10讲成比例线段与平行线分线段成比例【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质；2、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；【基础知识】一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．【考点剖析】一．比例的性质（共5小题）1．（2022•瑶海区校级开学）已知＝＝＝x，求x的值．2．（2021秋•怀宁县期末）已知＝＝，求的值．3．（2020秋•徐汇区期末）已知，x：y＝3：5，x：z＝5：12，求x：y：z（用最简整数比表示）．4．（2021秋•大田县期中）若，且3x﹣2y+z＝18，求x+5y﹣3z的值．5．（2022春•定海区校级月考）若，求的值．二．比例线段（共5小题）6．（2020秋•崇川区校级月考）如图所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．（1）求和；（2）线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？7．（2021秋•肇源县期末）在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？8．（2021秋•淮安区期末）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．9．（2021秋•道县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且．（1）求的值；（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．10．（2019秋•花山区校级期中）如图所示，在线段AB上有C、D两点，已知AB＝7，AC＝1，且线段CD是线段AC和BD的比例中项，求线段CD的长．三．平行线分线段成比例（共4小题）11．（2021秋•长清区期中）如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的长．12．（2021秋•霍邱县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．13．（2021秋•秦都区期末）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．14．（2021秋•阳谷县期中）如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•常州模拟）已知实数a，b满足a＝2b，则的值是（）A． B． C．1 D．22．（2021秋•定海区期末）已知＝，下列变形正确的是（）A．ab＝6 B．2a＝3b C．a＝ D．3a＝2b3．（2021秋•漳州期末）如果＝，那么的值等于（）A． B． C． D．14．（2021秋•市中区期末）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米5．（2021秋•巴中期末）对于线段a和b，若a：b＝2：3，则下列式子一定正确的是（）A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．6．（2021秋•金川区校级期末）下列各线段的长度成比例的是（）A．2、5、6、8 B．1、2、3、4 C．3、6、7、9 D．3、6、9、18二．填空题（共9小题）7．（2021秋•鼓楼区校级期末）若＝，则＝．8．（2021秋•西湖区期末）若2y﹣x＝0，则x：y＝．9．（2021秋•门头沟区期末）如果＝，那么的值是．10．（2021秋•定海区期末）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为．11．（2022•龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d＝cm．12．（2022•醴陵市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OG平分∠AOC交AC于点G，则的值为．13．（2022•东西湖区模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，则DF的值是．14．（2021秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为．15．（2021秋•大连期末）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝．三．解答题（共7小题）16．（2021•鄞州区模拟）若＝3，求的值．17．（2020秋•包河区期中）已知：，求的值．18．（2020秋•南山区校级期中）已知a：b：c＝2：3：5，如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．19．（2021秋•肃州区校级期中）如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝8，AC＝6，BD＝AE，求BD的长．20．（2021春•津南区月考）如图所示，l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝5cm，AG＝4cm．求GF，AF，EF的长．21．（2021秋•元谋县校级期中）如图，在△