计量经济学第三版

经济计量学上次更新:31七月2026退出幻灯片放映请按“Esc”键制作：熊义杰教授(西安理工大学经济与管理学院陕西城市战略研究所）完成时间:

二○○○年五月更新时间：Econometrics绪论目录经济类专业8门核心课之一七月26上次更新:31七月2026第一章绪论

第二章一元线性模型

第三章多元线性模型

第四章经济计量学二级检验

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退出幻灯片放映请按“Esc”键经济类专业8门核心课之一经济计量学

Mathematicsisakindoflanguagethateverypersonneedstolearnifhewishestomakescienceacareer,mathematicallanguageisoneofspecialtoolswhicheveryscientistrequires.

KarlMarx

一门学科只有在成功地运用数学时，才算真正达到了完善的地步。卡尔.马克思

1998年7月，中华人民共和国教育部高校经济学学科教学指导委员会成立，确定了高校经济学门类各专业8门共同核心课，其中之一即经济计量学。上次更新:31七月2026退出幻灯片放映请按“Esc”键第一章绪论在科学上是没有平坦的大路可走的，只有那些在崎岖山路的攀登上不畏艰险的人，才有希望到达光辉的顶点。－－马克思天下之事有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。人之为学，有难易乎？学之，则难者亦易矣；不学，则易者亦难矣。－－清·彭端淑《白鹤堂集·为学》世上无难事，只要肯登攀。－－毛泽东不受一番冰霜苦，焉得梅花放清香。应读的参考书：1.《经济计量学入门》[美]亨利.瑟尔（HenriTheil）著马宾译赵克清校中国社会科学出版社1986.7(1)2.《计量经济学入门》[英]琼.斯图亚特（JonStewart）著陈谢严朱译蒋光远校中国统计出版社1989.1(1)3.《经济计量学——理论与方法》吴可杰主编南京大学出版社1986.2(1)4.《经济计量学》陈鹤琴编著中国商业出版社1989.7(1)5.《经济计量学教科书》[美]L.R.克莱因著谢嘉译商务印书馆1983年版第一节经济计量学的产生与发展第二节经济计量学的概念第三节经济计量学与相关学科的联系和区别第四节经济计量学研究的目的与门类第五节经济计量学研究的一般程序第六节一些更进一步的准备第一章

绪论本章应阅读的参考文献

1.1经济计量学的产生和发展经济计量学，简单地说就是经济问题的数量分析。经济计量学概念，首先是由挪威经济学家弗里希（R.Frish）于1926年提出并着手研究的，因而弗里希是经济计量学公认的创始人。1930年12月，弗里希、丁伯根和费歇尔等人发起在美国克利夫兰市成立经济计量学会。1933年开始定期出版《经济计量学杂志》。所以，经济计量学公认是一门诞生于20世纪30年代的新兴学科。1.1.1数理经济学的发展和形成为经济计量学的产生提供了必要的理论基础在这里，有三位重要的代表人物值得一提。一是英国的古典政治经济学兼统计学家WilliamPetty（1623~1687）和他的《政治算术》一书；二是法国经济学家古尔诺（Ａ.Ａ.Cournot，1801~1877)和他的《财富理论的数学原理研究》，古尔诺是数理学派公认的奠基人；三是“剑桥学派”的创始人马歇尔（Ａ.Marshall，1842~1924)和他的《经济学原理》(1890)，至此，数理经济学进入了新的发展阶段。1.1.2经济预测的需要使经济计量学的产生成为可能

这主要得益于资本主义世界周期性的经济危机。历史进入二十世纪以后，资本主义世界周期性的经济危机日益严重。于是，资本主义国家处于干预政策的需要，资本家集团为了减缓经济危机的打击，都广泛地采用了经济计量理论和方法，进行经济预测，加强市场研究。同时，随着科学技术的发展和进步，各门学科都出现了相互合作和相互渗透的趋势，数学、计算机科学及三论相继进入经济研究领域，加上计算机技术的发展和进步，这些都为经济计量学的进一步广泛应用奠定了重要的工具基础。1.1.3经济计量学的形成是一个不断发展和完善的过程

30年代经济计量学主要是个量分析或微观分析，包括个别生产者、消费者、家庭和厂商的经济行为分析等。40年代至70年代，开始转入总量或宏观分析，如关于消费、储蓄、投资、国民收入、就业以及各个产业部门间联系的计量分析。进入80年代后，随着理论方法上的突破和计算机技术的进一步成熟，模型的规模越来越大，如美国的“LinkPlan”该计划涉及到18个国家，包括了7447个方程和3368个外生变量。这些情况表明，经济计量学已经成为改善经济计划和管理的有效工具。在我国，《经济计量学》从80年代起在高校的经济类硕士研究生中开设，到90年代初期，许多高校的本科生也陆续地开设了《经济计量学》课程，从1998年《经济计量学》被确定为经济类8门核心课之一时起，《经济计量学》就成了经济学各类专业的必修课之一。1.2.1经济计量学是经济理论、统计学和数学的结合

经济计量学即Econometrics，是由Economy和Metric合成而来的。按照弗里希的说法，经济计量学就是经济理论、数学和统计学的结合，但它又完全不同于这三门学科中的每一个分支。他1933年在《经济计量学》的发刊词中这样说道：“经验表明，统计学、经济理论和数学三个方面的观点之一，是实际理解现代经济生活中数量关系的必要条件，但任何一种观点本身都不是充分条件。这三者的统一才是强有力的工具，正是由于这三者的统一才够成了经济计量学。”邹至庄认为，所谓经济计量学就是根据以往的经济统计资料，从经济理论出发，运用数理统计的分析方法，对经济关系建立经济计量模型，并据以对经济系统进行结构分析、经济预测和进行评价的科学。1.2经济计量学的概念及方法2.2经济计量学方法及其特点任何学科都有它特定的研究方法。经济计量学方法即专门适用于经济现象特性研究的统计方法。这里涉及到两个重要概念，一是经济现象的特性是什么？二是什么是统计方法。

经济现象的基本特性即包含随机性。例如，C=+Y

或者，Ｃ＝150＋0.8Y属于数理统计学方法而C=+Y+U其中，U称作随机扰动项(Unknown)，则属于经济计量学方法。

统计方法就是通过统计数据的收集、整理和分析以观察了解经济现象规律的方法。任何特定时期的统计数据都不可能是某个经济现象的全体（统计学中称作总体）。

经济计量学的基本方法，即可以概括为如何利用样本以推断总体。

一是经济建模问题，即首先把经济变量之间的关系用数学模型反映出来。这纯粹是一个理论抽象过程，可依据经济理论完成。

二是参数的估计问题。参数估计的一个非常简单的方法就是图示法，或称作散点图方法。

三是假设检验问题。假设检验也是经济计量学中经常使用的基本方法。在经济计量学中，假设检验方法主要用来对各种参数的有效性进行评价。图1.2数据散点图经济计量学的主要特点：（1）数量性：经济计量学在内容上必然包括计量，即运用统计数据、统计方法和数学方法，对引入模型的变量进行经济计量分析，探讨经济现象的数量变化规律。（2）多学科性：经济计量学是统计学、经济理论和数学的结合，是这些多种学科相互结合、相互渗透的结果。因此，学好经济计量学要求必须具有多方面的相关知识，比如必要的经济理论基础、数学基础和统计学基础等等，都是非常必要的。（3）在方法论上，既有演绎有又归纳，通常先演绎（建模过程）后归纳（假设检验过程）。这一点很独特。很多学科通常都主要地只是使用归纳的方法，而经济计量学则不同，通常都是两种方法交替地使用。（4）联系经济现象中客观存在的随机因素。这一特点使得经济计量学不同于数理统计学。1.2.3经济计量学模型所谓模型，即满足某些假定条件的一个或一组代数方程。模型必然包括假定条件，所以，建立模型在经济计量学中也叫列出保留假设。任何模型都少不了要涉及到四个基本要素：变量、参数、方程和随机扰动项。（1）一元线性模型：Y＝a＋bX＋U

该模型是分析投入产出之间关系的常见模型。如果用Y表示成本，X表示产出，则a就是固定成本（或不变成本），b就是单位产出的变动成本。如果Y表示产出，X表示变动投入，则a就是产出随着投入的变化增长的基数，b就是相应变动投入的边际产出量。一元线性模型是经济计量学中最基本的模型。（2）二元及多元线性模型Y＝b0＋b1X1＋b2X2＋……bkXk+U

多元模型在投入产出分析中更适合于一项产出需要多项投入的情况，比如任何一项产出都需要人力投入和资本投入，等等。在进行市场调查时，任何一种商品的需求量也常常受到多种因素的影响，比如该种商品的价格、其他相关商品的价格、居民的收入水平以及商品的质量、消费者的偏好等等，都会影响到一种商品的需求。在经济活动分析中，二元和多元模型能够更真实地反映经济生活的现实。因为，很多经济变量实际上都受到多种相关因素的影响，而不仅仅是某一种。（3）抛物线及K阶多项式

一般地，某一项变动资源投入与产出之间的关系，多数情况下可能都是一个上凸的抛物线形式，比如不管是人力资源还是机器设备的投入都是如此。更一般地，根据生产函数的三阶段理论，变动资源投入与产出之间的关系应该是一个三次多项式。另外，一种新产品的需求量与时间的关系，也基本上属于上凸的抛物线（产品市场寿命周期）。再比如，政策的失效率（政策抵抗者人数/总人数＝1－政策接受者人数/总人数）与时间的关系，也呈现出一种上凹的抛物线形式（浴盆定律）。（4）道格拉斯生产函数

这一函数具有三个方面非常重要的特性：一、不管哪个因素为零，产出都为零。所以，一般用该函数表示必要生产因素如劳动力和资本与产出的关系。二、每一变量的指数都表示产出对于该投入因素变化的常弹性系数。正因为如此，该函数也叫常弹性生产函数。三、两变量指数的和反映产出变化的规模报酬。这又分为三种情况：当指数和大于1时，产出为递增规模报酬；当指数和等于1时，产出为不变规模报酬；当指数和小于1时，产出为递减规模报酬；1.2.4经济计量学的一些常用软件及网站

(1)(1)Excel（电子表格）中的数据分析工具利用Excel中的“工具”菜单下面的“加载宏”命令，可加载“数据分析”工具（前提是Excel必须是完全安装的，或者自定义安装包括了“加载宏”的，如果Excel是最小化安装的，则需要利用原安装盘重新安装Excel）。在“数据分析”工具中，包括了“回归”、“相关系数”和“方差分析”等大部分经济计量分析工具，利用“回归”工具，可进行一元和多元回归分析，并可获得经济计量分析中的大部分统计检验指标。本书中的许多基本分析都将借助于Excel进行。

(2)EViews（EconometricsViews）计量经济学软件包是TSP（即TimeSerialProcessing，一种DOS系统下的计量经济学应用软件，目前已很少使用）的ForWin版本。它是由经济学家采用面向对象的程序语言Basic设计开发的。EViewsV1.0可基本满足教学需要，一张软盘可以装下，但必须安装在硬盘上运行。EViewsV3.1是目前最流行的版本。EViewsV4.0目前只有试用版。软件由美国QMS公司开发，简单易学，基本上可无师自通。(3)SPSS社会科学统计分析软件包

SPSS的原意为StatisticalPackagefortheSocialSciences，即“社会科学统计软件包”。最近，伴随SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加，SPSS公司已决定将之英文全称更改为StatisticalProductandServiceSolutions，意为“统计产品与服务解决方案”，标志着SPSS的战略方向正在作出重大调整。该软件功能强大，版本日益更新（目前已有第11版流行，第10版简体中文版完全安装约需100余mb磁盘空间），用户不断扩大，是广谱性的统计分析软件。

(4)SAS统计分析系统为我国应用最为广泛的统计分析软件。除估计、检验模型外，具有回归诊断的功能。

(5)MATLAB

矩阵实验室，是一个非常强大的工具。有专门处理方程系统的工具箱。以此进行估计方法理论的演示教学，效果较好。

(6)ORIGIN

经济计量分析及作图软件。上述软件中常用的如Eviews等在经济计量学的几个主要网站上均可下载，这些网站同时也可以作为学习经济计量学的辅助手段：(1)

国家统计局网站：/首页包括有统计公报、统计数据、统计分析等重要栏目，其中统计数据中又分为统计进度数据、年度统计数据、普查数据、专题数据、部门数据和国际数据等栏目，是经济计量分析中取得合法数据的权威网站。(2)

人大经济论坛：/bbs/index.asp其中有个计量经济学板块，注册登陆后可以免费下载经济计量学相关的教材、软件以及有关软件的学习资料等。(3)

高等教育出版社计量经济学网站：http://4:8088/jljjx/jiaoxue.htm其中包括“纸质教材”、“教学资源”、“学习资源”、“网络课程”、“教学视频”、“课程信息”、“资源下载”等一些非常有用的栏目。1.3经济计量学与相关学科的联系与区别一、经济计量学与经济理论经济理论是经济计量学据以建立模型的依据，同时帮助经济计量学识别参数的符号和大小。

[例1]C=+Y+U[例2]QA=b0+b1PA+b2PＢ+b3Y+U其中，b2的符号取决于Ｂ的属性，即是互补的还是代用的。二、经济计量学与数理经济学数理经济学是用符号来表述经济理论，但数理经济学并不提供模型中的参数，且无需考虑经济现象中的随机因素；经济计量学也用符号表述，但并不假定经济关系是确定的，而是联系其中的随机因素，且提供参数的估计值，二者在这两点上是完全不同的。三、经济计量学与统计学

1.3经济计量学与相关学科的联系与区别图1－2

经济计量学各相关学科间的关系统计学收集统计资料、数据，考察发展的趋势，侧重于描述方面，如可计算平均数、中位数、众数，可分析发展速度或增长速度等，但一般无需推测经济关系的一般模型或模式，也不进行参数测量，而这两点对经济计量学来说，都是责无旁贷的。上述各学科间的关系如图1－2所示。1.4经济计量学的研究目的及其门类一、研究目的

1分析检验经济理论经济理论的研究，通常总是要先提出一些似乎合理的假定，如需求理论假定，消费者的目的就是在给定的商品价格条件下，实现最大的满足或效用；而生产理论则假定，生产者的动机是获得最大利润。然后，才根据抽象的逻辑推理，由这些假定导出有关经济运行的某些一般结论。然而，这些理论并没有对照经济现实加以检验，比如，经济理论是否恰当地解释了个体单位的经济行为？有没有例外发生？或者发生例外的概率有多大？等等。经济计量学的目的，首先在于检验经济理论。

2为政策模拟提供经济关系参数的估计值

在多数情况下，经济计量学都用于取得经济关系中个别参数的估计值。根据这些估计值，可以求出弹性和经济理论的其它参数，如技术系数、边际成本或边际收入等，以便据以制定政策或作为决策使用，以需求价格弹性为例。需求价格弹性的证明：由于收入=销量×价格三、预测

进行决策必须首先预测。预测即运用参数的估计值以预测经济变量的未来值，包括点预测和区间预测。点预测即给定一个自变量，由所得到的回归方程可得到一个因变量。点预测常常会发生一定的误差。

二、经济计量学的门类

(1)理论经济计量学和应用经济计量学

理论经济计量学：主要侧重于适合经济关系的计量方法（即参数估计理论）的研究，其中心任务是探讨和研究引入模型中的随机变量（随机扰动项）的性质及其影响。各种经济计量方法（参数估计理论）的关系如下页的图1－3所示。

区间预测，即在给定的精度条件下，可以根据已知条件预测出因变量变化的一个范围。区间预测有一定的可信度。经济计量方法联立方程方法单一方程方法古典最小二乘法工具变量法极大似然法广义最小二乘法识别理论参数估计方法有限信息估计法完全信息估计法三段最小二乘法完全信息最大似然法估计方法检验理论自相关（序列相关）异方差问题多重共线性问题二段最小二乘法间接最小二乘法有限信息最大似然法图1－3

应用经济计量学

主要侧重于探讨经济计量方法如何应用于经济理论的特殊分支，是应用理论经济计量学方法分析经济现象和预测经济行为。应用经济计量学目前研究的范围很广，包括在供需理论、生产理论、投资理论、宏观经济计量模型、动态经济计量模型等多方面的应用。（2）动态经济计量学和静态经济计量学

动态经济计量学

主要侧重于时间序列模型的研究，目前市面上已有了相关的研究成果面世。

静态经济计量学

主要侧重于截面数据模型的研究1.5经济计量学研究的一般程序第一步确立模型我们已经知道，任何一个模型都包括四个基本要素，即：变量、参数、随机扰动项和方程。因此，相应地建立模型的过程就必须做好三项工作：

①确定模型中应包含的变量包括因变量和解释变量的数目。变量外生变量虚拟变量内生变量滞后变量政策变量非政策变量滞后内生变量滞后外生变量前定变量（目标变量）（工具变量）因变量（应变量，依变量）——被解释变量自变量（独立变量）——解释变量另请注意：当期变量及实在变量②确定模型的数学形式，如方程的个数，线性方程还是非线性方程等；通常需要利用散点图完成。这一步需要特别注意的是，经济计量学所研究的变量间关系属于因果关系，因此，模型决对不能是定义方程，如：Y（国民收入）＝I（投资）＋C（消费）＋S（储蓄），等等。定义方程在现实生活中的例子很多。再比如，居民消费支出＝食品＋衣着＋家具用品＋医疗保健＋交通通讯＋文化教育，GDP（支出法）＝政府支出＋居民消费＋净出口，等。

③识别模型中参数的符号和大小的先验（理论）期望值（依经济理论确定）。第二步参数估计

通常为了估计模型的参数，总是要先获取一组相关数据的样本。样本即随机地抽取的一组有关变量的观测数据，而将有关这组观测数据的全部可用资源就称作样本总体。比如，下表中的资料就是一个样本。

下表中的资料，是为了研究我国国民经济某部门的投入和产出之间的关系，抽取的建国后若干年中该部门的生产资料购买金额（做解释变量记为X）和当年创造的国民收入(做因变量记为Y)的统计数据（数据来源：《中国统计年鉴1992》）：年份194952576265707577Yi245364425314435729952948Xi6.714.132.660.380.2129.2224.7258.5

估计参数所需要的资料主要有二种类型：时间序列资料和截面资料。利用时序资料往往容易产生序列相关；利用截面资料则往往容易产生异方差问题。此外，在多元模型研究中经常可能还会发生多重共线性问题。当这些问题发生时，必须运用专门的方法予以处理。第三步评定模型的参数

对参数估计值评价的准则通常有三类：①经济先验准则，由经济理论决定；②统计准则，又称作一级检验，由统计理论决定（包括T检验和F检验等）；③经济计量准则，也称作二级检验，由经济计量学理论决定。

第四步评定模型的预测功效模型的预测功效即模型可否用于预测。由于模型通常都是用过去的数据建立的，而预测通常都预测的是未来的变化，因此由过去的数据建立的模型是否适合于未来的变化，即模型在用于预测时参数是否稳定，就必须进行专门的评价。本章练习：请将§1.5部分给出的资料分两个阶段（1949—1965为第1阶段，1965—1977为第2阶段），试用统计方法对其投入产出效果进行分析，看看你能发现什么。（包括两个阶段平均的产投比的变化，两个序列在两个不同阶段的增长速度变化等等）第二章一元线性回归模型2.1经济变量间的关系2.2随机扰动项的内容及有关假定2.3最小平方估计方法2.4最小平方估计值的性质2.5最小平方估计值的标准误差与区间估计2.6最小平方估计式的拟合优度与假设检验2.7预测区间与弹性估计2.8一个案例分析目录2.1

经济变量间的关系2.1.1确定的函数关系如果一个变量的值能够被一个或者若干个其它变量的值按某一规律唯一地确定，则这类变量就具有完全确定的关系，通常称作为函数关系。可表示为：比如，如果某变量与多个变量成函数关系，可表示为：经济变量之间的函数关系是数理经济学研究的对象。经济变量间的关系

2.1.2非确定的相关关系

如果变量之间既存在着密切的数量关系，但又不能由一个或几个变量的值精确地求出另一个变量的值，只有在大量的统计资料或观测资料的基础上，方可判断这类变量之间的数量变化规律性，则这类变量之间的关系就是非确定的关系，也叫做统计相关关系或回归关系。经济变量之间的相关关系或回归关系，正是经济计量学研究的对象。经济计量学对于相关关系的研究，其基本的方法就是相关分析和回归分析。

相关分析主要用于确定两个变量之间是否存在密切的线性相关关系以及这种关系的密切程度。

回归分析，就是首先根据相关变量之间的实际观测值建立模型并估计有关参数，然后再回过头来应用模型研究相关变量之间的关系，或检验经济理论，或进行政策模拟，或进行经济预测等等。

非确定的相关关系与确定的函数关系相类似，相关关系也可以用如下类似的函数形式来表示：

该式说明，Ｙ就等于Ｘ的类函数或者Ｙ对于Ｘ的回归方程加随机误差，换言之，Ｙ对于Ｘ的回归方程就等于Ｙ在Ｘ为已知条件下的期望函数，其具体形式因Ｙ与Ｘ之间的关系而异，可能是直线也可能是曲线。根据式(2－1)，如果Ｙ对于Ｘ的条件期望函数为直线，应有：或者：也就是说，U反映了Ｙ的观测值与其条件期望即回归直线的离差。2.1.3相关关系与函数关系的联系及线性拟合

相关关系与函数关系的联系如图2-1和图2-2所示线性拟合，就是用直线近似地描述各对数据对应点的分布规律。线性拟合图２－１图2－2§2.2随机扰动项的内容及有关假定2.2.1随机扰动项的内容一．未列入模型但又共同影响因变量的其它所有因素

这主要是由于受主客观两个方面的限制，人们不可能将经济现象的所有因素都纳入到一个经济计量模型之中。比如，在消费函数中与个人可支配收入共同影响个人消费支出的消费偏好、物价指数及消费品质量等。二．模型的设计误差这主要是由于对模型的不适当简化造成的，比如可能将相乘关系设定为相加关系，把曲线关系设定为直线关系等等。随机扰动项的内容三、变量的观测误差这种误差主要地也受到主客观两个方面因素的影响。主观方面如报喜不报忧；客观方面比如条件限制等等。四、随机误差比如由于人的意识和行为的非重复性引起的误差，不在上述三种情况之中的其它误差，等等。2.2.2关于随机扰动项的基本假定假定１(零均值假定)：以给定的Ｘi(i=1,2,…，n)为条件，Ui的条件期望值为零。用数学语言表示即：

Ｅ（Ui|Xi）=0

或简记为：Ｅ（Ui）=0这一假定实质是说，每一个时期中U的所有可能值的总体中总包含有正值、负值和零，其总和为零，因而均值亦为零。

根据假定１，对于线性相关关系，应有：

Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（α＋βＸ）＋Ｅ（Ｕ）＝α＋βＸ

这可以用图2－3予以说明。如果违反这一假定，则出现如图2－4所示两种情况。

图2－3图2－4假定１要求必须保证：（１）方程中包含了所有的重要变量；（２）因变量不存在系统的测量正误差或负误差。基本假定(1)假定２（无序列相关假定）：即各个扰动项互不相关，或者说各个扰动项之间不存在序列相关或自相关。用式子表示，即：

Cov(Ui,Uj)=E(Ui-E(Ui))(Uj-E(Uj))=E(UiUj)=0(其中i≠j)

其中，i、j表示观测值的两个不同观测时期或观测点，Ｃov为协方差。这一假定亦可以等价地表述为：对应于不同观测值的误差具有零相关，或者说，U是一个随机变量，它在不同时期或不同观测点上的取值相互独立。因为，E(UiUj)=0只有在U的各项分别以一定的概率取正值、负值或零是才是可能的。假定３（常方差假定）：即对于每一个给定的Ｘi(i=1,2,…，n)来说，Ui的方差（即条件方差）为常数。换言之，即对应于不同的Ｘ值，各个U的总体具有相同的方差。用式子表示即：基本假定(2、3)

Ｄ2(Ui|Xi)=E(Ui-E(Ui))2=E(Ui)2=

这一假定表明，每一个U围绕其零均值的变差与Ｘ无关，换言之,U的取值不受Ｘ的影响，两者的协方差为零。用式子表示即：

Cov(U,X)=E[(Ui－Ｅ(Ui)][Xi－Ｅ(Xi)]=E{Ui[Xi－Ｅ(Xi)]}=XiE(Ui)－E(Xi)E(Ui)=0这种情况可以用某种商品在一年12个月中取不同价格时每天的销售量来说明。一方面，虽然销售量会随着每个月价格的不同而变化，但另一方面尽管一个月中每天的价格相同，但每天的销售量却不一定相同。违反常方差性假定称作异方差。下面的图2－5和图2－6分别说明常方差和异方差。

图2－5图2－6异方差还有先增后减和先减后增等多种形式。假定４（正态性假定）：即随机扰动项U服从均值为零方差为常数的正态分布。用式子表示即：

Ui～Ｎ(0,σ2)

这一假定表明，随机扰动项Ｕ在回归直线两旁分布的基本规律是，越是靠近回归直线其分布的密度就越大，越是远离回归直线，其分的布密度就越小。换言之，即Ｕ的较小值比较大值观测到的概率要大，极端值观测到的概率更小，甚至不可能。这一假定可分别用图2－7中的ａ、ｂ、ｃ予以说明。

图2－7基本假定(4)

§2.3最小平方估计方法2.3.1一元线性回归模型的几种不同表达方式

一般的一元线性回归模型是：Ｙ＝α＋βＸ＋U一．Ｘ与Ｙ的真实关系式Ｙ＝α＋βＸ＋U也叫总体方程式二．真实的回归直线

Ｅ（Ｙ）＝α＋βＸ也叫总体回归直线三．由样本估计的关系式也叫样本方程式其中e是…四．由样本估计的回归直线

也叫样本回归直线其中是…根据样本方程式应有：一元模型的几种表达２.3.2回归的几种可能途径一．使残差总和最小

也就是使最小。这一准则的显著缺点是，无法反映观测点的离散程度。如图2－8所示。图2－8二．使残差的绝对值之和最小回归的几种可能途径三．使残差的平方和最小2.3.3最小平方准则及其特点

最小平方准则即：

求偏微分有：也就是：最小平方准则还可以采用另一中表达式来计算：解之，得到：证明从略证明：①－②得到（该式称作关于的斜率方程）（该式称作残差

的离差表达式）于是有:令则有回归系数离差式证明（2）

最小平方估计式具有如下重要特点：

一.回归直线过Ｘ和Ｙ的样本均值点，如图2－9所示。

二.估计值的均值等于观测值的均值。

也就是图2-9

三.残差的均值为零。

最小平方估计值的特点§2.4最小平方估计值的性质2.4.1线性特性所谓线性特性是说，估计值分别是样本观测值的线性组合或线性函数。线性特性表明了最小平方估计值与样本观测值的关系。证（１）证（2）：同理可证

2.4.2无偏性无偏性是指，参数估计值的期望值分别等于总体参数或真实参数α和β。

证明：假定样本是随机抽取的，则有：因此得到：同理，可证得：且因此应由：2.4.3有效性或最佳性有效性或最佳性是说，在所有的线性无偏估计量中，最小平方估计量具有最小方差特性，因而是最佳的。一.的方差二.的方差三.具有最小方差的证明这种证明可以采用反证法或比较证明法。显然，只有同时成立才有：显然，在di≠0的条件下，必有：同理可证，亦具有最小方差。2.4.4高斯－马尔可夫定理高斯－马尔可夫定理：在满足所有关于随机扰动项基本假定的条件下，最小平方估计值必然是最佳线性无偏估计量。§2.5最小平方估计值的标准误差与区间估计2.5.1的标准误差由特定样本所得到的参数估计值与总体参数究竟是否接近？这就需要用某一种“可靠性指标”来度量是否接近总体真实参数和。在统计上，衡量一个随机变量是否接近其期望值，一般都采用随机变量的标准误差。由最小平方估计值的方差公式容易得到标准误差分别为：关于（2－13）式和（2-14）的证明从略（详细证明参考教材38～39页）：残差平方和既可以直接计算，亦可以用下式计算：即：残差平方和=总评方和—回归平方和2.5.2总体真值α和β的区间估计

一.依正态分布进行估计

图2－10P(-z≤x≤z)＝1－2×P(x≥z)二.依ｔ－分布估计§2.6最小平方估计值的拟合优度与假设检验2.6.1拟合优度所谓拟合优度，是指样本回归直线对观测数据拟合的优劣程度。反映拟合优度的总体性指标，称作可决系数。总变差＝条件变差＋随即误差2－16式亦可以表示为：

ＴＳＳ＝ＲＳＳ＋ＥＳＳ

(a)(b)(c)图2－11一般地，－１≤ｒ≤１或者0≤｜ｒ｜≤１2.6.2假设检验一.的假设检验

假设检验的必要性是由抽样的随机性所决定的，这可以用上一节中的图2－11来说明。假设检验的基本原理可通过图2－12予以说明。图2－12二.假设检验中的两类错误

这两类错误可以标列如下：接受Ｈ0（拒绝Ｈ1）拒绝Ｈ0（接受Ｈ1）Ｈ0真Ｈ1假无误错误Ⅰ：弃真（５％）Ｈ0假Ｈ1真错误Ⅱ：存伪（９５％）无误三.相关系数的假设检验

H0：＝0H1：≠0注意，使用相关系数临界值进行假设检验，显著性水平不必除2。§2.7预测区间与弹性估计2.7.1点预测

点预测，也称作条件预测。即点预测通常都假定，Y与X间的关系在预测期间与样本期间保持相同，即所有参数在预测期间不发生变化。这就保证了为预测期间因变量观测值YF的期望E(YF)的无偏估计量。

2.7.2区间预测区间预测，其实质是根据已知的点预测值来为它的期望值作区间估计。这主要分两种情况：一.关于E(YF)的置信区间因为证明参考教材50页因此，根据区间估计的原理，应有：二.关于YF的置信区间

实际中我们往往所关心的只是残差的大小，所以，我们总是想要知道误差究竟会落在一个什么范围内。因此必须知道eF的方差。由于与具有独立性，所以，的方差很容易求得：图2－13这种证明的关键是要理解YF与的独立性。YF取决于未来的经济发展，而则与过去的样本有关。于是根据：得到：2.7.3弹性及弹性估计回归系数小于零的情况请同学们自己讨论。§2.8案例分析建国后我国国民经济某部门若干年中生产资料的购买金额X与当年创造的国民收Y的统计数据如下表：年份194952576265707577Yi245364425314435729952948Xi6.714.132.660.380.2129.2224.7258.5现要求：（1）对二变量进行回归分析；（2）预测当Ｘ＝300时Ｙ的期望区间。解：（１）可先描出散点图，根据资料可算得：总体参数95％的估计区间为：Yi=264+2.853Xir**=0.962(44.7)(0.332)(r0.01=0.834)[154.5,373.5][2.04,3.67]EX=0.522

所以，预测区间就是：

1120－2.45×72.41≤E(YF)≤1120＋2.45×72.41即：942.8≤E(YF)≤1297.2案例分析的EXCEL输出结果：运用EXCEL回归分析工具进行回归分析的步骤：1）输入数据（注意：同一变量序列必须按列输入），利用图表向导画散点图；2）打开“工具”菜单；3）选择“数据分析”；4）选择“回归”命令;5)进行输入输出选择。演示本章作业：

教材2版书第63页习题5和6。5.已知某厂1991～1997年某产品产量X与利润Y的资料如下表：现要求：(1)画出散点图；(2)建立一元线性回归模型；(3)对回归系数的经济意义进行解释。年份1991199219931994199519961997X（万件）34444958677685Y（万元）252834366042466.1991年我国对36730户城镇居民年人均收入和人均生活消费的抽样调查结果如下表所示（资料来源：《中国统计年鉴1992》）。现要求：ID人均收入（X）人均生活消费（Y）1928.86879.7821006.54938.0231239.651115.8641439.051264.451671.431441.7561951.291625.6172283.081882.9882956.812273.24均值1684.588751427.705（1）求消费函数和储蓄函数，并画图说明消费和储蓄与收入间的关系；（2）试运用公式证明储蓄函数与消费函数的关系；（3）试预测当某家庭人均收入为3000元时人均消费和人均储蓄的期望区间。作业的上机部分完成后保存成文件，发到下面的信箱里：zoyebox@163.com注意：1.模型的表达可使用Ward完成（需要使用公式编辑器）；2.必须在邮件的主题位置打上自己的姓名和学号；3.限上机时当堂完成，以后发来的无效，不予登记。第三章多元线性回归模型第一节二元线性回归模型第二节一般线性回归模型第三节非线性模型回归第四节偏相关第五节方差分析第六节几种常用的F检验第六节虚拟变量模型第七节案例分析84*3.1.1正规方程及回归参数假定模型为同时假定不存在多重共线性（或不完全共线），即自变量虽互相影响，但相关系数不等于1样本方程为要使最小其中需使§3.1二元线性回归模型85整理后得到：由方程1得：（3－2）86*证明（3－4）应有这也就是离差正规方程87根据离差正规方程应有（3－5）88*

3.1.2多重可决系数

在二元模型中，可决系数表示由回归平面解释的Y的总变差的百分比，如图3－1所示。

定义

因为：

(两项均为0)（参3－4）89*3.1.3的均值与方差

均值

方差90*的方差证明（参3－5）91*（参3－5）92*3.2.1正规方程的推广

总体方程

样本方程

根据

应有

同时依据

即可得到观测值正规方程和离差正规方程分别为：3.2一般线性回归模型注意：必须成立k<(n-1)93*观测值正规方程：离差正规方程：94*3.2.2可决系数的推广95*调整的可决系数：证明其中：n－样本容量k－解释变量数目96*其中，是离差正规方程中系数矩阵主对角线上第j个元素的子行列式。如二元模型中3.2.3回归参数方差公式的推广在一元中在二元中在多元中97*3.3.1具有常弹性的曲线函数三方面的优越特性：（1）当其中任何一个自变量为0时，依变量就为0，因而常用来研究必要生产因素与产出的关系。（2）分别表示了产出变化对相应投入的弹性（系数）弹性=边际值/平均值3.3非线性模型回归98*（3）反映产出变化的规模报酬当时，Y为递增规模报酬当时，Y为不变规模报酬当时，Y为递减规模报酬99*其中e为自然对数的底（e=2.718）参数估计令对此二元线性模型应用最小平方方法即可100*在抛物线中,当时,有当K=3时，3.3.2抛物线型及其它k阶多项式(假定X为必要生产因素)在现实的经济生活中，抛物线型的经济关系很多，如变动资源的投入与产出的关系，“浴盆定律”等等。假定：101*在估计参数时，对于k阶多项式：在一般情况下，具体可参考下页的附图。102*生产函数三阶段示意图103*3.3.3指数曲线及变种函数在这里，B可看作Y的发展速度，不难看出Yt/Yt-1=B。即B＝（ABt）/(ABt-1)而b可近似地看作是Y的增长速度（因为b＝lnB）。指数曲线常用来描述生长情况。估计参数时两端同时取对数即可。两端取对数后即：即：y＝a＋bt104*指数曲线的变种函数除了用来反映某些经济变量的变化趋势外，也还可用来考察商品的寿命周期，一般可以将考察的对象分为：引入期（或成长期）、成熟期、衰退期和消亡期。指数曲线的变种函数即其曲线图分两种形式105*参数估计可采用分组累加法根据应有于是同时可得到106*3.4偏相关

3.4.1偏相关及相关系数矩阵

偏相关分析，就是在控制或消除其他变量影响的条件下，分析多个变量中某两个变量的相关程度，这种相关程度一般用偏相关系数表示。偏相关系数的计算常常要用到相关系数矩阵。三个变量的相关系数矩阵即：其特点是：(1)是一个主对角线均为1的对称矩阵(2)行列式的值域为，为0时所有的变量均为函数关系，为1时所有的变量互相独立。107*3.4.2偏向关系数的定义对于二元模型一般地有式中，Rij表示相关系数矩阵中相应元素的代数余子式；i,j均为相应标号，s是所有标号中不包括i、j的集合。108*

3.4.3偏相关系数的证明(以r01.2为例)假定真实的关系为:同时假定于是,根据109*再根据：可得到：连同上述y*和x1*一起代入r01.2的表达式，得到：在上式中根据简单相关系数与回归系数的关系，代如：即不难得到最后的结果。1103.5.1单因素方差分析引例1：有一种汽油，采用不同的配比（辛烷值含量）进行燃烧值试验。假定有三种不同的配比，分别进行了5次实验，实验结果如下：问三种配比究竟有没有明显的条件差异?3.5方差分析111*其中：亦即：TSS＝ESS＋RSS第一步：把Y的总变差分为两部分：112在引例1中：检验的原假设和被择假设分别为:H0:无条件差异;H1:有条件差异∵F>Fα(V1，,V2)∴应接受H1Excel求解演示1133.5.2

双因素方差分析引例2：汽油的燃烧值与辛烷值和含硫量有关。假定选择的两因素的水平为：将两种不同水平交叉分组，然后进行试验，得出结果为：114*第一步：先对Y的总变进行分解：平方后加总即：TSS=ASS+BSS+ESS其中：自由度为：k－1自由度为：n－1自由度为：(k－1)(n－1)自由度为：nk－1115*在本例中误差绝对值表：116*Excel求解演示第二步，分别计算F比：117*3.5.3方差分析与回归分析的比较例：以单因素方差分析为例Excel求解演示

[-77.5，39.2][1.045，1.555]在方差分析中：467.7=426.5+41.2118*

结论（1）：在回归分析中，回归平方和就相当于方差分析的条件变差，误差平方和就相当于方差分析中的试验误差。因此，对回归分析也可进行F-检验。在多元线性回归分析中，F检验多用于检验模型的总显著性水平，或可决系数的可靠性。119*

结论（2）：在一元线性回归中，假设检验中的F-检验等价于t-检验。证（1）120*证（2）所以，在一元模型中，对于回归系数或相关系数的t-检验与F-检验通常只进行其中之一就可以了。[补充]关于多元模型(以二元模型为例)的表达:F=____()()()()[][][]____121*3.6几种常用的F检验3.6.1由于增添新解释变量而使拟合改进的检验第一步：假定完整模型为：先对其中m个变量回归，得到：分别用表示总变差中被解释的部分和未被解释部分。122*第二步：在m个变量回归的基础上，引进其余的k-m个变量进行回归。同时得到相应的第三步：计算合适的F比，并进行假设检验在Eviews1.0中，这种增加解释变量是否使拟合得到改进的检验可以通过键入命令Add进行。123*3.6.2对由不同样本求得的系数差异性的检验（Chow检验）第一步：合并两个样本，构成一个有个观测值的新样本，对新样本回归得，(p代表合并)，自由度为第二步：分别对每个样本回归，得到各自的自由度为，记回归系数分别为124*第三步：计算，其自由度为（k+1）；根据散点图知，大样本的误差平方和必大于小样本的误差平方和，所以，除非两个小羊本的分布趋势完全一致（这时，合并样本的误差与两个小样本的误差之和相等），否则，绝对不会出现两个样本的误差之和大于合并样本误差的情况。因为，划小了样本只能使得估计的回归直线与观测值更贴近，估计的误差会变得更小。这实际也正是这种检验得以进行的基本原理。第四步：求F比：125*3.6.3当样本容量增大时，回归系数稳定性的检验当增加样本点大于k个时，应用Chow检验。当增加样本点小于或等于k个时，按以下步骤：第一步：由容量为n1的原样本进行回归，得到，自由度为，记回归系数为第二步：由扩大的样本回归，得到，自由度为，记回归系数为126*第三步：计算，其自由度为第四步：求F比H0：H1：127*3.6.4对模型中参数所加约束的检验给模型中施加一些约束，可明显地减少需要估计的参数数目。以道格拉斯生产函数为例：取对数后得到:这时：即128*显然，施加约束以后都明显地减少了需要估计的参数数目。然而所加约束是否真实则必须进行检验。再比如：如果已知：则：129*第一步：对原来未加约束的关系式估计参数，得到，其自由度是第二步：对约束关系式估计参数，得到，其自由度为第三步：计算,其自由度为c第四步：计算F比，在Eviews1.0中，这种检验可通过键入Wald命令进行（常参数规定为C1）。130*3.7虚拟变量模型3.7.1虚拟变量及其作用虚拟变量跟实在变量相对应，主要用来描述质量属性，所以也叫质量属性变量或一位二进制变量。虚拟变量在实际应用中的例子很多，比如：

虚拟变量的主要作用包括：1分离异常因素影响；如分析新中国建国后的经济发展，可设：2反映不同的属性类型对因变量的影响，如上述两类变量。3提高模型精度引入虚拟变量就相当于将一个被解释变量分若干种情况来考虑，因而也就相当于对某一个变量按不同属性分层抽样，因而方差会大大减小（这是因为，在x～N（μ，σ2）的条件下，）。1313.7.2虚拟变量的引入(1)加法方式设某地区的居民消费Y与收入X间的关系为：其中：这实际上相当于两个函数：前者D＝1，后者D＝0。从图中不难看出，加法方式引入的虚拟变量通过调整截距区分异常情况。132*比如，如果在在§2.8的案例中，采用加法方式引入虚拟变量，则可得到：显然，模型的精度提高了许多（其中，1、4、5、8号变量取零，其余取1）。原对照模型是：133其中：XY的含义与上述相同。运用OLS方法估计后得到：这同样也可以看作两个函数：前者D＝1，后者D＝0。从图中不难看出，乘方方式引入的虚拟变量通过调整斜率来反映异常情况。(2)乘法方式：134*对上述案例采用乘法方式引入虚拟变量得到的结果是：原对照模型为：135*该模型回归后可分解为：前者D=1，后者D＝0。显然，这种方式加入的虚拟变量是截距和斜率一起调整的。136*注意！防止跌入“虚拟变量陷阱”。因为，一旦违反虚拟变量设置的原则，把虚拟变量设成了m个，就导致了模型的不唯一性。3.7.3虚拟变量设置的原则如果有m种互斥的属性类型，则引入模型的虚拟变量数应为m-1个。比如137§3.8案例分析下表是我国1984一1991年三种宏观数据的统计数据(引自《中国统计年鉴1992》)，试估计社会商品零售总额的二元回归模型。查看研究论文138*应用Eviews10进行经济计量分析的步骤：EViews10通常需要先安装，然后使用。其步骤是：（1）建立工作文件（使用菜单命令File/New，或用create命令，同时确定样本容量或数据起止点）；（2）输入数据（使用Data命令，注意带上变量参数。也可以由Excel中复制粘贴数据）；（3）进行回归分析（使用Ls命令，一般格式为：lsy（被解释变量）c（常参数）＋解释变量。运用Eviews的显著有点是：生成新序列（运用Genr命令）、引入之后变量（用变量名x（－1）即可）都很方便。而且，由于EViews为经济计量学的专用软件，因而其输出信息比Excel更丰富。关于Eviews的常用命令参教材97页。139*先作出社会商品零售总额对于每一解释变量的散点图：140*EView10的输出结果（1）LS//DependentVariableisYSample:19841991Includedobservations:8VariableCoefficientStd.ErrorT-Statistic Prob.C 544.4771 1399.072 0.389170 0.7132X1 1.794231 0.733709 2.445424 0.0583X2 11.59356 11.94230 0.970798 0.3762R-squared 0.981594Meandependentvar6462.750AdjustedR-squared 0.974231S.D.dependentvar2157.581S.E.ofregression 346.3474Akaikeinfocriterion 11.97488Sumsquaredresid 599782.7Schwartzcriterion 12.00467Loglikelihood -56.25103 F-statistic 133.3246Durbin-Watsonstat 0.805191 Prob(F-statistic) 0.000046141*EView10的输出结果（2）LS//DependentVariableisYDate:04/05/03Includedobservations:8VariableCoefficient Std.ErrorT-Statistic Prob.C -18223.46 10561.71 -1.725427 0.1450X1 1.384292 0.595185 2.325818 0.0676X3 4104.694 2156.967 1.902993 0.1154R-squared 0.987313Meandependentvar 6462.750AdjustedR-squared0.982239S.D.dependentvar 2157.581S.E.ofregression287.545Akaikeinfocriterion 11.60276Sumsquaredresid413411.4Schwartzcriterion 11.63255Loglikelihood -54.76254 F-statistic 194.5561Durbin-Watsonstat1.02942Prob(F-statistic) 0.000018142EView10的输出结果（3）LS//DependentVariableisXSample:19851991Includedobservations:7VariableCoefficientStd.Error T-Statistic Prob.C 2990.703 842.7764 3.548631 0.0238Y 2.799708 0.487246 5.745983 0.0045Z(-1) -7.741557 7.957735 -0.972834 0.3857R-squared 0.985720 Meandependentvar 6903.714AdjustedR-squared 0.978580 S.D.dependentvar 1901.619S.E.ofregression 278.3098 Akaikeinfocriterion 11.55500Sumsquaredresid 309825.3 Schwartzcriterion 11.53182Loglikelihood -47.37506 F-statistic 138.0591Durbin-Watsonstat 1.519159 Prob(F-statistic) 0.000204143*EView10的输出结果（4）LS//DependentVariableisXSample:19861991Includedobservations:6Variable Coefficient Std.Error T-Statistic Prob.C 3664.560 515.6031 7.107327 0.0057Y 3.019564 0.320000 9.436130 0.0025Z(-2) -13.95224 5.423149 -2.572720 0.0823R-squared 0.993496 Meandependentvar7336.833AdjustedR-squared 0.989161 S.D.dependentvar 1662.412S.E.ofregression 173.0782 Akaikeinfocriterion10.61434Sumsquaredresid 89868.21 Schwartzcriterion 10.51022Loglikelihood -37.35665 F-statistic 229.1388Durbin-Watsonstat 3.270882 Prob(F-statistic) 0.000524144*EView10的输出结果（5）LS//DependentVariableisXSample:28Includedobservations:7Variable Coefficient Std.Error T-Statistic Prob.C 1586.415 813.5123 1.950081 0.1463Y 2.114253 0.434317 4.867991 0.0166Z 17.04250 7.069770 2.410615 0.0950Z(-1) -13.40505 5.853874 -2.289945 0.1060R-squared 0.995138 Meandependentvar 6903.714AdjustedR-squared 0.990276 S.D.dependentvar 1901.619S.E.ofregression 187.5185 Akaikeinfocriterion10.76331Sumsquaredresid 105489.6 Schwartzcriterion 10.73241Loglikelihood -43.60417 F-statistic 204.6784Durbin-Watsonstat 1.707478 Prob(F-statistic) 0.000575145*本章应完成作业二版书第110页第5、第6题。5.下表示我国1990~2000年GDP产出与固定资产和劳动力投入情况（录自《中国统计年鉴2001》）：时间GDP全社会固定资产从业人数（亿元）投资（亿元）（万人）199018547.94517.063909199121617.85594.564799199226638.18080.165554199334634.413072.366373199446759.417042.167199199558478.120019.