人教版小学六年级数学上册知识清单

人教版小学六年级数学上册知识清单  一、分数乘法  （一）分数乘整数【重要】【基础】分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。其计算法则为：用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变。在计算过程中，能约分的可以先约分，然后再计算，这样可以使计算简便。约分时，约得的数要与原数上下对齐。例如，计算3/10×5，可以先将整数5与分母10约分，得到3/2×1=3/2。  （二）分数乘分数【核心】【高频考点】分数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。计算法则为：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。同样，计算前能约分的要先约分。约分时，通常是两个分数的分子与分母进行交叉约分。例如，计算4/9×3/8，可以先将分子4与分母8约分，分子3与分母9约分，得到1/3×1/2=1/6。这体现了在分数乘法计算中，先约分后计算的原则，能有效简化运算过程，降低出错率。0.666...小数【难点】分数乘小数，可以把小数化成分数，然后按照分数乘分数的方法进行计算；也可以把分数化成小数，然后按照小数乘法进行计算。但在分数化成小数时，需注意分数是否能化成有限小数。如果分数不能化成有限小数，则通常将小数化成分数进行计算更为准确。例如，计算2/3×0.5，可以将0.5化为1/2，得到2/3×1/2=1/3；若将2/3化为循环小数0.666...，再与0.5相乘，则计算复杂且容易产生误差。  （四）运算定律的推广【重要】整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。运用这些运算定律，可以使一些计算变得简便。乘法交换律a×b=b×a；乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)；乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c。在分数混合运算中，要仔细观察算式的特点，合理选择运算定律进行简便计算。例如，计算(5/6+3/4)×12，可以直接运用乘法分配律，得到5/6×12+3/4×12=10+9=19。  （五）解决问题——求一个数的几分之几是多少【核心】【高频考点】这是分数乘法应用的核心题型。解题关键是找准单位“1”的量。单位“1”已知，求它的几分之几是多少，用乘法计算。数量关系式为：单位“1”的量×分率=分率对应的量。在复杂的实际问题中，有时需要连续求一个数的几分之几，即连续两次或多次应用分数乘法。例如，一袋大米重50千克，第一周吃了它的1/5，第二周吃了剩下的1/4，求第二周吃了多少千克？此题中，单位“1”发生了变化，第一步先求第一周吃完后剩下的量：50×(11/5)=40（千克）；第二步再求第二周吃的量，此时单位“1”是剩下的40千克，40×1/4=10（千克）。  （六）解决问题——稍复杂的求一个数的几分之几是多少【难点】【易错点】这类问题通常涉及“比一个数多（或少）几分之几”的数量关系。解题时，首先要明确“比一个数多（或少）几分之几”的含义，即这个数本身加上（或减去）它的几分之几。单位“1”仍然是已知的。例如，一种商品原价200元，现在涨价1/5，现价是多少元？这里“涨价1/5”是指现价比原价增加了原价的1/5，所以现价=原价+原价×1/5=200+200×1/5=240（元）；也可以先求出现价是原价的几分之几，即1+1/5=6/5，然后用原价乘这个分率：200×6/5=240（元）。同理，“降价1/5”则是指现价比原价减少了原价的1/5，现价=原价×(11/5)。  二、位置与方向（二）  （一）确定物体位置的方法【基础】在平面图上表示一个点的位置，需要两个条件：方向和距离。通常以观测点为中心，用方向和角度描述物体的位置。描述时，一般先说方向，再说角度，最后说距离。例如，学校在小明家北偏东30°方向上，距离是400米。这里的“北偏东30°”是指以正北方向为始边，向东旋转30°所形成的方向。同样，“南偏西40°”是指以正南方向为始边，向西旋转40°。  （二）绘制物体位置的方法【重要】绘制物体位置时，首先要确定观测点，并画出以观测点为中心的十字方向标（上北下南左西右东）。然后，根据描述的方向和角度，用量角器画出该方向的射线。最后，根据描述的距离，按比例尺计算出图上距离，并在射线上标出物体的位置。绘制过程中，要特别注意角度的起始边和旋转方向是否正确，比例尺的使用是否准确。  （三）位置关系的相对性【难点】两个物体的位置关系具有相对性。例如，如果A在B的北偏东30°方向，距离500米，那么B在A的南偏西30°方向，距离也是500米。观测点不同，描述的方向正好相反（角度不变，方向相反）。理解这一相对性，有助于解决一些涉及两个观测点的实际问题，如绘制线路图、确定两地间的相对方位等。  （四）描述和绘制简单的路线图【高频考点】描述路线图时，需要按照行走的顺序，依次说清楚从哪里出发，沿着什么方向，走多少距离，到达哪里。在绘制路线图时，要根据每一段的描述，确定观测点的变化，并在新观测点上重新建立方向标，再绘制下一段的方向和距离。整个过程要保证方向和距离的准确性，以及路线图的连续性。  三、分数除法  （一）倒数的认识【基础】乘积是1的两个数互为倒数。求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母调换位置即可。1的倒数是1，0没有倒数。对于小数或带分数，求倒数时，通常先将其化成分数形式，再调换分子分母的位置。例如，0.25=1/4，其倒数是4；带分数1又2/3=5/3，其倒数是3/5。  （二）分数除法的计算法则【核心】【高频考点】分数除法的计算法则是：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即甲数除以乙数（乙数不为0），等于甲数乘乙数的倒数。这一法则适用于分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数等各种情况。计算过程中，同样能约分的要先约分，使计算简便。例如，计算4/5÷8，等于4/5×1/8=1/10；计算6÷3/4，等于6×4/3=8；计算5/6÷5/12，等于5/6×12/5=2。  （三）分数混合运算【重要】分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同：先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。同时，整数运算定律（交换律、结合律、分配律）在分数混合运算中同样适用。在进行分数混合运算时，要仔细观察算式中数字的特点和运算符号，合理运用运算定律进行简便计算。例如，计算(7/85/6)÷1/24，可以将除法转化为乘法，再运用乘法分配律：(7/85/6)×24=7/8×245/6×24=2120=1。  （四）解决问题——已知一个数的几分之几是多少，求这个数【核心】【高频考点】这是分数除法应用的核心题型，与分数乘法中的“求一个数的几分之几是多少”相对应。解题关键是找准单位“1”。当单位“1”未知时，需要列方程或用除法求解。数量关系式为：分率对应的量÷分率=单位“1”的量。例如，一个数的2/3是24，求这个数，即用24÷2/3=24×3/2=36。在解决实际问题时，要先找出题目中的等量关系，设单位“1”的量为x，列出方程求解，或者直接根据除法的意义用除法计算。  （五）解决问题——稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数【难点】【易错点】这类问题通常涉及“比一个数多（或少）几分之几”的逆向思考。题目会给出比单位“1”多（或少）几分之几的量，要求单位“1”的量。解题时，需要先分析出已知量相当于单位“1”的几分之几。例如，一种商品现价240元，比原价涨价1/5，原价是多少元？这里，现价240元对应的分率是“1+1/5”，即原价的6/5。所以原价=现价÷(1+1/5)=240÷6/5=200（元）。同理，如果题目是“现价比原价降价1/5”，则现价对应的分率是“11/5”，原价=现价÷(11/5)。  （六）解决问题——和倍、差倍问题【难点】这类问题通常给出两个量的和（或差）以及这两个量之间的倍数关系（几分之几的关系），要求这两个量各是多少。解题时，一般设单位“1”的量为x，然后用含有x的式子表示另一个量，再根据和（或差）列方程求解。例如，果园里有苹果树和梨树共360棵，其中梨树的棵数是苹果树的4/5。求苹果树和梨树各有多少棵？设苹果树有x棵，则梨树有4/5x棵，根据总数列方程：x+4/5x=360，解得x=200，则梨树有4/5×200=160（棵）。这类问题的关键是找准作为单位“1”的量，并用分率表示出另一个量。  四、比  （一）比的意义【基础】两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。比与除法、分数之间有着密切的联系：比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比号相当于除号、分数线；比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母；比值相当于除法中的商、分数中的分数值。需要注意的是，比的后项不能为0。  （二）比的基本性质【核心】【高频考点】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。利用比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比，即比的前项和后项只有公因数1。化简比的方法：整数比，可以用前项和后项同时除以它们的最大公因数；分数比，可以用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比后再化简；小数比，可以先把前项和后项的小数点向右移动相同的位数，化成整数比后再化简。例如，化简比1/2:1/3，可以同时乘6，得到3:2。  （三）比的应用——按比例分配【核心】【高频考点】按比例分配是把一个数量按照一定的比例进行分配的问题。解题的关键是求出总份数，然后根据各部分的份数占总份数的几分之几，用分数乘法求出各部分的数量。一般步骤：先求出总份数；再求各部分量占总量的几分之几；最后用总量乘各部分对应的分率。例如，一个三角形的三个内角度数比是2:3:4，求三个内角各多少度？总份数2+3+4=9，总角度180度，三个角分别为：180×2/9=40°，180×3/9=60°，180×4/9=80°。在解决实际问题时，要准确理解题目中比的含义，找出对应的总量和总份数。  （四）比在工程问题中的应用【拓展】工程问题中，常常把工作总量看作单位“1”，工作效率可以用工作时间的倒数来表示，工作效率的比就反映了完成相同工作量所需时间的反比关系，或者在相同时间内完成工作量的正比关系。例如，一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，甲和乙的工作效率比是1/10:1/15，化简后为3:2。这反映了在单位时间内，甲完成的工作量是乙的1.5倍。  五、圆  （一）圆的认识【基础】圆是由一条曲线围成的封闭图形。圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。同一个圆内，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度也都相等。直径的长度是半径的2倍，即d=2r或r=d/2。圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。3....心】【高频考点】围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母C表示。圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母π表示。π是一个无限不循环小数，π≈3....，在实际应用中，通常取近似值3.14。圆的周长计算公式为：C=πd或C=2πr。已知圆的周长，求直径或半径，可以用公式d=C÷π，r=C÷π÷2。在解决实际问题时，要分清题目中给出的是直径还是半径，并注意单位换算。  （三）圆的面积【核心】【高频考点】圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。圆的面积公式是通过将圆分割、拼凑成近似长方形推导出来的。拼成的近似长方形的长相当于圆周长的一半（πr），宽相当于圆的半径（r），因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积公式为：S=πr²。已知圆的直径或周长，求面积时，需要先求出半径，再代入公式计算。例如，已知直径d，则半径r=d/2，面积S=π(d/2)²=πd²/4。  （四）圆环的面积【重要】两个半径不等的同心圆之间的部分叫做圆环。圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。公式为：S=πR²πr²=π(R²r²)，其中R为外圆半径，r为内圆半径。计算时，可以先分别求出两个圆的面积，再相减；也可以利用乘法分配律，先求出半径平方差，再乘π。例如，一个圆环，外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米，其面积为：3.14×(5²3²)=3.14×16=50.24（平方厘米）。  （五）扇形【基础】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形就越大。扇形的面积公式为：S=n/360×πr²，其中n表示圆心角的度数。这个公式体现了扇形面积与整个圆面积的比例关系。  （六）解决问题——圆的周长和面积综合应用【难点】【易错点】此类问题通常将圆的周长和面积公式与实际问题相结合，如求环形跑道的周长和面积、求圆形花坛中铺小路的面积、求捆扎圆柱形物体时绳子的长度等。解题时，需要仔细分析图形，弄清所求问题是周长还是面积，涉及哪些基本图形（圆、圆环、扇形、长方形等），并根据图形的组合特点，灵活运用公式进行计算。例如，求半圆的周长时，容易漏掉直径的长度，半圆周长=圆周长的一半+直径=πr+2r。  六、百分数（一）  （一）百分数的意义和读写法【基础】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示，例如百分之三十写作30%。百分数的分子可以是整数，也可以是小数。百分数只表示两个数之间的倍比关系，不能带单位名称，所以它不能表示具体的数量。读百分数时，先读分母（%读作“百分之”），再读分子。例如，45%读作百分之四十五。  （二）百分数与小数的互化【重要】小数化成百分数：把小数点向右移动两位（位数不够时用0补足），同时在后面添上百分号。例如，0.75=75%，1.2=120%，0.035=3.5%。百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。例如，25%=0.25，0.8%=0.008。  （三）百分数与分数的互化【重要】分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。也可以把分数化成分母是100的分数，再写成百分数的形式。例如，3/4=0.75=75%；1/6≈0.167=16.7%。百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。如果百分数的分子是小数，要先应用分数的基本性质，把分子化成整数，再化简。例如，40%=40/100=2/5；12.5%=12.5/100=125/1000=1/8。  （四）解决问题——求百分率【核心】【高频考点】求百分率的问题实质上是求一个数是另一个数的百分之几。解题方法是用“比较量÷标准量”，结果要化成百分数。常见的百分率有：出勤率=出勤人数÷总人数×100%；发芽率=发芽种子数÷实验种子总数×100%；合格率=合格产品数÷产品总数×100%；成活率=成活数量÷总数量×100%；含盐率=盐的质量÷盐水的质量×100%等。注意，百分率一般不会超过100%（除增长率等特殊情况外）。  （五）解决问题——求一个数的百分之几是多少【核心】【高频考点】与分数乘法类似，求一个数的百分之几是多少，也用乘法计算。单位“1”已知，用单位“1”的量乘百分率。例如，油菜子的出油率是42%，照这样计算，2100千克油菜子可榨油多少千克？这里单位“1”是油菜子总量，2100×42%=2100×0.42=882（千克）。  （六）解决问题——已知一个数的百分之几是多少，求这个数【核心】【高频考点】与分数除法类似，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。单位“1”未知，用已知量除以它所对应的百分率。例如，一种油菜子榨油后得到油882千克，出油率是42%，需要多少千克油菜子？这里单位“1”是油菜子总量，882÷42%=882÷0.42=2100（千克）。  （七）解决问题——求一个数比另一个数多（或少）百分之几【难点】【易错点】这类问题是求两个数的差量占单位“1”的百分之几。解题关键是找准单位“1”，即“比”后面的量。方法：用两数之差除以单位“1”的量。例如，计划造林12公顷，实际造林14公顷，实际造林比计划增加了百分之几？这里单位“1”是计划造林量，差量是1412=2（公顷），所以增加了2÷12≈0.167=16.7%。如果问题改为“计划造林比实际少百分之几”，则单位“1”是实际造林量，差量不变，2÷14≈0.143=14.3%。可见，单位“1”不同，结果也不同。  （八）解决问题——求比一个数多（或少）百分之几的数是多少【重要】这类问题是“求一个数的百分之几是多少”的延伸。解题时，先确定单位“1”，再明确要求的数相当于单位“1”的百分之几。例如，学校图书室原有图书1400册，今年图书册数增加了12%，现在图书室有多少册图书？单位“1”是原有图书册数，现在的册数相当于原来的1+12%=112%，所以现在有1400×112%=1400×1.12=1568（册）。也可以先求出增加的册数：1400×12%=168（册），再加上原册数。  七、扇形统计图  （一）扇形统计图的特点和作用【基础】扇形统计图是用整个圆表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分之几。它的主要特点是能够清楚地反映出各部分数量与总数之间的关系，即部分与整体的关系。从图中可以直接看出各部分所占的百分比，但不能直接看出各部分的具体数量。  （二）从扇形统计图中获取信息【重要】观察扇形统计图时，首先要看清统计图的标题，了解统计的内容。然后看各个扇形所代表的项目以及它们所占的百分比。根据已知的总量，可以求出各部分的具体数量（用总量乘各部分对应的百分比）。根据各部分的具体数量，也可以求出总量（用部分量除以它对应的百分比）。例如，从一幅表示小明家每月支出的扇形统计图中，已知食品支出占35%，文化支出占25%，如果已知每月总支出为3000元，那么食品支出为3000×35%=1050元；如果已知食品支出为1050元，那么总支出为1050÷35%=3000元。  （三）选择合适的统计图【拓展】在实际应用中，需要根据数据的特点和想要表达的信息选择合适的统计图。条形统计图能清楚地表示出各个数量的多少；折线统计图不仅能表示数量的多少，还能清楚地反映数量的增减变化趋势；扇形统计图则能清楚地表示出各部分与整体之间的关系。例如，要表示几个班级的人数，选用条形统计图比较合适；要表示一个月的气温变化情况，选用折线统计图比较合适；要表示学校各类图书的占比情况，选用