初中九年级数学圆的基本性质知识清单

初中九年级数学圆的基本性质知识清单一、圆的基础概念与圆的确定（一）圆的定义（动态与静态）【基础】圆的定义有两种表达方式，这是理解所有圆的性质的基石。1、动态定义（描述性定义）：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。【基础】2、静态定义（集合性定义）：圆可以看成是所有到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。【基础】这意味着圆是“圆周”而非“圆面”，是一条封闭的曲线。这是后续研究点与圆位置关系的理论依据。（二）圆的确定条件【重要】1、经过一点：无数个圆。圆心可以是该点外的任意点，半径为该点到圆心的距离。2、经过两点：无数个圆。这些圆的圆心都位于连接这两点所得线段的垂直平分线上。3、经过不在同一直线上的三点：有且只有一个圆（确定一个圆）。这个圆叫做三角形的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。【高频考点】4、经过不在同一直线上的四点：不一定能作圆。只有当四边形的对角互补（或一个外角等于它的内对角）时，四点才共圆，这是圆内接四边形的重要性质。（三）与圆相关的概念辨析【基础】【易错点】1、弦与直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。【易错点】常见判断题如“直径是弦，弦是直径”是错误的。2、弧与半圆：(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作“AB︵”。(2)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。(3)优弧与劣弧：大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（通常用两个字母表示）。【重要】在没有特别说明的情况下，通常所说的弧一般指劣弧。3、等圆与等弧：(1)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。等圆的半径相等。【基础】(2)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。【高频考点】【易错点】“长度相等的弧”不一定是等弧，因为只有在同圆或等圆的前提下，长度相等才意味着能够重合。这是中考选择题中常见的陷阱。4、弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。这是一个非常重要的辅助线要素，它经常与垂径定理结合使用。【重要】二、圆的基本性质与核心定理（一）圆的对称性【基础】1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。特别地，圆是中心对称图形，对称中心是圆心。2、轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。【易错点】对称轴是“直线”，不能说“直径是圆的对称轴”，因为直径是线段，而对称轴是直线。（二）垂径定理及其推论【必考核心】【非常重要】垂径定理揭示了垂直于弦的直径与弦及其所对弧之间的内在关系，是解决圆中有关弦长、半径、弦心距、拱高等计算问题的关键。1、定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。【高频考点】(1)几何语言表述：如图，在⊙O中，CD是直径，CD⊥AB于点E，则AE=BE，AD︵=BD︵，AC︵=BC︵。(2)基本图形：垂径定理的基本图形是一个等腰三角形（由半径和半弦组成）和一个直角三角形（由半径、弦心距和半弦构成）。勾股定理在此直角三角形中的应用是解题的关键。2、推论的实质：对于一个圆和一条直径（或过圆心的直线），如果具备以下五个条件中的任意两个，那么就能推出另外三个。【难点】(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦（不是直径）(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧特别提醒：当条件为“过圆心”和“平分弦”时，被平分的弦不能是直径，否则结论不一定成立。3、常见辅助线作法：(1)过圆心作弦的垂线（作弦心距），构造直角三角形。(2)连接圆心和弦的端点（作半径），构造等腰三角形或直角三角形。(3)对于实际问题中的“圆弧形桥拱”或“圆弧形水道”，通常建立“半径弦心距半弦长”的直角三角形模型。【热点】（三）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理【重要】1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。【高频考点】2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。【重要】(1)这是证明圆中弧相等、角相等、线段相等的重要依据。(2)使用时必须强调“在同圆或等圆中”的前提条件。3、弧的度数：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。（四）圆周角定理及其推论【必考核心】【非常重要】圆周角定理及其推论证角相等、证明线段垂直、寻找直径等提供了强有力的工具。1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。【基础】2、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【高频考点】(1)这一定理揭示了圆周角与圆心角之间的数量关系。(2)证明圆周角定理通常采用分类讨论的思想，分为圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部三种情况。3、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。【重要】4、推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。【高频考点】【热点】(1)这是圆中构造直角三角形的重要依据。(2)当题中出现“直径”条件时，常连接圆上一点与直径两端点，构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数解题。(3)当题中给出“圆周角为90°”时，要立即联想到它所对的弦是直径，这往往是确定圆心或半径的关键线索。5、推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（这是从圆周角定理的逆用角度得到的结论，常用于证明垂直）三、与圆有关的位置关系（一）点与圆的位置关系【基础】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为OP=d，则有：1、点P在圆内⇔d＜r2、点P在圆上⇔d=r3、点P在圆外⇔d＞r这是确定点和圆位置关系的代数依据，常与平面直角坐标系结合，考查点到圆心距离的计算。【基础题型】（二）三角形的外接圆与外心【重要】1、定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。【高频考点】2、性质：(1)外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离等于外接圆的半径。(2)锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点（斜边就是直径）；钝角三角形的外心在三角形外部。【难点】【易错点】3、确定方法：作任意两边中垂线，交点即为外心。四、圆内接四边形（一）定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。其中，四边形的情况最为常见。【基础】（二）性质定理【重要】【高频考点】1、对角互补：圆内接四边形的对角互补。几何语言：在⊙O中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。2、外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。【重要】几何语言：如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，则∠DCE=∠A。（三）判定1、如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点共圆。2、如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。五、思维拓展与思想方法（一）分类讨论思想【难点】在圆的问题中，由于点的位置不确定（如点在圆内还是圆外）、弦的位置不确定（如圆心与弦的相对位置）、两圆相交或相切的位置不明确，常常需要分类讨论，避免漏解。1、【典例】已知⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为_______。【解析】此题需分两种情况讨论：(1)当弦AB和CD在圆心O的同侧时，距离为OMON。(2)当弦AB和CD在圆心O的异侧时，距离为OM+ON。通过作弦心距，利用垂径定理和勾股定理计算，最终得到距离为1或7。【高频易错题】（二）转化思想1、利用垂径定理将弦长、弦心距、半径之间的计算转化为解直角三角形的问题。2、利用圆周角定理及其推论，将圆周角与圆心角、弧进行转化。3、在证明线段相等或角相等时，常通过圆的性质将其转化到三角形中，利用三角形全等或相似来解决。（三）方程思想在圆的计算题中，当直接求线段长度比较困难时，通常可以设未知数，利用勾股定理或相似三角形的比例线段列出方程求解。【典例】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC。若AB=8，CD=2，求EC的长。【解析】设⊙O的半径为r，则OC=r2。在Rt△AOC中，AC=4，由勾股定理得：4²+(r2)²=r²，解出r=5。再利用直径AE所对的圆周角是直角，构造Rt△ACE，利用勾股定理或相似求EC。六、考点、考向与解题策略（一）常见题型及考查方式1、选择题与填空题：(1)基本概念的辨析：如等弧的定义、弦与直径的关系、确定圆的条件等。【基础】(2)利用垂径定理进行简单计算：已知半径、弦长、弦心距中的两个量，求第三个量。【重要】(3)圆周角定理的简单应用：求圆周角或圆心角的度数。【高频考点】(4)圆内接四边形性质的应用：求角度。【热点】2、解答题：(1)圆的综合题：圆与三角形（全等、相似）、四边形、解直角三角形、函数等知识的综合考查，通常出现在中考试卷的压轴题位置。【非常重要】(2)证明题：证明线段相等、角相等、弧相等，证明四点共圆等。【重要】（二）核心考点分析1、垂径定理及其应用：几乎贯穿整个圆的知识体系，是计算半径、弦长、弦心距、拱高的首选工具。2、圆周角定理及其推论：特别是“直径所对的圆周角是直角”和“同弧所对的圆周角相等”，是证明两直线垂直、两角相等的重要桥梁。3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：用于证明同圆或等圆中的线段相等和角相等。（三）解题步骤与易错点提醒1、审题步骤：(1)标图：将已知条件（如半径、弦长、角度）清晰地标注在图上。(2)联想：看到“弦”想“弦心距”；看到“直径”想“直角”；看到“切线”想“垂直”。(3)建模：将圆的问题剥离出几何图形，转化为三角形问题解决。2、辅助线添加口诀：(1)有弦常作弦心距，连接半径勾股替。(2)见直径，找直角，圆上一点连两端。(3)圆有弦，可作垂，垂直平分是常规。(4)两圆相交公共弦，两圆相切连心线。3、易错点清单：(1)概念混淆：误认为“弦是直径”、“长度相等的弧是等弧”、“半圆是弧但弧一定是半圆”等。【易错点】(2)忽略前提：在使用圆心角、弧、弦的关系定理时，忽略“在同圆或等圆中”这一大前提。(3)漏解：在涉及点到圆上点的距离、平