沪科版初中一年级数学上册“有理数的加减运算”单元教学设计

沪科版初中一年级数学上册“有理数的加减运算”单元教学设计

  一、课标要求与教材分析

  《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对初中阶段的“有理数”部分提出了明确要求：理解负数的意义，掌握有理数的加法和减法运算，能运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单实际问题。沪科版教材七年级上册第一章“有理数”是学生从小学算术数学习扩展到有理数领域的开端，是整个代数学习的基石。“有理数的加减运算”作为本章的核心运算技能，其教学成败直接关系到学生后续对有理数乘除、乘方乃至整个代数思维体系的构建。本章内容不仅是对“数”的概念的扩充，更是对“运算”内涵的深化，它首次系统性地引入了符号法则，将运算从绝对的“量”的累加，拓展到具有方向的“量”的合成，是学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养发展的关键节点。教材编排遵循“从实际情境抽象出数学概念与法则，再回到实际应用”的认知逻辑，借助数轴这一直观模型，将抽象的符号运算转化为直观的图形运动，符合初一学生的认知发展水平。

  二、学情分析

  教学对象是初中一年级学生，他们正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。在知识基础上，学生已熟练掌握非负有理数（小学阶段的整数、分数、小数）的四则运算，具备初步的用字母表示数的意识，但对于“负数”这一概念仍可能停留在“比零小”的浅层理解，对于“负号”所兼具的“性质符号”与“运算符号”双重身份感到困惑。在认知特点上，学生抽象逻辑思维开始发展，但仍需具体形象思维和直观经验的有力支持。他们乐于探究，对与生活紧密相关的问题有浓厚兴趣，但思维的严谨性、系统性有待培养，尤其是在处理涉及多重符号和复杂情境的运算时，容易产生符号混淆和法则误用。在学习心理上，初入中学的新奇感与对数学严谨性的初步接触可能同时存在，既需要教师通过生动有趣的情境激发兴趣，又需要通过清晰的逻辑推演和充分的变式训练建立自信。

  三、单元教学目标

  （一）知识与技能目标

  1.深刻理解有理数加法的意义，牢固掌握有理数加法法则，并能准确、熟练地进行有理数加法运算。

  2.理解有理数减法的意义，掌握“减去一个数等于加上这个数的相反数”的转化法则，能将有理数的减法运算统一为加法运算，并熟练进行计算。

  3.理解有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，掌握运算中省略加号和括号的技巧，能进行有理数的加减混合运算。

  4.理解加法运算律（交换律、结合律）在有理数范围内依然成立，并能运用运算律进行简便运算。

  5.能够综合运用有理数的加减运算解决实际问题，如温度变化、水位升降、收支盈亏、行程问题等。

  （二）过程与方法目标

  1.经历从实际情境中抽象出有理数加减运算数学模型的过程，体会数学与现实生活的紧密联系。

  2.通过探索有理数加法法则的活动，体验分类讨论、归纳概括、数形结合（特别是利用数轴）等数学思想方法。

  3.在将减法转化为加法的学习过程中，体会“转化与化归”这一核心数学思想的价值。

  4.通过解决实际问题和变式练习，发展分析问题、解决问题的能力，提升运算的准确性、合理性和简洁性。

  （三）核心素养与情感态度价值观目标

  1.数学抽象：从丰富的现实背景中抽象出有理数加减运算的数学本质，形成对运算意义的深度理解。

  2.逻辑推理：在探索法则和运用法则的过程中，发展合乎逻辑的思维能力，特别是分类讨论和演绎推理能力。

  3.数学运算：形成规范、准确、灵活、简洁的有理数加减运算能力，理解算理，掌握算法。

  4.数学建模：初步学会用有理数运算模型刻画和解决现实世界中的简单变化与合成问题。

  5.培养勇于探索、严谨求实、一丝不苟的科学态度，感受数学的简洁美、统一美和逻辑美，增强学习数学的兴趣和应用数学的信心。

  四、教学重点与难点

  教学重点：有理数的加法法则；有理数减法转化为加法的法则；有理数加减混合运算的算法。

  教学难点：对异号两数相加法则，特别是绝对值不相等的异号两数相加法则的理解与运用；减法转化为加法的算理理解；在加减混合运算中正确处理符号，特别是多重符号的化简。

  五、教学准备

  教师准备：交互式电子白板课件（包含动态数轴演示、情境动画、分层练习题组）；温度计模型、海拔高度示意图等教具；设计并印制“探究学习任务单”。

  学生准备：复习正数、负数、相反数、绝对值的概念；准备直尺、笔和练习本。

  六、教学课时安排（共计5课时）

  第一课时：有理数的加法（探索法则与简单应用）

  第二课时：有理数加法的运算律及综合运用

  第三课时：有理数的减法

  第四课时：有理数的加减混合运算

  第五课时：单元复习与综合应用

  七、教学实施过程详案

  第一课时：有理数的加法

  （一）创设情境，问题导入（约8分钟）

  师：同学们，生活中充满了各种具有相反意义的量。请看屏幕上的几个场景，你能用学过的正负数来表示其中的变化吗？

  （课件动态呈现）

  场景一：股票市场。某股票第一天上涨3元，记作+3元；第二天又上涨2元，记作+2元。两天一共上涨了多少元？如何列式？（+3）+（+2）=?

  场景二：温度变化。某地早晨气温是零下2摄氏度，记作-2℃；中午气温上升了5摄氏度，记作+5℃。中午的气温是多少摄氏度？如何用算式表示气温的变化过程？（-2）+（+5）=?

  场景三：收支记录。小明妈妈记账，家用支出200元，记作-200元；爸爸工资收入5000元，记作+5000元。家庭财务的净变化是多少？（-200）+（+5000）=?

  场景四：足球比赛净胜球。甲队第一场比赛赢1球（+1），第二场比赛输2球（-2），两场总的净胜球数是多少？（+1）+（-2）=?

  师：这些算式和我们小学学的加法算式有什么不同？

  生：出现了负数。

  师：对！这就是我们今天要学习的有理数的加法。当加法运算中遇到了负数，我们该如何计算呢？它的结果和意义又是什么呢？让我们一起来探究。

  （二）合作探究，归纳法则（约22分钟）

  探究活动一：借助数轴，直观感知加法运算

  师：数轴是我们研究有理数的好帮手。在数轴上，一个点向右移动表示加正数，向左移动表示加负数。起点表示第一个加数，移动的方向和距离由第二个加数决定。

  任务1：请在任务单的数轴上，画出下列算式的运动过程，并写出结果。

  （1）（+4）+（+3）（2）（-4）+（-3）

  （3）（+4）+（-3）（4）（-4）+（+3）

  学生分组操作、绘图、讨论。教师巡视，指导有困难的小组。

  小组汇报后，教师利用课件进行动态演示，强化理解：同号相加，方向不变，距离相加；异号相加，方向由绝对值大的数决定，距离是两数绝对值之差。

  探究活动二：分类讨论，抽象概括加法法则

  师：观察以上四个算式的计算过程和结果，你能根据两个加数的符号特征，将它们分类并总结出运算规律吗？

  引导学生从“和的符号”与“和的绝对值”两个维度进行归纳。

  小组讨论后，师生共同完善法则：

  1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

  2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

  3.一个数同0相加，仍得这个数。

  师：特别强调，法则的核心是“先定符号，再算绝对值”。请用你们自己的语言复述一遍法则。

  （三）典例精析，巩固新知（约10分钟）

  例1：计算下列各题（教师板书，强调步骤规范）：

  （1）（-8）+（-9）（2）（-3.5）+（+6.8）

  （3）（-2.7）+（+2.7）（4）0+（-5）

  解：（1）原式=-（|-8|+|-9|）=-（8+9）=-17（同号相加）

  （2）原式=+（|+6.8|-|-3.5|）=+（6.8-3.5）=+3.3（异号相加，正数绝对值大）

  （3）原式=0（互为相反数的两数和为0）

  （4）原式=-5（一个数同0相加）

  例2：口答练习（快速判断和的符号）：

  （+15）+（-7）（-20）+（+12）（-3.2）+（-1.8）（+9）+（+11）

  （四）课堂小结与作业布置（约5分钟）

  小结：引导学生回顾探索法则的过程，总结有理数加法的计算步骤（一审、二定、三算、四查）。强调数形结合和分类讨论思想的应用。

  作业：1.基础题：教材课后练习对应题目。2.思考题：如果a是正数，b是负数，那么a+b的符号一定为正吗？为什么？请举例说明。

  第二课时：有理数加法的运算律及综合运用

  （一）复习旧知，温故引新（约5分钟）

  快速口算抢答：（-7）+（+10）；（-2）+（-5）；（+1.5）+（-1.5）；（-13）+0。

  提问：在小学，我们学过加法的哪些运算律？它们的内容是什么？（交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)）

  猜想：这些运算律在有理数加法中还成立吗？

  （二）验证猜想，确立律法（约15分钟）

  探究活动：请各小组任选几组有理数（至少包含正数、负数和零），通过具体计算验证加法交换律和结合律是否成立。

  例如：

  验证交换律：计算（-8）+（+5）和（+5）+（-8）。

  验证结合律：计算[（-3）+（+7）]+（-4）和（-3）+[（+7）+（-4）]。

  学生通过多组实例计算，发现结果均相同。教师引导：由于我们无法穷举所有有理数，但通过大量实例验证和逻辑上基于法则的推导，可以确认加法交换律和结合律在有理数范围内依然成立。这体现了数学知识从特殊到一般，从具体到抽象的扩展性和一致性。

  （三）活用运算律，优化运算（约18分钟）

  师：掌握了运算律，我们的目标不仅是会算，还要算得巧、算得快、算得准。

  例1：计算16+(-25)+24+(-35)

  分析：观察数的特点，正数与正数结合，负数与负数结合，能凑整的先结合。

  解：原式=(16+24)+[(-25)+(-35)]=40+(-60)=-20

  师：这里运用了加法的交换律和结合律。目的是“凑整”或“消零”，简化计算。

  例2：计算(-2.48)+(+4.33)+(-7.52)+(-4.33)

  分析：发现(+4.33)和(-4.33)互为相反数，和为0；(-2.48)和(-7.52)可以凑整。

  解：原式=[(-2.48)+(-7.52)]+[(+4.33)+(-4.33)]=(-10)+0=-10

  例3：10袋小麦称重记录如下（单位：千克）：91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1。问：10袋小麦总重量是多少？平均每袋重多少？

  师：这是一道实际应用题。如果直接相加比较繁琐。我们可以设定一个基准数，比如90千克，计算每袋超过或不足90千克的部分（用正负数表示），再将偏差数相加。

  引导学生列出算式：(+1)+(+1)+(+1.5)+(-1)+(+1.2)+(+1.3)+(-1.3)+(-1.2)+(+1.8)+(+1.1)

  再利用运算律简便计算偏差和，最后加上基准总量。

  设计意图：通过典型例题，层层递进，展示运算律在简化计算、解决实际问题中的强大功能，培养学生观察、分析、优化算法的意识。

  （四）课堂练习与小结（约7分钟）

  分层练习：A组（直接运用运算律计算）；B组（解决简单实际问题）。

  小结：强调有理数加法运算律的应用价值——使计算简便。关键步骤是：观察特征、归类组合、凑整消零。

  第三课时：有理数的减法

  （一）创设冲突，引发思考（约7分钟）

  情境：已知北京某日最高气温为5℃，最低气温为-3℃。请问这天北京的温差（最高气温减最低气温）是多少摄氏度？

  学生可能列式：5-(-3)。这是一个减法算式，但减数是负数，怎么算？

  师：在小学，我们只会做“大数减小数”或“被减数大于等于减数”的减法。现在被减数是5，减数是-3，这已经超出了我们过去的认知范围。但温差是客观存在的，我们凭生活经验知道应该是8℃。那么，算式5-(-3)是否应该等于8呢？如果是，它与我们学过的哪个加法算式结果相同？（5+(+3)=8）

  引导发现：5-(-3)=5+(+3)。这是巧合吗？

  （二）探索规律，归纳法则（约20分钟）

  探究活动：计算下列各组算式，比较每组成员的结果，你能发现什么规律？

  （1）(+9)-(+4)与(+9)+(-4)

  （2）(+9)-(-4)与(+9)+(+4)

  （3）(-9)-(+4)与(-9)+(-4)

  （4）(-9)-(-4)与(-9)+(+4)

  学生独立计算、对比、小组交流。教师引导学生关注：每组的两个算式，第一个是减法，第二个是加法，它们的结果有什么关系？减法中的减数，与加法中加的数，又有什么关系？

  学生通过观察易发现：每组两个算式的结果都相等。并且，减法中的减数，变成加法中加的数时，恰好是其相反数。

  师：由此，我们可以大胆猜想：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

  请学生尝试用字母表示这一法则：a-b=a+(-b)。这里a，b表示任意有理数。

  教师强调：这个法则实现了减法向加法的转化。这是数学中非常重要的“转化”思想。有了它，所有有理数的减法运算都可以转化为加法运算来进行。我们只需把减号变成加号，同时把减数变成它的相反数。

  （三）应用法则，规范运算（约13分钟）

  例1：计算（教师板书，展示完整的转化过程）：

  （1）(-3)-(-5)（2）7.2-(-4.8)（3）0-(-7)（4）(-5)-(+6)

  解：（1）原式=(-3)+(+5)=+2

  （2）原式=7.2+(+4.8)=12

  （3）原式=0+(+7)=7

  （4）原式=(-5)+(-6)=-11

  强调步骤：1.将减号变为加号；2.将减数变为它的相反数；3.按照有理数加法法则计算。

  例2：世界上最高峰是珠穆朗玛峰，海拔高度约是8844米；陆地上最低处是死海，海拔高度约是-415米。两处高度相差多少米？

  引导学生列式：8844-(-415)，并转化为加法计算，得出结果9259米。明确“相差”就是作减法。

  （四）对比联系，深化理解（约5分钟）

  师：现在，请同学们思考，有理数的减法法则和加法法则，哪个更基本？我们是否可以用加法来统一定义减法？

  生：减法可以转化为加法，加法和减法是互逆的运算。

  师：是的。在有理数范围内，减法不再是独立的、初级运算，它可以被看作加法的逆运算，更可以被统一到加法运算中。这体现了数学追求统一与简洁的美。

  第四课时：有理数的加减混合运算

  （一）复习导入，明确任务（约5分钟）

  1.快速说出下列各数的相反数：-5，+3.2，0，-1/2。

  2.将下列减法转化为加法：

  （-7）-（+10）；0-（-4）；（+2.5）-（-1.5）。

  师：在实际问题中，我们经常会遇到一连串的加减运算，例如一道综合算式：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)。这就是有理数的加减混合运算。今天我们的核心任务就是：掌握将加减混合运算统一为加法运算的方法，并能熟练、准确地进行计算。

  （二）统一成加法，理解省略写法（约15分钟）

  例1：计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

  师：这个算式中含有加法和减法。根据上节课所学，我们可以把所有的减法都转化为加法。

  解：原式=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)（减法变加法，减数变相反数）

  师：现在这个式子就是几个有理数的和。为了书写更简洁，我们通常把加号和括号省略。

  讲解省略规则：1.式子中的加减法统一成加法后，所有的“+”号（性质符号）可以省略不写（但第一个数的正号如果省略，通常不写）。2.括号也可以省略。

  演示：(-20)+(+3)+(+5)+(-7)=-20+3+5-7

  师：-20+3+5-7这个式子有两种读法：一是按运算读作“负20加3加5减7”；二是按性质符号读作“负20、正3、正5、负7的和”。后者更深刻地揭示了其作为“代数和”的本质。

  让学生练习将几个加法式子写成省略加号和括号的和的形式，并读出“和”的形式。

  （三）进行加法运算，掌握步骤（约18分钟）

  师：将加减混合算式写成省略加号的和的形式后，我们就可以运用加法法则和运算律进行计算了。

  继续完成例1的计算：

  方法一（按顺序从左到右计算）：

  -20+3+5-7

  =(-20+3)+5-7

  =(-17)+5-7

  =(-12)-7

  =(-12)+(-7)=-19

  方法二（运用运算律简便计算）：

  -20+3+5-7

  =(-20-7)+(3+5)（将负数与负数结合，正数与正数结合）

  =(-27)+8=-19

  强调：在运用运算律移动项时，一定要带着它前面的符号一起移动。

  例2：计算(-1/2)-(-1/3)+(+3/4)-(+2/3)

  引导学生：1.统一为加法；2.写成省略加号的和；3.通常将分母不同的分数通分后计算；4.可以运用运算律。

  解：原式=(-1/2)+(+1/3)+(+3/4)+(-2/3)

  =-1/2+1/3+3/4-2/3

  =(-1/2+3/4)+(1/3-2/3)（结合，注意符号）

  =(-2/4+3/4)+(-1/3)

  =(1/4)+(-1/3)

  =3/12-4/12=-1/12

  设计意图：通过整数、分数运算的例子，全面展示加减混合运算的完整流程和技巧，特别是运算律的灵活运用和分数运算的准确性要求。

  （四）实际应用，巩固提升（约7分钟）

  练习：某水利勘察队，第一天向上游走了5.5千米，第二天又向上游走了4.8千米，第三天向下游走了4.3千米，第四天又向下游走了5.2千米。试用有理数加法计算：第四天勘察队在出发点的上游还是下游？距离出发点多远？

  引导学生设定向上游为正方向，则各天行程分别为：+5.5km，+4.8km，-4.3km，-5.2km。列式计算总位移。此题既巩固运算，又强化数学模型应用能力。

  第五课时：单元复习与综合应用

  （一）知识梳理，构建网络（约10分钟）

  师生共同回顾本单元核心知识，形成结构化思维导图（教师引导，学生补充）：

  有理数加减运算

  ├─核心：符号法则

  ├─加法

  │├─法则（同号、异号、与0加）

  │└─运算律（交换律、结合律→简便运算）

  ├─减法

  │└─法则：a-b=a+(-b)（转化为加法）

  └─加减混合运算

  ├─步骤：减法转加法→省略加号和括号（代数和）→计算

  └─技巧：运用运算律，凑整、消零

  强调知识之间的内在联系：减法是加法的逆运算，并可统一于加法；加减混合运算的本质是求代数和。

  （二）典例剖析，深化理解（约25分钟）

  例1：概念辨析题。

  判断下列说法是否正确，并说明理由。

  （1）两数之和一定大于每一个加数。（反例：负数相加）

  （2）两数之差一定小于被减数。（反例：减去负数）

  （3）互为相反数的两数之和为0，商为-1。（强调：0的相反数是0，商不存在）

  （4）减去一个数等于加上这个数。（纠错：应是加上这个数的相反数）

  设计意图：澄清常见概念错误和思维误区。

  例2：综合计算题。

  计算：-|-3|+(-4.5)-[(-2)-(-1/2)]+0

  分析：本题综合了绝对值、括号、加减混合运算。强调运算顺序：先绝对值，再括号内，最后加减。计算过程要清晰、规范。

  例3：规律探究题。

  观察下列等式：

  1-1/2=1/2；

  1/2-1/3=1/6；

  1/3-1/4=1/12；

  1/4-1/5=1/20；

  …

  （1）请写出第n个等式（n为正整数）。

  （2）计算：1/2+1/6+1/12+1/20+…+1/9900。

  引导学生发现：每个分数都可以拆成两个单位分数之差，从而利用“裂项相消法”简化计算。此题旨在提升学生的观察、归纳和探究能力，感受数学的奇妙。

  例4：实际应用题（跨学科联系）。

  某科研小组记录了一周内实验室的温湿度数据。其中温度（单位：℃）记录如下：周一：22.5；周二：上升1.3；周三：下降0.7；周四：上升0.5；周五：下降1.2；周六：下降0.9；周日：上升1.1。已知周一早晨温度为22.5℃。

  （1）请用正负数表示每天的温度变化量，并计算周日结束时的温度。

  （2）这一周内，最高温度与最低温度相差多少？

  此题要求学生从文字描述中抽象出数学模型，进行连续加减运算，并理解“相差”的含义。

  （三）易错点归因与策略总结（约8分钟）

  师生共同总结本单元易错点：

  1.符号错误：特别是异号相加时符号判断错误；减法转化时，忘记改变减数的符号。

  2.绝对值运算错误：尤其是减法中“减去一个数的相反数”时，绝对值的处理。

  3.运算顺序错误：在混合运算中，未遵循运算顺序。

  4.运算律使用不当：移动项时忘记带符号；结合时符号出错。

  应对策略：

  1.强化法则理解，牢记“先定符号，再算绝对值”。

  2.规范书写步骤，减法转化步骤一步到位，避免跳步。

  3.养成检查习惯，用估算（如符号、大小）、逆运算检验结果。

  4.勤加练习，形成良好的数感和符号感。

  （四）单元评价与作业布置（约2分钟）

  布置一份单元综合测评卷（作为课后作业），涵盖概念、计算、应用、探究等题型，用于检测本单元学习效果。

  鼓励学生进行自我反思，整理错题本。

  八、板书设计（以第一、三课时为例）

  第一课时板书：

  有理数的加法

  一、实际问题→数学算式

  二、探究