任意角新授课+++2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修+第一册

5.1.1任意角新课程标准解读核心素养1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，了解象

限角的概念数学抽象2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的

角所组成的集合直观想象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩.跳水

（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以

特定动作入水的运动.【问题】

如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动

员转过的角度是多少？⁠

知识点一

任意角的概念1.

角的概念角可以看成

绕着它的

旋转所成的图形.一条射线端点2.

角的表示如图，（1）始边：射线的

位置

OA

；（2）终边：射线的

位置

OB

；（3）顶点：射线的端点

O

；（4）记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠

AOB

”.起始终止3.

角的分类【想一想】1.

始边与终边重合的角一定是零角吗？提示：不一定.只有始边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才

是零角.2.

正角、负角、零角是根据什么区分的？提示：根据组成角的射线是否旋转及旋转方向.知识点二角的加、减法设α，β是任意两个角：（1）角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角

是

.α＋β角的始边为α的始边，终边为β的终边；（2）相反角：把射线

OA

绕端点

O

按不同方向旋转相同的量所成的两

个角叫做互为

，角α的相反角记为

⁠；（3）角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反

数”一样，我们有α－β＝α＋（－β）.这样，角的减法可以

转化为角的加法.α＋β

相反角－α

知识点三象限角与终边相同的角1.

象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与

重合，角的

始边与

轴的非负半轴重合，那么，角的

⁠在第几象

限，就说这个角是第几

；如果角的终边在

⁠

，那么就认为这个角不属于任何一个象限.2.

终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成

一个集合

S

＝

，即任一与角α

终边相同的角，都可以表示成角α与

的和.原点x

终边象限角坐标轴

上{β｜β＝α＋

k

·360°，

k

∈Z}

整数个周角提醒

对集合

S

＝{β｜β＝α＋

k

·360°，

k

∈Z}的理解：①角α

为任意角，“

k

∈Z”不能省略；②

k

·360°与α中间要用“＋”连

接，

k

·360°－α可理解成

k

·360°＋（－α）；③相等的角的终

边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数

个，它们相差360°的整数倍.

1.

若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为（

）A.120°B.

－120°C.

－60°D.60°

2.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（

）解析：

与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z，当k=-1时，37°-180°=-143°，所以，-143°角的终边与37°角的终边在同一直线上.故答案为：D.

A.-37°

B.143°

C.379°

D.-143°3.

角α＝－60°＋

k

·180°（

k

∈Z）的终边落在（

）A.

第四象限B.

第一、二象限C.

第一象限D.

第二、四象限解析：

令

k

＝0，则α＝－60°，角α的终边在第四象限；再令

k

＝1，则α＝－60°＋180°＝120°，角α的终边在第二象限，

故选D.

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升

题型一任意角的概念【例1】

（多选）下列说法正确的是（

）A.

锐角都是第一象限角B.

第一象限角一定不是负角C.

小于180°的角是钝角、直角或锐角D.

在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角解析：

锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是

第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所

以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或

锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°

角，所以不一定是钝角，所以D正确.通性通法理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概

念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论

正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要

举一个反例即可.【跟踪训练】1.

射线

OA

绕端点

O

逆时针旋转120°到达

OB

位置，由

OB

位置顺时

针旋转270°到达

OC

位置，则∠

AOC

＝（

）A.150°B.

－150°C.390°D.

－390°解析：

各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以∠

AOC

＝

120°＋（－270°）＝－150°，故选B.

2.

经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（

）A.60°，720°B.

－60°，－720°C.

－30°，－360°D.

－60°，720°

题型二终边相同的角【例2】

已知α＝－1

845°，在与α终边相同的角中，求满足下列

条件的角：（1）最小的正角；（1）最小的正角为315°.解：因为－1

845°＝－45°＋（－5）×360°，即－1

845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋

k

·360°，

k

∈Z}.（2）最大的负角；解：最大的负角为－45°.（3）－360°～720°范围内的角.解：－360°～720°范围内的角分别是－45°，315°，

675°.通性通法终边相同的角的表示（1）终边相同的角都可以表示成α＋

k

·360°（

k

∈Z）的形式；（2）终边相同的角相差360°的整数倍；（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.【跟踪训练】1.

若角2α与240°角的终边相同，则α＝（

）A.120°＋

k

·360°，

k

∈ZB.120°＋

k

·180°，

k

∈ZC.240°＋

k

·360°，

k

∈ZD.240°＋

k

·180°，

k

∈Z解析：

角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋

k

·360°，

k

∈Z，则α＝120°＋

k

·180°，

k

∈Z.

2.

写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1

080°范围内

与75°角终边相同的角.解：与75°角终边相同的角的集合为

S

＝{β｜β＝

k

·360°＋

75°，

k

∈Z}.当360°≤β≤1

080°，即360°≤

k

·360°＋75°≤1

080°时，

题型三象限角【例3】

（1）（多选）在①160°；②480°；③－960°；④1

530°这四个角中，是第二象限角的是（

）A.

①B.

②C.

③D.

④解析：

第二象限角α需满足

k

·360°＋90°＜α＜

k

·360°

＋180°，

k

∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限

角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C.

A.

第一或第三象限B.

第一或第二象限C.

第二或第四象限D.

第三或第四象限

【母题探究】（变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置.解：∵α是第二象限角，∴

k

·360°＋90°＜α＜

k

·360°＋180°（

k

∈Z）.∴

k

·720°＋180°＜2α＜

k

·720°＋360°（

k

∈Z）.∴角2α的终边在第三或第四象限或在

y

轴的非正半轴上.

A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限

A.

第一象限角B.

第二象限角C.

第三象限角D.

第四象限角

题型四区域（间）角及终边在已知直线上的角的表示【例4】

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值

范围.解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为

S1＝{α｜α＝

30°＋

k

·180°，

k

∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在

直线上的角的集合为

S2＝{α｜α＝105°＋

k

·180°，

k

∈Z}，因此，

终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α｜30°＋

k

·180°≤α

＜105°＋

k

·180°，

k

∈Z}.通性通法1.

求解终边在某条直（射）线上的角的集合的思路（1）若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β｜β＝

k

·180°＋α，

k

∈Z}；（2）若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β｜β＝

k

·360°＋α，

k

∈Z}.2.

表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～

360°范围内的角α和β，写出最简区间{

x

｜α＜

x

＜β}，其中β

－α＜360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即

得区域角集合.【跟踪训练】已知，如图所示.（1）分别写出终边落在

OA

，

OB

位置上的角的集合；解：

终边落在

OA

位置上的角的集合为

{α｜α＝210°＋

k

·360°，

k

∈Z}，终边落在

OB

位置上的角的集合为{α｜α＝300°＋

k

·360°，

k

∈Z}.（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.解：

终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是{α｜210°＋

k

·360°≤α≤300°＋

k

·360°，

k

∈Z}.

1.

把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是

（

）A.120°B.

－120°C.240°D.

－240°解析：

一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角

是－240°，故选D.

2.

－495°角的终边与下列哪个角的终边相同（

）A.135°B.45°C.225°D.

－225°解析：

因为－495°＝－2×360°＋225°，所以与－495°角

终边相同的是225°角.故选C.

3.

已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线

OA

与

y

轴正半

轴的夹角为30°，则α＝（

）A.

－480°B.

－240°C.150°D.480°解析：

由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为

480°，∴α＝480°.4.

在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们

分别是第几象限角：（1）－150°；（2）650°.解：（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是

210°角，它是第三象限角.（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°

角，它是第四象限角.知能演练·扣课标03课后巩固核心素养落地

1.

若α是第四象限角，则180°－α是（

）A.

第一象限角B.

第二象限角C.

第三象限角D.

第四象限角解析：

可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故

180°－α是第三象限角.123456789101112131415162.

已知集合

A

＝{α｜α＝

k

·90°－36°，

k

∈Z}，

B

＝{β｜－

180°＜β＜180°}，则

A

∩

B

＝（

）A.

{－36°，54°}B.

{－126°，144°}C.

{－126°，－36°，54°，144°}D.

{－126°，54°}解析：C

在集合

A

中，令

k

取不同的整数，即取

k

＝－1，得α＝

－126°；取

k

＝0，得α＝－36°；取

k

＝1，得α＝54°；取

k

＝

2，得α＝144°.所以

A

∩

B

＝{－126°，－36°，54°，

144°}，故选C.

123456789101112131415163.

（2025秋·宝山区校级期末）下列说法正确的是（

）12345678910111213141516

4.

（多选）角α＝45°＋

k

·180°（

k

∈Z）的终边落在（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限解析：

当

k

＝2

m

＋1（

m

∈Z）时，α＝2

m

·180°＋225°＝

m

·360°＋225°（

m

∈Z），故α为第三象限角；当

k

＝2

m

（

m

∈Z）时，α＝

m

·360°＋45°（

m

∈Z），故α为第一象限角.故

α的终边落在第一或第三象限.123456789101112131415165.

终边在

x

轴上的角的集合可表示为

⁠

⁠.解析：由题意，若α的终边在

x

轴上，则α＝

m

·360°，

m

∈Z或α

＝180°＋

m

·360°，

m

∈Z，即α＝

k

·180°，

k

∈Z，故终边在

x

轴上的角的集合可表示成{α｜α＝

k

·180°，

k

∈Z}.{α｜α